Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Íî ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê f (1) = n. 2Åùå îäèí (ïîæàëóé, äàæå áîëåå ïðîñòîé) ïîäõîä: âûâåñòè íåðàçëîæèìîñòüìíîãî÷ëåíàf (x) èç íåðàçëîæèìîñòèf (x + 1).Ïðèçíàê Ýéçåíøòåéíà. Ïóòü äàí ìíîãî÷ëåí F (x) = a0 + . . . + an xn ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè,â êîòîðîì a0 , .
. . , an−1 äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ïðîñòîå ÷èñëî p > 1 è ïðè ýòîì a0 íå äåëèòñÿ íà p2 .Åñëè an íå äåëèòñÿ íà p, òî F (x) íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìñíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìèêîýôôèöèåíòàìè.F (x) = (b0 + . . . + bk xk )(c0 + . . . + cm xm ). Òîãäà b0 c0 = a0 äåëèòñÿ íà p,íî íå íà p . Ïîýòîìó îäíî è òîëüêî îäíî èç ÷èñåë b0 , c0 äåëèòñÿ íà p.
Ïóñòü ýòî áóäåò c0 . Ñðåäèêîýôôèöèåíòîâ c0 , . . . , cm äîëæåí áûòü íå äåëÿùèéñÿ íà p (èíà÷å an äåëèòñÿ íà p). Ïóñòü ci ïåðâûéòàêîé êîýôôèöèåíò. Òîãäà ai = b0 ci + (b1 ci−1 + . . . bi c0 ) íå äåëèòñÿ íà p (÷èñëî â ñêîáêàõ äåëèòñÿ íà p,à ïðîèçâåäåíèå b0 ci íå äåëèòñÿ íà p). Îòñþäà i = n ≤ m ⇒ m = n. 2Äîêàçàòåëüñòâî.Çàïèøåì2Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àåf (x) = 1 + x + . .
. + xn−1ïðè ïðîñòîìn ìíîãî÷ëåí F (x) = f (x + 1)n.èìååò ñòàðøèé êîýôôèöèåíò 1, à âñå îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû äåëÿòñÿ íà1 Âîîáùå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæèì íàäQ òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ðàçëîæèì â ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòî ìîæíî âûâåñòè èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà Ãàóññà. Äëÿ ëþáûõ öåëî÷èñëåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) = a0 + . . .
+ am xm è g(x) = b0 + . . . + bn xníàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü C âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ïðîèçâåäåíèÿ f (x)g(x) = c0 + . . . + cm+n xm+nðàâåí ïðîèçâäåíèþ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ A âñåõ êîýôôèöèåíòîâ f (x) è íàèáîëüøåãî îáùåãîäåëèòåëÿ B âñåõ êîýôôèöèåíòîâ g(x).Äîêàçàòåëüñòâî.A = B = 1.ßñíî, ÷òîÏóñòüCCäåëèòñÿ íàAB .Ïîýòîìó, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü,p > 1. Õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ a0 , . . . , amb0 , . . .
, bn íå äåëèòñÿ íà p. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ar è bs ïåðâûå èçêîýôôèöèåíòîâ, íå äåëÿùèåñÿ íà p. Òîãäà cr+s = ar bs + (ar−1 bs+1 + . . . + ar+1 bs−1 + . . .). ×èñëî âñêîáêàõ äåëèòñÿ íà p. Ïîýòîìó cr+s íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà p. 2÷òîäåëèòñÿ íà ïðîñòîå ÷èñëîè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ29649.6Ëåêöèÿ 49Ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêèÒåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû äîêàçàòü, íàïðèìåð, ÷òî ïðàâèëüíûé 7-óãîëüíèê ñïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîèòü íåëüçÿ. Áîëåå òîãî, äëÿ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ìû âûâåäåì íåêîòîðîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå. (Îíî æåÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì, íî ìû äîêàæåì òîëüêî íåîáõîäèìîñòü.)Áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî âåðøèíû âïèñàííîãî â åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàñïîëàãàþòñÿ íà êîðíÿõ èç åäèíèöû ñòåïåíè n.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ïðîñòîå ÷èñëî. Ïóñòü ñóùåñòâóåò öåïî÷êà âèäà (1), (2), â êîòîðîé ïîëå Qk ñîäåðæèòêîîðäèíàòû âñåõ êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíè n. ßñíî, äëÿ ìèíèìàëüíîé öåïî÷êè 2π2π2π−1, ε = cos+ i cos.θ ∈ Qk , θ ∈/ Qk−1 , ãäå θ = ε + ε = 2 cosnnnÄàëåå, ðàññìîòðèì ðàñøèðåíèå Qk ⊂ Qk (ε). Ïîñêîëüêó ε ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿx2 − θx + 1 = 0ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ Q(θ) ⊂ Qk , ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ Qk ⊂ Qk (ε) ðàâíà 2. Êàêìû óæå çíàåì, ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ Q ⊂ Qk ðàâíà 2k . Ïîýòîìó ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿQ ⊂ Qk (ε) ðàâíà(Qk (ε) : Q) = (Qk (ε) : Qk ) (Qk : Q) = 2k+1 . òî æå âðåìÿ, Q ⊂ Q(ε) ⊂ Qk (ε). Ïðè ïðîñòîì n ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ Q ⊂ Q(ε)ðàâíà n−1 (òàê êàê ε êîðåíü íåðàçëîæèìîãî íàä Q êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà) è ÿâëÿåòñÿäåëèòåëåì ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ Q ⊂ Qk (ε), ðàâíîé 2k+1 ⇒ n − 1 = 2L äëÿ íåêîòîðîãîL.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà. Äëÿ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà â ñëó÷àå ïðîñòîãî níåîáõîäèìî, ÷òîáû n èìåëî âèä n = 2L + 1.Èç íàøåãî ðàññóæäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî L = k + 1. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ÷èñëî n = 2L + 1ïðîñòîå, òî L äîëæíî èìåòü âèä L = 2m (åñëè L = M N ïðè íå÷åòíîì M , òî ÷èñëî(2N )M − 1 äåëèòñÿ íà 2N − 1 è ïîýòîìó íå ìîæåò áûòü ïðîñòûì).Ñëåäñòâèå.
Ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíîãî 7-óãîëüíèêà ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêèíåâîçìîæíî.Äîêàçàòåëüñòâî. 7 6= 2L + 1. 2Òåîðåìà. Äëÿ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà íåîáõîäèìî, ÷òîáûëþáîé íå÷åòíûé ïðîñòîé ñîìíîæèòåëü ÷èñëà n èìåë âèä 2L + 1.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëè n-óãîëüíèê ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè, òî ñòðîèòñÿ òàêæå ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ ÷èñëîì ñòîðîí,ðàâíûì ëþáîìó äåëèòåëþ ÷èñëà n. Ñëó÷àé ïðîñòûõ íå÷åòíûõ äåëèòåëåé ñâîäèòñÿ êïðèìåíåíèþ äîêàçàííîé âûøå ëåììû. 2Èññëåäîâàíèå âîïðîñà î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ îäíî èç ñàìûõ ðàííèõ äîñòèæåíèé Ãàóññà.  îòëè÷èå îò íàñ, îí ñîñðåäîòî÷èëñÿ íà äîêàçàòåëüñòâå äîñòàòî÷íîñòè ïîëó÷åííîãî âûøå óñëîâèÿ.
 ÷àñòíîñòè, Ãàóññ îïèñàë êîíêðåòíûé àëãîðèòìÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ297ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî 17-óãîëüíèêà (çàìåòèì, ÷òî 17 = 24 + 1) äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü êîíêðåòíóþ öåïî÷êó ðàñøèðåíèé âèäà (1), (2). Ãàóññ ïèñàë òàêæå î òîì,÷òî äàííîå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì. 249.7Ýíäîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìûÐàññìîòðèì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî íåðàçëîæèìîñòè ìíîãî÷ëåíàf (x) = 1 + x + . . . + xn−1íàäQïðè ïðîñòîìn.Îíî ÿâëÿåòñÿ áîëåå äëèííûì, íî ïðèîòêðûâàåò ñâÿçè ñ íåêîòîðûìè î÷åíü ïëî-äîòâîðíûìè èäåÿìè è ïîíÿòèÿìè àëãåáðû (â ÷àñòíîñòè, ñ àâòîìîðôèçìàìè ïîëåé èõ äåòàëüíîåèçó÷åíèå ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òåîðèè Ãàëóà è âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà).ÏóñòüF ïîëå èΦ:F →F îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèè:Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b),Φ(ab) = Φ(a) Φ(b)Âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü íå ïðåäïîëàãàåòñÿ.
 òàêèõ ñëó÷àÿõÅñëèFÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿíà ìåñòå ýëåìåíòû ïîëÿPP,íàçûâàåòñÿýíäîìîðôèçìîìïîëÿF.3òî îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ýíäîìîðôèçìû, îñòàâëÿþùèå îíè íàçûâàþòñÿìíîæåñòâî âñåõ ýíäîìîðôèçìîâ ïîëÿΦ∀ a, b ∈ F.Fýíäîìîðôèçìàìè F íàä P .P.ÏóñòüE(F, P )îáîçíà÷àåòíàä ïîëåìÓòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü f (x) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì P è θ ∈ F åãî êîðåíü: f (θ) = 0.Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýíäîìîðôèçìà Φ ∈ E(F, P ) ýëåìåíò Φ(θ) ÿâëÿåòñÿ êîðíåì òîãî æå ìíîãî÷ëåíà:f (Φ(θ)) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.f (x) = a0 + a1 x + . . .
+ an xn , ãäå ai ∈ P . Òîãäà 0 = Φ(0) = Φ(f (θ)) =Φ(a0 ) + Φ(a1 )Φ(θ) + . . . + Φ(an )(Φ(θ))n = a0 + a1 Φ(θ) + . . . + an (Φ(θ))n = f (Φ(θ)). 2ÏóñòüÈçó÷èì ïîäðîáíåå ýíäîìîðôèçìû äëÿ ïîëÿ, ïîëó÷àåìîãî èç ïîëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåëåäèíåíèåì âñåõ êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíènQïðèñî-(äîñòàòî÷íî ïðèñîåäèíèòü ëèøü îäèí êîðåíü òàêîé,ñòåïåíè êîòîðîãî ïîðîæäàþò âñå ìíîæåñòâî êîðíåé):P = Q,F = Q(ε),ε = cos2πn+ i cos2πn.Óòâåðæäåíèå 2.
Ìíîæåñòâî E(Q(ε), Q) ñîñòîèò ðîâíî èç n ýíäîìîðôèçìîâ Φi , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåìûõ îáðàçîì ýëåìåíòà ε: Φi (ε) = εi , i = 0, 1, . . . , n − 1.Äîêàçàòåëüñòâî.iÏóñòü Φ ∈ E(Q(ε), Q). Òîãäà, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1, Φ(ε) = ε äëÿ íåêîòîðîãî i îòn − 1. Ñîîòíîøåíèå Φ(ε) = εi ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ýíäîìîðôèçì Φ. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿiëþáîãî i ñóùåñòâóåò ýíäîìîðôèçì Φi ∈ E(Q(ε), Q) òàêîé, ÷òî Φi (ε) = ε .Ïóñòü f (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ ε íàä ïîëåì Q.
Çàìåòèì, ÷òî ε åñòü êîðåíü óðàâíåíèÿ0 äîxn − 1= 1 + x + . . . + xn−1 = 0x−1⇒ ñèëó òåîðåìû î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ, ëþáîé ýëåìåíòz =mXak εk ,m ≡ deg f (x) ≤ n − 1.z ∈ Q(ε)îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäåak ∈ Q ∀ k.k=0Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèåΦi : Q(ε) → Q(ε)Φi (ôîðìóëîémXak εk ) =k=0mXak εik .k=02 Îäíàêî, ñïåöèàëèñòû ïî èñòîðèè âîïðîñà ãîâîðÿò, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè â ðóêîïèñÿõÃàóññà íå áûëî îáíàðóæåíî.3  áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäàõðàíåíèÿ îïåðàöèé íàçûâàåòñÿΦ(F ) ïðèíàäëåæèòãîìîìîðôèçìîì.äðóãîìó ïîëþ, îòîáðàæåíèåΦñî ñâîéñòâîì ñî-298Ëåêöèÿ 49Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ýíäîìîðôèçìîì ïîëÿQ(ε)è îñòàâëÿåò íà ìåñòå ÷èñëà èçQ.
2Óòâåðæäåíèå 3.  ñëó÷àå ïðîñòîãî n ëþáîé èç ýíäîìîðôèçìîâ Φi óòâåðæäåíèÿ 2 ïðè 1 ≤ i ≤ n − 1çàäàåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà {ε, ε2 , . . . , εn−1 } íà ñåáÿ, ïðè÷åì êàæäîåòàêîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì:εi1 → εi2 → . . . → εin−2 → εin−1 → εi1 ,ãäå i1 , . . . , in−1 íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà íîìåðîâ 1, 2, . . . , n − 1.Äîêàçàòåëüñòâî.Ìû çíàåì, ÷òî ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþm â ïðîìåæóòêån − 1 òàêîå, ÷òî îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà n ÷èñåë m, m2 , m3 , . . .
, mn−1 îáðàçóþò ïåðåñòàíîâêó{1, 2, 3, . . . , n − 1}. Ðàññìîòðèì ýíäîìîðôèçì Φ ∈ E(Q(ε), Q) òàêîé, ÷òî Φ(ε) = εm . Î÷åâèäíî,ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé (ñì. äîïîëíèòåëüíóþ ÷àñòü Ëåêöèè 14). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåòîò2äî÷èñåëîí äåéñòâóåò òàêèì îáðàçîì:23n−2ε → εm → εm → εm → . . . ε mn−1→ εm= ε.Φ, Φ2 , . . . , Φn−1 ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, ðàçëè÷íûìè è íè îäèí èç íèõ íå ñîâïàäàåò ñΦ0 ⇒ {Φ, Φ , . . .
, Φn−1 } = {Φ1 , . . . , Φn−1 }. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ëþáîì k îòîáðàæåíèå Φk2n−1ðåàëèçóåò öèêëè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå êîðíåé {ε, ε , . . . , ε}. 2Ýíäîìîðôèçìû2Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè ïðîñòîì n ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ ε íàä ïîëåì Q ðàâåí f (x) = 1 + x +. . . + xn−1 .Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â íåðàçëîæèìîñòè ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì Q. Ïðåäf (x) = u(x)v(x), ãäå u(x), v(x) ∈ Q[x]. Âûáåðåì ëþáîå k îò 1 äî n − 1 è ðàññìîòðèìýíäîìîðôèçì Φ = Φk . Ïóñòü ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà u(x) ðàâíà m. Òîãäà îí èìååò m ðàçëè÷íûõ êîðíåéz1 , . . .
, zm ⊂ {ε, ε2 , . . . , εn−1 } (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Áåçó). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1, âñå ÷èñëàz1 , Φ(z1 ), Φ2 (z1 ), . . . , Φn−2 (z1 ) ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè u(x).  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3 ýòè ÷èñëà ïîïàðíîðàçëè÷íû ⇒ m = n − 1. 2ïîëîæèì, ÷òîÝíäîìîðôèçìû ïîëÿ, ÿâëÿþùèåñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè, íàçûâàþòñÿôèçìàìè.àâòîìîð-Óòâåðæäåíèå 5. Ïðè ïðîñòîì n ýíäîìîðôèçìû Φ1 , . . . , Φn−1 óòâåðæäåíèÿ 2 ÿâëÿþòñÿ àâòîìîðôèçìàìè ïîëÿ Q(ε), îñòàâëÿþùèìè íà ìåñòå ýëåìåíòû ïîëÿ Q, è èñ÷åðïûâàþò âñå ìíîæåñòâîàâòîìîðôèçìîâ òàêîãî òèïà.Äîêàçàòåëüñòâî.Äàííûå îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íû â ñèëó òåîðåìû î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ. òî æå âðåìÿ, ëþáîé àâòîìîðôèçìêàêîãî-òîiîò1äîèç ýíäîìîðôèçìîâ49.8n − 1 (ïðèΦi . 2Φ,Q, ïåðåâîäèò ε â εi äëÿ⇒ Φ ñîâïàäàåò ñ îäíèìîñòàâëÿþùèé íà ìåñòå ýëåìåíòû èçàâòîìîðôèçìåεíå ìîæåò ïåðåéòè â0ε = 1)Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëàÊîìïëåêñíîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿàëãåáðàè÷åñêèì,åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì ðà-öèîíàëüíûõ ÷èñåë.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî íàçûâàåòñÿòðàíñöåíäåíòíûì.Èçó÷åííûå íàìè ñâîéñòâàêîíå÷íûõ ðàñøèðåíèé ïîëåé äåëàþò ïî÷òè î÷åâèäíûì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Äîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüαèβQ. Ðàññìîòðèì ïîëåα, è ïîëå Q(α)(β), ïîëó÷åííîå èç Q(α) ïðèñîåäèíåíèåì ýëåìåíòà β êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà èç êîëüöà Q(α)[x] (ÿñíî, ÷òî Q[x] ⊂ Q(a)[x]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
