Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Òîãäà ðàñøèðåíèåQ ⊂ Q(α)(β) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ðàñøèðåíèåì. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò γ êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ2nïîëÿ Q ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà íàä Q, èíà÷å ýëåìåíòû 1, γ, γ , . . . , γáûëè áûëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q ïðè ëþáîì n. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà α ± β, αβ è α/β (ïðè β 6= 0) ÿâëÿþòñÿàëãåáðàè÷åñêèìè. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë åñòü ïîäïîëå â C. 2Q(α),ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êàêèõ-òî ìíîãî÷ëåíîâ íàäïîëó÷åííîå ïðèñîåäèíåíèåì êQýëåìåíòàÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1750.1Êðàòíûå êîðíè è ïðîèçâîäíûåÏðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + .
. . + an xn íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíf 0 (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 .Ðàññìàòðèâàÿ f (x) êàê ôóíêöèþ îò x (íàïðèìåð, â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ) è âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ ïî ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ìû ïîëó÷èì,î÷åâèäíî, ôóíêöèþ, ñîâïàäàþùóþ ñ f 0 (x).Óòâåðæäåíèå. Ìíîãî÷ëåí f (x) íàä ÷èñëîâûì ïîëåì K ⊂ C èìååò òîëüêî ïðîñòûåêîðíè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîãî÷ëåíû f (x) è f 0 (x) âçàèìíî ïðîñòû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) èìååò êîðåíü θ êðàòíîñòè k .
Òîãäàf (x) = (x − θ)k g(x), g(θ) 6= 0.f 0 (x) = k(x − θ)k−1 g(x) + (x − θ)k g 0 (x).⇒Ïðè k ≥ 2 íàõîäèì f 0 (θ) = 0. Ïîýòîìó θ ÿâëÿåòñÿ îáùèì êîðíåì ìíîãî÷ëåíîâ f (x) èf 0 (x) ⇒ èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èìååò ñòåïåíü ≥ 1. 2Âàæíîå íàáëþäåíèå: åñëè f (x) ∈ K[x], òî f 0 (x) ∈ K[x]. Ïîýòîìó âñå êîýôôèöèåíòûèõ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ïðèíàäëåæàò òîìó æå ïîëþ K .
Îòñþäà ïîëó÷àåìïîëåçíîåÑëåäñòâèå. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K ⊂ C äëÿ ëþáîãî ÷èñëà θ ∈ C èìååòòîëüêî ïðîñòûå êîðíè.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíÇàäà÷à.Ìíîãî÷ëåíf (z) =nPal z lf (x) = 1 +ñòåïåíènx1!+x22!+ .... +èìååò êîðåíüζxnn! íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.êðàòíîñòèm.Äîêàçàòü, ÷òîl=0nXal lk ζ k = 0,1 ≤ k ≤ m − 1.l=050.2Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàçíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x1 , x2 , ... , óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì âèäàa0 xn + a1 xn+1 + . . . + ak xn+k = 0,n = 0, 1 ...
,(∗)ñ çàäàííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , . . . , ak .  ñëó÷àå a0 , ak 6= 0 óðàâíåíèå (∗) íàçûâàåòñÿðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà k . Ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ299300Ëåêöèÿ 50x0 , x1 , . . . , xk−1 îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ xk , xk+1 , ... . Îäíàêî, ðåøåíèå xnóðàâíåíèÿ (∗) ìîæíî âûðàçèòü è ñ ïîìîùüþ ïîëåçíîé ÿâíîé ôîðìóëû.×òîáû åå ïîëó÷èòü, áóäåì èñêàòü xn â âèäå xn = z n , ãäå z 6= 0. Òîãäà, â ñèëó (∗),a0 z n + a1 z n+1 + . . . + ak z n+k = 0⇔a0 + a1 z + . . . + ak z k = 0.Òàêèì îáðàçîì, xn = z n óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (∗) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,êîãäà z ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + .
. . + ak xk .Ñëó÷àé ïðîñòûõ êîðíåé. Åñëè f (x) èìååò k ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîðíåé z1 , . . . , zk(â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ), òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò c1 , . . . , ck ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäàxn = c1 z1n + . . . + ck zkn(∗∗)áóäåò, î÷åâèäíî, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (∗). Áîëåå òîãî, ëþáîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå (∗∗), òàê êàê xn îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì x0 , . . .
, xk−1 , àêîíñòàíòû c1 , . . . , ck îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèéc1 z1n + . . . + ck zkn = xn ,n = 0, 1, . . . , k − 1,äëÿ êîòîðîé ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ óçëîâ z1 , . . . , zk .Ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) èìååò êðàòíûå êîðíè, òî ôîðìóëà (∗∗) óæå íå îïèñûâàåò âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (∗). ×òîáû ïîëó÷èòü k ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé è â ýòîì ñëó÷àå, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü ñëåäóþùåå.Ëåììà 1.
Ïóñòü z êîðåíü f (x) êðàòíîñòè γ . Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì0 ≤ s ≤ γ−1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà xsn = ns z n , n = 0, 1, ... , ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìèóðàâíåíèÿ (∗).Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî,a0 ns z n + a1 (n + 1)s z n+1 + ... + ak (n + k)s z n+k =n(a0 ns−1 z n + a1 (n + 1)s−1 z n+1 + ...
+ ak (n + k)s−1 z n+k ) + z n+1 (a1 + 2a2 z + ... + kak z k−1 ).Âûðàæåíèå âî âòîðîé ñêîáêå ýòî çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé f 0 (z). Ïîñêîëüêó z êðàòíûéêîðåíü, ïîëó÷àåì f 0 (z) = 0. Äàëåå ïðèìåíÿåì èíäóêöèþ ïî s. 2Ëåììà 2. Ïóñòü äàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ÷èñëà z1 , . . . , zm è íàòóðàëüíûå÷èñëà γ1 , . .
. , γm òàêèå, ÷òî γ1 + . . . + γm = k . Òîãäà ñòîëáöûn k−1γ1 −1 n k−1[z1n ]k−1z1 ]n=0 ,n=0 , [nz1 ]n=0 , . . . , [n... ,n k−1n k−1n k−1[zm]n=0 , [nzm]n=0 , . . . , [nγm −1 zm]n=0 ,(1)îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç m ïîäñèñòåì äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ÷èñåë z1 , . . . , zm , ïðè ýòîì â ïîäñèñòåìå äëÿ zs èìååòñÿ γs ñòîëáöîâ. Ìîæíî ïðîâåðèòü,÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà, íàòÿíóòàÿ íà ñòîëáöû ïîäñèñòåìû äëÿ zs ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîéîáîëî÷êîé äëÿ ñòîëáöîân k−1n k−1n k−1[zsn ]k−1n=0 , [n zs ]n=0 , [n(n − 1) zs ]n=0 , .
. . , [n(n − 1)...(n − γs + 2) zs ]n=0 .(2)Ïîýòîìó ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ âèäà (1) ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç ñòîëáöîâ âèäà (2) ïðè s = 1, . . . , m. Ïóñòü Ak ìàòðèöàÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ301ïîðÿäêà k , ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâ âèäà (2). ×òîáû âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûAk , âû÷òåì èç êàæäîé åå ñòðîêè, êðîìå ïåðâîé, ïðåäûäóùóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà z1 .Íåñëîæíûå, õîòÿ è ãðîìîçäêèå, âûêëàäêè ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ det Ak = c det Ak−1 ,ãäå c 6= 0, à Ak−1 îáîçíà÷àåò ìàòðèöó ïîðÿäêà k − 1, âèä êîòîðîé àíàëîãè÷åí âèäó ìàòðèöû Ak ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî γ1 ñëåäóåò çàìåíèòü íà γ1 − 1. Äàëåå ïî èíäóêöèè.250.3Ïîëå ðàçëîæåíèÿÐàññìîòðèì ìíîãî÷ëåín−1f (x) = a0 + . .
. + an−1 xnYn+x =(x − xi ) ∈ K[x],K ⊂ C.i=1ÏîëåL = K(x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f (x).K ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèñîåäèíåíèÿ êîðíåé x1 , . . . , xn :Êîíå÷íî,Lìîæåò áûòüïîëó÷åíî èçK ⊂ K(x1 ) ⊂ K(x1 )(x2 ) ⊂ . . . ⊂ K(x1 )(x2 ) . . . (xn ) = L. äåéñòâèòåëüíîñòè ïîëå÷èñëàθ ∈ L(âîîáùå ãîâîðÿ,Lθìîæíî ïîëó÷èòü èçîòëè÷íî îò êîðíåéK ïðèñîåäèíåíèåì âñåãîf (x)). Äàííûé ðåçóëüòàòëèøü êàêîãî-òî îäíîãîïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà. Ïóñòü α è β ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì K ⊂ C. ÒîãäàK(α)(β) = K(θ)äëÿ êàêîãî-òî ÷èñëà θ ∈ K(α)(β).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü F (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ α, èìåþùèé (êàê ìû çíàåì,α1 = α, α2 , .
. . , αk , à G(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ β , èìåþùèé êîðíèβ1 = β, β2 , . . . , βm . ×èñëî θ ïîïûòàåìñÿ íàéòè â âèäåïðîñòûå) êîðíèc 6= 0,θ = α1 + cβ1 ,ïðè÷åì âûáåðåìïîäïîëå âCcòàê, ÷òîáûc 6= (α1 − αi )/(βj − β1 )i 6= 1, j 6= 1(ýòî âîçìîæíî, òàê êàê ëþáîåñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷èñåë). Ñëåäîâàòåëüíî,(θ − αi )/c 6= βjÒîãäà ìíîãî÷ëåíΦ(x) = G((θ − x)/c)èìåþò â òî÷íîñòè îäèí îáùèé êîðåíüîí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä50.4ïðèc ∈ K,K(θ)ïðè âñåõi, j ,êðîìåèìååò ñâîèì êîðíåìα1 .α1 ,i = j = 1.íî íåα2 , . . .
, αk .Çíà÷èò,Φ(x) è F (x)x − α1 . Íî2Ïîýòîìó èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ðàâåí(ïîñêîëüêó òàêîâûΦ(x)èF (x)).Îòñþäàα1 ∈ K(θ).Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåìÏóñòü çàäàí ìíîãî÷ëåí íàä àáñòðàêòíûì ïîëåìáîëåå øèðîêîì ïîëåF.Âñåãäà ëè íàéäåòñÿ ïîëåP . Îí ìîæåò íå èìåòüF ñ òàêèì ñâîéñòâîì?êîðíåé âP,íî ïîëó÷èòü èõ âÌû óæå çíàåì, ÷òî äëÿ êîìïëåêñíûõ ìíîãî÷ëåíîâ îòâåò ïîëîæèòåëüíûé.
Ýòî ìîæíî äîêàçàòü èäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ, ïðè÷åì ëåã÷å, ÷åì îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû (ïîòîìó ÷òî â ïîñëåäíåéFÿâëÿåòñÿ çàðàíåå ïðåäïèñàííûì ïîëåì).Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè êîðíÿ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì P , èìåþùåãî ñòåïåíüâûøå íóëåâîé, ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå ïîëÿ P , â êîòîðîì îí èìååò êîðåíü.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíîòíîøåíèå íà ìíîæåñòâåP [x]: u(x) ∼ v(x),f (x) ∈ P [x] ñòåïåíè n ≥ 1 è ââåäåì ñëåäóþùåå áèíàðíîåu(x) è v(x) èìåþò îäèíàêîâûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ íàåñëèf (x). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïîýòîìó âñå ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâíàä P ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Êëàññ ìíîãî÷ëåíîâ, ýêâèâàëåíòíûõu(x), îáîçíà÷èì ÷åðåç [u(x)], à âñå ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ÷åðåç F .302Ëåêöèÿ 50Äàííàÿ êîíñòðóêöèÿ íàïîìèíàåò âû÷åòû ïî ìîäóëþìíîãî÷ëåíîâ áóäåì òàêæå íàçûâàòüâû÷åòîìn,ïîýòîìó êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíûõîòíîñèòåëüíî ìíîãî÷ëåíàñêîëüêî èìååòñÿ ðàçíûõ îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íàf (x)f (x).Âû÷åòîâ ðîâíî ñòîëüêî, íå ìåíüøå, ÷åì ýëåìåíòîâ â ïîëåP(ðàçíûåìíîãî÷ëåíû íóëåâîé ñòåïåíè ïðèíàäëåæàò, î÷åâèäíî, ðàçíûì âû÷åòàì).Îïðåäåëèì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç[u(x)] + [v(x)] = [u(x) + v(x)],F:[u(x)][v(x)] = [u(x) v(x)],u(x), v(x) ∈ P [x].Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî èõ ðåçóëüòàòû íå çàâèñÿò îò âûáîðà êîíêðåòíûõ ïðåäñòàâèòåëåé â êëàññàõ[u(x)]F â êîëüöî.f (x) ÿâëÿåòñÿ íåðàçëîæèìûì íàä ïîëåì P .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
