Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 60
Текст из файла (страница 60)
+ bn xn = bn (x − β1 ) . . . (x − βn ),am 6= 0,bn 6= 0.Îêàçûâàåòñÿ, f è g èìåþò îáùèé êîðåíü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíî íóëþ ÷èñëî,íàçûâàåìîå ðåçóëüòàíòîì ìíîãî÷ëåíîâ f è g ýòî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêàm + n ñëåäóþùåãî âèäà:a0a1a0...a1...R(f, g) = b b ...0 1b0 b 1...am......a0bn......b0am...a1an...b1291...... am ......bnnñòðîêmñòðîê292Ëåêöèÿ 49Óòâåðæäåíèå. det R(f, g) = (am )n (bn )mm QnQ(βj − αi ).i=1 j=1Äîêàçàòåëüñòâî.Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà êîðíè êàæäîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ ïîïàðíî ðàçëè÷íû.V (x1 , .
. . , xk ) îáîçíà÷àåò ìàòðèöóV (α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn ), íàõîäèìÏóñòüÂàíäåðìîíäà ïîðÿäêàR(f, g) W>0n×m=W2> D2käëÿ ÷èñåëx1 , . . . , xk .ÂçÿâW =W1> D1,0m×nãäåW1 = V (β1 , . . . , βn ),D1 = diag{f (β1 ), . . . , f (βn )},W2 = V (α1 , . . . , αm ),D2 = diag{g(α1 ), . . . , g(αm )}.Ñèìâîë diag{...} îáîçíà÷àåò äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè, óêàçàííûìè â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Èñïîëüçóÿ óæå èçâåñòíóþ íàì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ Âàíäåðìîíäà,ïîëó÷àåìdet R(f, g)Y(αk − αi )1≤i<k≤m(−1)mn (am )n (bn )mY(αk − αi )1≤i<k≤mm YnY(βj − αk )i=1 j=1Y(βl − βj )1≤j<l≤nY(βl − βj ) =1≤j<l≤nm YnYi=1 j=1(βj − αi )m YnY ñèëó ïðèíÿòîãî îãðàíè÷åíèÿ äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.Çàäà÷à.(αi − βj ).i=1 j=12Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå â ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ êîýôôèöèåíòîâ è êîðíåé áåç ïðåäïîëî-æåíèÿ î òîì, ÷òî êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ ïîïàðíî ðàçëè÷íû.Çàäà÷à.ñòåïåíè49.3nÄîêàæèòå, ÷òî ñòåïåíü íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ìíîãî÷ëåíîâðàâíàf (x) ñòåïåíè m è g(x)m + n − rankR(f, g).Ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîéÍàøè èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, ïîëåé è ìíîãî÷ëåíîâ óæå ñåé÷àñ ïîçâîëÿþòðàçîáðàòüñÿ ñ ìíîãèìè íå î÷åíü ïðîñòûìè âîïðîñàìè.
Äàâàéòå ïîñìîòðèì, êàê îíèïðèìåíÿþòñÿ ê àíàëèçó ïîñòðîåíèé, âûïîëíÿåìûõ ñ ïîìîùüþ ëèøü öèðêóëÿ è ëèíåéêè.Âîò çíàìåíèòûå ïðèìåðû òàêèõ çàäà÷:• ïîñòðîèòü ðåáðî êóáà, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà çàäàííîãî êóáà(çàäà÷à îá óäâîåíèè êóáà);• ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, âïèñàííûé â çàäàííóþ îêðóæíîñòü.Âîïðîñ î òîì, ÷òî ìîæíî è ÷òî íåëüçÿ ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè, îêàçàëñÿ òðóäíûì è íå ïîääàâàëñÿ ðåøåíèþ íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ âåêîâ.Èñïîëüçóÿ ìåòîä êîîðäèíàò, ìû ìîæåì ñâåñòè âîïðîñ î ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèÿõ ê íàõîæäåíèþ íåêîòîðîé ñïåöèàëüíîé öåïî÷êè ðàñøèðåíèé ïîëåé, íà÷èíàþùåéñÿ ñïîëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïîëÿ âëîæåíû, êîíå÷íî, â ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðåáðî çàäàííîãî êóáà è ðàäèóñ çàäàííîé îêðóæíîñòè ðàâíû 1.
Îïèðàÿñü íà òåîðåìó Ôàëåñà, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ëþáîé îòðåçîê ðàöèîíàëüíîé äëèíû.Ïóñòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç m øàãîâ. Íàíà÷àëüíîì (íóëåâîì) øàãå ìû èìååì ëþáûå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè èç ïîëÿ Q0 = Q.Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ê íà÷àëó i-ãî øàãà ìû èìååì ëþáûå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìèèç íåêîòîðîãî ïîëÿ Qi−1 . Òîãäà íà i-ì øàãå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç òðåõ äîïóñòèìûõïîñòðîåíèé:Å. Å. Òûðòûøíèêîâ293(a) ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàìè èç Qi−1 ;(b) ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåçïàðó òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè èç Qi−1 , öåíòð îêðóæíîñòè åñòü òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìèèç Qi−1 , à ñàìà îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè èç Qi−1 (îòñþäàÿñíî, ÷òî êâàäðàò ðàäèóñà åñòü ÷èñëî èç Qi−1 );(c) ïåðåñå÷åíèå äâóõ îêðóæíîñòåé ñ òåì æå ïðåäïîëîæåíèåì îòíîñèòåëüíî öåíòðàè ðàäèóñà.Íå î÷åíü òðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî êàæäîå èç äîïóñòèìûõ ïîñòðîåíèé äàåò òî÷êè,êîîðäèíàòû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò ïîëþ Qi−1 ëèáî íåêîòîðîìó åãî ðàñøèðåíèþQi = Qi−1 (θi ),ãäåθi ∈/ Qi−1 ,íîDi ≡ θi2 ∈ Qi−1 .Ïåðåíóìåðóåì ïîäðÿä òîëüêî òå ïîëÿ, êîòîðûå íå ñîâïàäàþò ñ ïðåäûäóùèì ïîëåì.Ïîñëå ýòîãî ïîëó÷àåì öåïî÷êó èç k ≤ m ðàñøèðåíèé âèäàQ = Q0 ⊂ Q1 ⊂ .
. . Qk−1 ⊂ Qk ,Qi = Qi−1 (θi ),Di = θi2 ∈ Qi ,θi ∈/ Qi−1 ,(1)i = 1, . . . , k.(2)Òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè äîêàçàòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà. Çàäà÷à îá óäâîåíèè êóáà íåðàçðåøèìà ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè.Äîêàçàòåëüñòâî.  äàííîì ñëó÷àå öåëü ïîñòðîåíèé îòðåçîê äëèíû 21/3 . Åñëè ïî-ñòðîåíèå âîçìîæíî, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ öåïî÷êà ðàñøèðåíèé, â êîòîðîé 21/3 ∈ Qk , íî21/3 ∈/ Qk−1 . Ñëåäîâàòåëüíî,21/3 = a + bθk ,a, b ∈ Qk−1 ,b 6= 0.Âîçâîäÿ â êóá, íàõîäèì2 = a3 + 3a2 θk + 3ab2 Dk + b3 Dk θk⇒2 − a3 − 3ab2 Dk = (3a2 + b2 Dk )b θk .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî b 6= 0 è 3a2 + b2 Dk > 0, ïîëó÷àåìθk =2 − a3 − 3ab2 Dk∈ Qk−1 ,(3a2 + b2 Dk )b÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàøèì ïðåäïîëîæåíèÿì.2Èññëåäîâàíèå âîïðîñà î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ ìåíåå ýëåìåíòàðíî.Òåì íå ìåíåå, ìû íàõîäèìñÿ áóêâàëüíî â äâóõ øàãàõ, íàïðèìåð, îò äîêàçàòåëüñòâàíåâîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî 7-óãîëüíèêà.
Îäèí èç ýòèõ øàãîâ ñâÿçàí ñ èçó÷åíèåì ðàñøèðåíèé ïîëåé êàê ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ è âêëþ÷àåò ëåãêî äîêàçûâàåìóþòåîðåìó î ðàçìåðíîñòÿõ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ. Äðóãîé øàã ýêâèâàëåíòåí äîêàçàòåëüñòâóíåðàçëîæèìîñòè íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ìíîãî÷ëåíà f (x) = 1 + x + . . . + xn−1ïðè ïðîñòîì n.29449.4Ëåêöèÿ 49Êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿ ïîëåéÏðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëå P âëîæåíî â ïîëå F . Òîãäà ýëåìåíòû èç F ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðû.
Ñóììîé âåêòîðîâ ìîæíî íàçâàòü èõ ñóììó êàê ýëåìåíòîâ ïîëÿF . Óìíîæåíèå âåêòîðîâ (ýëåìåíòîâ F ) íà ÷èñëà (ýëåìåíòû P ) ìîæíî îïðåäåëèòü åñòåñòâåííûì îáðàçîì êàê óìíîæåíèå äâóõ ýëåìåíòîâ: îäèí (âåêòîð) èç ïîëÿ F , äðóãîé(÷èñëî) èç ïîëÿ P . Âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, âûïîëíåíû. Ïîýòîìó F ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P .Ïîëå F íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì ðàñøèðåíèåì ïîëÿ P , åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P . Ðàçìåðíîñòü äàííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ðàñøèðåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ (F : P ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëå P âëîæåíî â ïîëå F , à F âëîæåíî â ïîëå H : P ⊂ F ⊂ H .Òîãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå òðè ðàñøèðåíèÿ:P ⊂ F,F ⊂ H,P ⊂ H.(∗)Òåîðåìà. Èç êîíå÷íîñòè ïåðâûõ äâóõ ðàñøèðåíèé âèäà (∗) âûòåêàåò êîíå÷íîñòüòðåòüåãî ðàñøèðåíèÿ, à èç êîíå÷íîñòè òðåòüåãî êîíå÷íîñòü ïåðâûõ äâóõ ðàñøèðåíèé.
Ïðè ýòîì ñòåïåíè ðàñøèðåíèé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì(H : P ) = (H : F ) (F : P ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì êîíå÷íîñòü ðàñøèðåíèé P ⊂ F è F ⊂ H . Ïóñòüa1 , . . . , am ýëåìåíòû ïîëÿ F , îáðàçóþùèå áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà F íàä ïîëåì P . Àíàëîãè÷íî, ïóñòü b1 , . . . , bn ýëåìåíòû ïîëÿ H , îáðàçóþùèå áàçèñ ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà H íàä ïîëåì F . Î÷åâèäíî, ëþáîé ýëåìåíò h ∈ H ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå!nmm XnXXXh=sij ai bj =sij (ai bj ),sij ∈ P.j=1i=1i=1 j=1Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé ýëåìåíò h ∈ H ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè mnýëåìåíòîâ ïîëÿ H ⇒ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî H íàä ïîëåì P êîíå÷íîìåðíî è åãîðàçìåðíîñòü íå âûøå mn.Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ (âåêòîðîâ)ai b j ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Ïóñòü h = 0.
Òîãäà, ïîñêîëüêó b1 , . . . , bn åñòü áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà H íàäïîëåì F , íàõîäèìmXsij ai = 0,1 ≤ j ≤ m.i=1Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû (âåêòîðû) a1 , . . . , am îáðàçóþò áàçèñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâåF íàä ïîëåì P , îòñþäà ïîëó÷àåì sij = 0 äëÿ âñåõ i, j . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòüëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà H íàä ïîëåì P â òî÷íîñòè ðàâíà mn.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñøèðåíèå P ⊂ H êîíå÷íî. Ïóñòü a1 , ..., am ëèíåéíîíåçàâèñèìûå âåêòîðû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà F íàä ïîëåì P , à b1 , ..., bn ëèíåéíîíåçàâèñìûå âåêòîðû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà H íàä ïîëåì F . Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùååÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ295ðàññóæäåíèå, ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ ai bj êàê ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà H íàä ïîëåì P . Çíà÷èò, mn ≤ (H : P ). Ïîýòîìó îáàðàñøèðåíèÿ P ⊂ F è F ⊂ H êîíå÷íû. 2Ñëåäñòâèå. Ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ Q ⊂ Qk , ïîëó÷àåìîãî â öåïî÷êå ðàñøèðåíèé (1), (2),ðàâíà 2k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ìèíèìàëüíîì θ-ðàñøèðåíèè, êàæäîå èç ðàñøè2ðåíèé Qi−1 ⊂ Qi â öåïî÷êå (1), (2) èìååò ñòåïåíü 2.49.5Êðóãîâûå ìíîãî÷ëåíû ïðîñòîé ñòåïåíèÐå÷ü èäåò î ìíîãî÷ëåíàõ f (x) = 1 + x + . .
. + xn−1 =xn −1x−1ïðè ïðîñòîì n.Òåîðåìà. Ìíîãî÷ëåí f (x) ïðè ïðîñòîì n íåðàçëîæèì íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçëîæèìîñòü f (x) íàä Q ðàâíîñèëüíàâîçìîæíîñòè åãî ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå f (x) = g(x)h(x), ãäå íåíóëåâûå ìíîãî÷ëåíû g(x)è h(x) èìåþò öåëî÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû. 1Çàìåíèâ êàæäûé èç êîýôôèöèåíòîâ íà ïîðîæäàåìûé èì âû÷åò ïî ïðîñòîìó ìîäóëþn, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû fn (x), gn (x), hn (x) íàä ïîëåì Zn è ðàâåíñòâî fn (x) = gn (x)hn (x).Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå äëÿ áèíîìà Íüþòîíà, íåñëîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîìíîãî÷ëåíîâ íàä Zn : xn − 1 = (x − 1)n . Ïîýòîìó â ïîëå Zn ñïðàâåäëèâû ðàçëîæåíèÿfn (x) = (x − 1)n−1 ,gn (x) = (x − 1)m1 ,hn (x) = (x − 1)m2 ,m1 + m2 = n − 1.Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäîå èç öåëûõ ÷èñåë g(1) è h(1) äåëèòñÿ íà n ⇒ f (1) = g(1)h(1)äåëèòñÿ íà n2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
