Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Òîãäà,îïÿòü-òàêè ïî àíàëîãèè ñ âû÷åòàìè ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ n, ìíîæåñòâî F îêàçûâàåòñÿ ïîëåì.  ñàìîìäåëå, ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà, î÷åâèäíî, âûïîëíÿåò âû÷åò [1], ïîðîæäàåìûé êîíñòàíòîé (ìíîãî÷ëåíîì íóëåâîé ñòåïåíè) 1. Ðàññìîòðèì íåíóëåâîé âû÷åò [u(x)] ∈ F . Ìíîãî÷ëåíû u(x) è f (x) âçàèìíîïðîñòû â ñèëó íåðàçëîæèìîñòè f (x). Ïî òåîðåìå î íàèáîëüøåì îáùåì äåëèòåëå, ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû φ(x), ψ(x) ∈ P [x] òàêèå, ÷òîè[v(x)]è ÷òî äàííûå îïåðàöèè ïðåâðàùàþòÍå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òîu(x)φ(x) + f (x)ψ(x) = 1⇒ [u(x)][φ(x)] = [1].Âû÷åò [a], ïîðîæäåííûé ìíîãî÷ëåíîì íóëåâîé ñòåïåíè (êîíñòàíòîé)ña.P ⊂ F, àïîëåì F :Òàêèì îáðàçîì,êàê ìíîãî÷ëåí íàäìíîãî÷ëåíf (x) = xn + an−1 xn−1 + . .
. + a0a ∈ P,áóäåì îòîæäåñòâëÿòüìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêæåf (x) = xn + [an−1 ]xn−1 + . . . + [a0 ] ∈ F [x].Òîãäà0 = [0] = [f (x)] = f ([x]).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âû÷åò[x] ∈ Fÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíàf (x). 2Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ P [x] ñòåïåíè n > 0 ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå F ïîëÿ P , âêîòîðîì f (x) ðàçëàãàåòñÿ íà n ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé:f (x) = a(x − z1 ) . . . (x − zn ),a ∈ P,z1 , . . . , zn ∈ F.Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1851.1Åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðûÄîêàçàòåëüñòâî íà îñíîâå ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ è ôîðìóë Âèåòà ñëîæíåå òîãî, ÷òî óæå îáñóæäàëîñü. Íî îíî èñïîëüçóåò ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè ìèíèìàëüíûì îáðàçîì.(1)Ïóñòüf (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 0 ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìû çíàåì, ÷òî âF îí ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò n êîðíåé x1 , . .
. , xníåêîòîðîì ïîëåñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé. Íàøà öåëü äîêàçàòü, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç ýòèõ êîðíåé ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì÷èñëîì.(2)Åñëèníå÷åòíî, ÷òî äàííûé ôàêò ïîëó÷àåòñÿ î÷åíü ëåãêî ýòî åäèíñòâåííîå ìåñòî, ãäå èñ-f (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ îò x. Ïîñêîëüêó n íå÷åòíî,b > 0 è f (x) < 0 ïðè x ≤ a äëÿ íåêîòîðîãî a < 0. Ïîòåîðåìå Ðîëëÿ èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñóùåñòâóåò ÷èñëî c ∈ [a, b] òàêîå, ÷òî f (c) = 0.(3) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = 2k p, ãäå p íå÷åòíî, è áóäåì âåñòè èíäóêöèþ ïî k.
Ïðè k = 0 ñóùåñòâîâàíèå êîìïëåêñíîãî (äàæå âåùåñòâåííîãî) êîðíÿ óæå äîêàçàíî. Ïóñòü k > 0. Òîãäà âîçüìåì ïðîèçâîëüíîåâåùåñòâåííîå ÷èñëî c è ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíïîëüçóåòñÿ íåïðåðûâíîñòü. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîìíîãî÷ëåíf (x) > 0x≥bïðèäëÿ íåêîòîðîãîYFc (x) =(x − xcij ),xcij = c xi xj + xi + xj .1≤i<j≤n ñèëó ôîðìóë Âèåòà è îïðåäåëåíèÿxij ,êîýôôèöèåíòûFc (x) ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò êîðíåé(n2 − n)/2 = 2k−1 q , ãäåq = (2 p − 1)p íå÷åòíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ìíîãî÷ëåí Fc (x) èìååòõîòÿ áû îäèí êîìïëåêñíûé êîðåíü ïóñòü îí ïîëó÷àåòñÿ ïðè i = i(c), j = j(c).(4) Âåùåñòâåííûõ ÷èñåë c áåñêîíå÷íî ìíîãî, à èíäåêñû i(c), j(c) ìîãóò ïðèíèìàòü ëèøü êîíå÷íîå÷èñëî çíà÷åíèé⇒ äëÿ íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë c1 6= c2 èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà i = i(c1 ) =i(c2 ), j = j(c1 ) = j(c2 ).
⇒âåùåñòâåííîãî ìíîãî÷ëåíàf (x)⇒îíè âåùåñòâåííû. ÑòåïåíüFc (x)ðàâíàkc1 xi xj + xi + xjc2 xi xj + xi + xjxi xj è xi + xj⇒ xi , xj ∈ C.Ñëåäîâàòåëüíî,åíòàìè(5)= z1 ∈ C= z2 ∈ C⇒xi xj =z1 − z2∈Cc1 − c2⇒xi + xj ∈ C.ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöè-n>0Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî ëþáîé âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèèìååò õîòÿ áû îäèí êîì-ïëåêñíûé êîðåíü. Ïóñòüf (x) = a0 + a1 x + .
. . an−1 xn−1 + xnèìååò êîìïëåêñíûå êîýôôèöèåíòû. Òîãäà ââåäåì ñîïðÿæåííûé ìíîãî÷ëåíf¯(x) = a¯0 + ā1 x + . . . + ān−1 xn−1 + xnè ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíg(x) = f (x)f¯(x).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîåíòû. Ïî äîêàçàííîìó âûøå, îí èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíüg(z) = f (z)f¯(z) = f (z)f (z̄) = 0⇒303z.g(x)èìååò âåùåñòâåííûå êîýôôèöè-Òàêèì îáðàçîì,f (z) = 0èëèf (z̄) = 0.2304Ëåêöèÿ 5151.2Íîðìàëüíûå ïîëÿ è ïîëÿ ðàçëîæåíèÿÔîðìóëû Âèåòà è òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ ñ áîëüøîé ïîëüçîé ïðèìåíÿþòñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàñøèðåíèé ïîëåé, ñîäåðæàùèõ êîðíè òåõ èëè èíûõ ìíîãî÷ëåíîâ.Ôèêñèðóåì ÷èñëîâîå ïîëåíåå îçíà÷àåò, ÷òî ïîëåK.LK ⊂ C è áóäåì ðàññìàòðèâàòü åãî êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿ K ⊂ L.
Ïîñëåä-ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåìLÎòñþäà âûòåêàåò, ÷òî âëþáîé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî íåðàçëîæèìîãî ìíîãî÷ëåíàK.íàä òåîðèè Ãàëóà îñîáûé èíòåðåñ âûçûâàþòK ⊂ Líîðìàëüíûå ðàñøèðåíèÿ.Ýòî êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿK ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè nL, òî âñå åãî n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ïðèíàäëåæàò L.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò òàêæå, ÷òîL ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì ïîëåì íàä K èëè íîðìàëüíî íàä K .Ïóñòü L = K(θ1 , . . . , θn ) ïîëå ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî (âîçìîæíî, ðàçëîæèìîãî) ìíîãî÷ëåíàf (x) ∈ K[x] ñòåïåíè n.ñ îñîáûì ñâîéñòâîì: åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü íåðàçëîæèìîãî íàäïðèíàäëåæèòÒåîðåìà. Ïîëå ðàçëîæåíèÿ L ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà íàä K ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì íàä K , à ëþáîå íîðìàëüíîå íàä K ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà íàä K .Äîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüL = K(θ1 , . .
. , θn ) ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíàf (x) = (x − θ1 ) . . . (x − θn ) ∈ K[x](êîðíè â ïîëåL, à êîýôôèöèåíòû ïðèíàäëåæàò ìåíüøåìó ïîëþ K ). ßñíî, ÷òî ïîëå L ìîæíî ïîëó÷èòüïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèñîåäèíåíèåì îòäåëüíûõ êîðíåé. Èç òåîðåìû î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ (èç Ëåêöèèα ∈ L èìååò âèä α = g(θ1 , . . . , θn ), ãäå g(x1 , . . . , xn ) ìíîãî÷ëåíK . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ìíîãî÷ëåí:YΨ(x) =(x − g(θσ(1) , . . . , θσ(n) )).15) ëåãêî âûâåñòè, ÷òî ëþáîé ýëåìåíòîònïåðåìåííûõ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿσ∈Sn ñèëó ôîðìóë Âèåòà è òåîðåìû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ, åãî êîýôôèöèåíòû ïðèíàäëåæàòïîëþK.Äîêàæåì íîðìàëüíîñòü ïîëÿëþáîé äðóãîé êîðåíüφ(x).L. Ïóñòü α ∈ L êîðåíü íåðàçëîæèìîãî ìíîãî÷ëåíà φ(x) ∈ K[x] è β φ(x) è Ψ(x) èìåþò îáùèé êîðåíü α, îí ÿâëÿåòñÿ òàêæå êîðíåìÏîñêîëüêóèõ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ.
 ñèëó àëãîðèòìà Åâêëèäà, êîýôôèöèåíòû íàèáîëüøåãî îáùåãîK . Ïîýòîìó îí ëèøü íåíóëåâûì ìíîæèòåëåì ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò φ(x)φ(x)). Çíà÷èò, Ψ(x) äåëèòñÿ íà φ(x) ⇒ β èìååò âèä β = g(θσ(1) , . . . , θσ(n) )äëÿ êàêîé-òî ïîäñòàíîâêè σ ∈ Sn⇒ β ∈ L.Âòîðàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ äîêàçûâàåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.2äåëèòåëÿ ïðèíàäëåæàò ïîëþ(â ñèëó íåðàçëîæèìîñòè51.3Ðàäèêàëüíûå ðàñøèðåíèÿÐàññìîòðèì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèåèç ÷èñëîâîãî ïîëÿK ⊂ C.ÏóñòüLf (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn = 0 ñ êîýôôèöèåíòàìèïîëå ðàçëîæåíèÿ f (x).Âîïðîñ îá ôîðìóëå, âûðàæàþùåé êîðíèf (x)÷åðåç êîýôôèöèåíòû ñ ïîìîùüþ àðèôìåòè÷åñêèõîïåðàöèé è îïåðàöèé èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ ëþáîé ïðåäïèñàííîé ñòåïåíè (êîðî÷å,ê âîïðîñó î ñóùåñòâîâàíèè êîíå÷íîé öåïî÷êè òàê íàçûâàåìûõeK = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ .
. . ⊂ Km = L,ðàäèêàëüíûõKi = Ki−1 (θi ),â ðàäèêàëàõ),ñâîäèòñÿðàñøèðåíèéθini = Di ∈ Ki−1 ,(∗)e ðàñøèðåíèå ïîëÿ L, ÿâëÿþùååñÿ íîðìàëüíûì íàä K . 1  òåîðèè Ãàëóà äàííûé âîïðîñ ñâîäèòñÿLê èçó÷åíèþ ãðóïïû Aut(L, K) àâòîìîðôèçìîâ L íàä K (âçàèìíî-îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé L íà ñåáÿ,ñîõðàíÿþùèõ îïåðàöèè è îñòàâëÿþùèõ íà ìåñòå âñå ýëåìåíòû ïîëÿ K ) è åå ïîäãðóïï.ãäåf (x) = xn − a = 0, a ∈ K .  äàííîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî L = K(ε, ζ), ãäåε ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû ñòåïåíè n, à ζ ëþáîé ÷èñëî òàêîå, ÷òî ζ n = a. Ïóñòü Φ ïðîèçâîëüíûé àâòîìîðôèçì L íàä K . Òîãäà Φ(ε) òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èç åäèíèöû ñòåïåíè n.Ïðîñòåéøèé ïðèìåð:1 Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îò öåïî÷êè ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé âèäà(∗),äàþùåé íåêîòîðîå ïîëåe,Lâñåãäà ìîæíî ïåðåéòè ê öåïî÷êå òàêèõ ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé, êîòîðàÿ äàåò â èòîãå ïîëå, ñîäåðæàùååeLè íîðìàëüíîå íàäK.ïðîñòîòû, ÷òî èçó÷àåòñÿ ñëó÷àéÄëÿ ïåðâîãî çíàêîìñòâà ñ äàííûì êðóãîì èäåé ìîæíî ïîëàãàòü äëÿe = L.LÅ.
Å. ÒûðòûøíèêîâÏðåäïîëîæèì, ÷òîïîëÿQ(ε)íàäQ305n ïðîñòîå÷èñëî.  ýòîì ñëó÷àå ìû óæå èìååì îïèñàíèå âñåõ àâòîìîðôèçìîâ(ñì. äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 15):îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îáðàçàεkäëÿε,ëþáîé àâòîìîðôèçìΨ ∈Aut(Q(ε), Q) îäíîçíà÷íîà ãðóïïà Aut(Q(ε), Q) ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé ïîðÿäêàn − 1.Φ ∈ Aut(L, K) è ïîñòàâèì åìó â ñîîòâåòñòâèå àâòîìîðôèçì Ψ ∈ Aut(Q(ε), Q)Ψ(ε) = Φ(ε). Äàííîå ñîîòâåòñòâèå, êàê íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì ãðóïïû G = Aut(L, K) â ãðóïïó Aut(Q(ε), Q). Ïóñòü H ÿäðî ýòîãî ãîìîìîðôèçìà.
Òîãäà, â ñèëó òåîðåìûî ãîìîìîðôèçìå, ôàêòîð-ãðóïïà G/H èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå ãðóïïû Aut(Q(ε), Q). Áóäó÷èÂîçüìåì àâòîìîðôèçìòàêîé, ÷òîïîäãðóïïîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïû, äàííàÿ ïîäãðóïïà ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.åñëè L ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ xn − a, a ∈ K , òî ïðè ïðîñòîì n ãðóïïà G =Aut(L, K) èìååò íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó H ñ öèêëè÷åñêîé ôàêòîð-ãðóïïîé G/H .Òàêèì îáðàçîì,51.4Àâòîìîðôèçìû è ðàñøèðåíèÿÓòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ K ⊂ L ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ L íàä K íå ïðåâûøàåò ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. L ìîæåòθ ∈ L. ÏîK ìíîãî÷ëåíà R(x) äëÿ θ ðàâíà ñòåïåíèëþáîì àâòîìîðôèçìå g ∈ Aut(L, K) èìååì R(g(θ)) = 0. Ïîýòîìó ÷èñëî÷èñëà êîðíåé ìíîãî÷ëåíà R(x), ïðèíàäëåæàùèõ ïîëþ L.
2Káûòü ïîëó÷åíî èçïðèñîåäèíåíèåì êàêîãî-òî îäíîãî ÷èñëàòåîðåìå î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ, ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî íàäðàñøèðåíèÿK ⊂ L.Ïðèàâòîìîðôèçìîâ íå áîëüøå×èñëî àâòîìîðôèçìîâK =Qè√L = Q( 3 2).LíàäKìîäåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð,Òîãäà åäèíñòâåííûì àâòîìîðôèçìîìLíàäKÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîå îòîáðà-æåíèå (äîêàæèòå!), à ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ ðàâíà 3.51.5Ðàñøèðåíèÿ ÃàëóàÅñëè ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿðàñøèðåíèåì Ãàëóà,à ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïîé Ãàëóà.Óòâåðæäåíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñøèðåíèå K ⊂ L áûëî ðàñøèðåíèåì Ãàëóà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî íîðìàëüíûì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü L = K(θ) è R(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ θ .
Ïóñòü åãî ñòåïåíü ðàâíàm. Ïî òåîðåìå î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ, ëþáîé ýëåìåíò èç L èìååò âèä α0 +α1 θ+. . .+αm−1 θm−1 , αi ∈ K .Çàìåòèì, ÷òî âñå êîðíè R(x) ïðîñòûå. Åñëè ïîëå L íîðìàëüíî íàä K , òî âñå îíè ïðèíàäëåæàò L. Ïóñòüζ ëþáîé êîðåíü R(x). Òîãäà îòîáðàæåíèå α0 + α1 θ + . . . + αm−1 θm−1 → α0 + α1 ζ + . . . + αm−1 ζ m−1ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì L íàä K . Çíà÷èò, ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ. ëþáîì ñëó÷àå ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ íå áîëüøå ÷èñëà ðàçëè÷íûõ êîðíåé R(x), ïðèíàäëåæàùèõïîëþ L.
Åñëè âñå m êîðíåé R(x) ïðèíàäëåæàò L, òî L ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ R(x) è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿíîðìàëüíûì íàä K . 251.6ÏóñòüÏðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ è ïîäãðóïïûH ïîäãðóïïà ãðóïïû(1)LíàäK(2)Aut(L, K). Îáîçíà÷èì ÷åðåçh(a) = a ∀ h ∈ H . Ëåãêî äîêàçàòü,Hïîëåì â öåïî÷êå K ⊂ L⊂ L.òàêèõ, ÷òîòî åñòü,G=ÏóñòüP÷òî ìíîæåñòâî ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå â öåïî÷êåHLK ⊂ P ⊂ L.P.LHìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâÿâëÿåòñÿïðîìåæóòî÷íûìa∈Lïîëåì Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî èç íîðìàëüíîñòèâûòåêàåò åãî íîðìàëüíîñòü òàêæå íàä ïîëåìK ⊂ LH ⊂ L. Åñëè K ⊂ L ðàñøèðåíèå Ãàëóà, òî LH ⊂ L òàêæå ðàñøèðåíèå Ãàëóà⇒ ïîðÿäîê ãðóïïû H ðàâåí ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ (L : LH ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
