Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Îí îòíîñèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè ôàêòîâ,êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü òåîðåìàìè ÕàíàÁàíàõà.Òåîðåìà ÕàíàÁàíàõà. Ïóñòü V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, L åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, w ∈/ Le = L + L(w). Òîãäà ëþáîé ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé ôóíêöèîíàë f : L → C íà L ìîæíî ïðîäîëæèòüèLÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ323e → C íà Le òàêèì îáðàçîì, ÷òî fe(x) = f (x) ∀ x ∈ L èäî ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî ôóíêöèîíàëà fe : Leïðè ýòîì ||f || = ||f ||.Äîêàçàòåëüñòâî.u∈Lα ∈ C.fe(u + αw) = f (u) + αc, ãäå c = fe(w). Òàêèì îáðàçîì, feîïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì c. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ||f || = 1.
ßñíî, ÷òî ||fe|| ≥ 1 ïðè ëþáîì âûáîðå c. Ïîýòîìóíóæíî íàéòè òàêîå c, ÷òîáû |f (u) + αc| ≤ ||u + αw|| ïðè âñåõ u ∈ L è α ∈ C.ÏóñòüèÒîãäàÐàññìîòðèì ñíà÷àëà áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà âñå ïðîñòðàíñòâà è ôóíêöèîíàëû ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè.2 Âñå ïîëó÷àåòñÿ èç âïîëíå ýëåìåíòàðíîãî íàáëþäåíèÿ:f (u) − f (v) ≤ ||u − v|| ≤ ||u + w|| + ||v + w|| ∀ u, v ∈ L.Íî åãî íóæíî ïðàâèëüíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü. Çàïèøåì åãî â âèäåf (u) − ||u + w|| ≤ f (v) + ||v + w||,ãäå ëåâàÿ ÷àñòü çàâèñèò òîëüêî îòu,à ïðàâàÿ òîëüêî îòv.Ïîýòîìó âñå ÷èñëà ñëåâà è ñïðàâà ðàçäåëÿ-þòñÿ êàêèì-òî îäíèì ÷èñëîì:f (u) − ||u + w|| ≤ −c ≤ f (v) + ||v + w|| ∀ u, v ∈ L.|f (u) + c| ≤ ||u + w|| äëÿ âñåõ u ∈ L. Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî s 6= 0 íàõîäèì|f (u) + sc| = |s||f (u/s) + c| ≤ |s|||u/s + w|| = ||u + sw||.
Òî æå âåðíî, êîíå÷íî, è äëÿ s = 0. Èòàê,âåùåñòâåííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f (x) ìîæíî äîîïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà fe(w) = c íàe òàêèì îáðàçîì, ÷òîáîëåå øèðîêîì ïðîñòðàíñòâå LÒåïåðü óæå ÿñíî,|fe(u + sw)| = |f (u) + sc| ≤ ||u + sw|| ∀ u ∈ L, ∀ s ∈ R.Ïåðåéäåì ê îáùåìó ñëó÷àþ, êîãäà ïðîñòðàíñòâà è ôóíêöèîíàëû êîìïëåêñíûå. Âûäåëèâ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòèf (x) = g(x) + ih(x), çàìåòèì, ÷òî âåùåñòâåííûå ôóíêöèîíàëû g(x) è h(x)g(x) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì, åñëèóæå íå áóäóò ëèíåéíûìè.
Òåì íå ìåíåå,Lðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Âûïîëíèâ ïîäðÿä äâàge(x) íà ïðîñòu + sw + t(i w), ãäå u ∈ L è s, t ∈ R. Ïðè ýòîì áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî|eg (u + sw + t(i w))| ≤ ||u + sw + ti w||. Îòñþäà ïîíÿòíî, ÷òî ge(x) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåùåñòâåííûée è òàêîé, ÷òîôóíêöèîíàë, îïðåäåëåííûé íà Lîïèñàííûõ âûøå øàãà ïðîäîëæåíèÿ, ïîëó÷èì âåùåñòâåííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëðàíñòâå âåêòîðîâ âèäàe|eg (x)| ≤ ||x|| ∀ x ∈ L.Ôóíêöèîíàëge(x) îáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè ëèøü ïðè óìíîæåíèè íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà.(∗)Îäíà-êî, ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèîíàëfe(x) = ge(x) − ieg (ix),ex ∈ L,e . Ê òîìó æå,Leïðè âñåõåãî âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü re(f (x)) ñîâïàäàåò ñ ge(x), à ïðè âñåõ x ∈ L èìååì fe(x) = f (x).e .
Ïóñòü fe(x) = |fe(x)|ξ , ãäå ξ ∈ C è, î÷åâèäíî,Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî |fe(x)| ≤ ||x|| ïðè âñåõ x ∈ L|ξ| = 1. Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó (∗), íàõîäèìêîòîðûé, êàê ìîæíî óáåäèòüñÿ, óæå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íàex∈Lg (ξx)| ≤ ||ξx|| = ||x||. 2|fe(x)| = |fe(ξx)| = |e2 Íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, Õàí è Áàíàõ ðàññìîòðåëè èìåííî ýòî ñëó÷àé.324Ëåêöèÿ 56Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2757.1Âûáîð áàçèñàÑ òî÷êè çðåíèÿ òî÷íîé ìàòåìàòèêè âñå áàçèñû ðàâíîïðàâíû. Íî ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé ðàçíèöà ìåæäó áàçèñàìè îãðîìíà!Ïóñòü e = {e1 , .
. . , en } ñòàíäàðòíûé áàçèñ â Cn , à g = {g1 , . . . , gn } êàêîé-òî äðóãîé áàçèñ. Ïóñòü j -é ñòîëáåö ìàòðèöû P ñîñòîèò èç êîîðäèíàò âåêòîðà gj â ñòàíäàðòíîìáàçèñå e. Òîãäà êîîðäèíàòû îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà â áàçèñàõ e è g ñâÿçàíû ðàâåíñòâîì x = P z , ãäå x ∈ Cn ñîäåðæèò êîîðäèíàòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî ñòàíäàðòíîìóáàçèñó e, à z ∈ Cn êîîðäèíàòû ðàçëîæåíèÿ òîãî æå âåêòîðà ïî áàçèñó g . ⇒z = P −1 x.Òèïè÷íà ñèòóàöèÿ, êîãäà â õîäå âû÷èñëåíèé âìåñòî x âîçíèê ñëàáî âîçìóùåííûéâåêòîð xe = x + δ .
Òîãäà âìåñòî z áóäåò ïîëó÷åí âåêòîðze ≡ z + ∆ = P −1 (x + δ) ⇒ ∆ = P −1 δ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x 6= 0 (òîãäà è z 6= 0). Èñïîëüçóÿ ñïåêòðàëüíóþ íîðìó, íàõîäèì||∆||2 =||P −1 δ||2||P −1 ||2 ||δ||2||P z||2 ≤||P ||2 ||z||2 ⇒||x||2||x||2||∆||2||δ||2≤ (||P −1 ||2 ||P ||2 ).||z||2||x||2(#)Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ||∆||2 /||z||2 â âåêòîðå z íå áîëüøå, ÷åìîòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ||δ||2 /||x||2 â âåêòîðå x, óìíîæåííàÿ íà ÷èñëîγ(P ) ≡ ||P −1 ||2 ||P ||2 .Âåëè÷èíà γ(P ) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû P .Ê ñîæàëåíèþ, ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åíü áîëüøèì, à íåðàâåíñòâî(#) äëÿ íåêîòîðûõ âåêòîðîâ x è δ ìîæåò ïðåâðàùàòüñÿ â ðàâåíñòâî.  ñàìîì äåëå, ïóñòüP = V ΣU ∗ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû P ,u1 è v1 ïåðâûå ñòîëáöû ìàòðèö U è V , à un è vn ïîñëåäíèå ñòîëáöû òåõ æå ìàòðèö.ÒîãäàP u1 = σ1 v1 , P un = σn vn .325326Ëåêöèÿ 57Âçÿâ x = v1 è δ = εvn , íàõîäèì||∆||2|ε|/σnσ1||δ||1== |ε|= ||P −1 ||2 ||P ||2.||z||21/σ1σn||x||2 îòëè÷èå îò ïðîèçâîëüíûõ áàçèñîâ, îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû îáëàäàþò çàìå÷àòåëüíûì äîñòîèíñòâîì.
Äëÿ íèõ ìàòðèöà P óíèòàðíàÿ, à äëÿ ëþáîé óíèòàðíîé ìàòðèöûñïåêòðàëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ðàâíî 1 (äîêàæèòå!).Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìàòåìàòèêè-âû÷èñëèòåëè ïðåäïî÷èòàþò, åñëè âîçìîæíî, èìåòü äåëî ñ îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè.57.2ÏóñòüÁàçèñû â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâPn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêàÅñòåñòâåííûé áàçèñ âPnîáðàçóþò îäíî÷ëåíûn(ñòåïåíèn−1è íèæå).1, x, . . . , xn−1 .Ñ òî÷êè çðåíèÿ âû÷èñëåíèé ýòî î÷åíü ïëîõîé áàçèñ. Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî íàéòè ìíîãî-p(x) ∈ Pn , ïðèíèìàþùèé â çàäàííûõ òî÷êàõ a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b çàäàííûå çíà÷åíèÿf1 , f2 , .
. . , fn . Ýòî ìîãóò áûòü çíà÷åíèÿ êàêîé-òî ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] â ýòîì ñëó÷àå p(x)ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðîå ïðèáëèæåíèå ê f (x) íà äàííîì îòðåçêå, âûáèðàåìîå èç óñëîâèÿñîâïàäåíèÿ çíà÷åíèé f (x) è p(x) â òî÷êàõ xi . Òàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé èíòåðïîëÿöèè, à p(x) èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ ôóíêöèè f (x) â óçëàõ xi . Ðåøåíèå âðîäå áû î÷åâèäíî: åñëèp(x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 , òî÷ëåí11.
. .1x1x2...xn a0f1. . . xn−11 a1 f2 . . . xn−12 = .. . .... ... ... n−1an−1fn. . . xnÎäíàêî, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äàííîé ñèñòåìû èìååò ñïåêòðàëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè√íå ìåíüøå 2n−2 / n íåçàâèñèìî îò âûáîðà óçëîâ xi . 1 Ïîýòîìó äàæå ìàëûå ïîãðåøíîñòè â çíà÷åíèÿõfi ìîãóò ïðèâåñòè ê íåäîïóñòèìûì ïîãðåøíîñòÿì â êîýôôèöèåíòàõ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíàp(x).Ñòðîèòü âû÷èñëåíèÿ íà îñíîâå êîýôôèöèåíòîâ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà äåëî ïî÷òè áåçíàäåæíîå. Íî ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî íóæíî îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ èíòåðïîëÿöèîííûõ ìíîãî÷ëåíîâ.Íóæíî ëèøü âûáðàòü äðóãîé áàçèñ äëÿ èõ ïðåäñòàâëåíèÿ!p(x)Îäíà èç âîçìîæíîñòåé çàïèñàòüp(x) =ñëåäóþùèì îáðàçîì:nXi=1 äàííîì ñëó÷àå äëÿ ðàçëîæåíèÿ÷ëåíîâ Ëàãðàíæàp(x)Yfi1≤j≤nj 6= ix − xj.xi − xj(∗)èñïîëüçóåòñÿ áàçèñ èç òàê íàçûâàåìûõYli (x) =1≤j≤nj 6= iýëåìåíòàðíûõ ìíîãî-x − xj.xi − xjËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîli (xk ) =p(x) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåòèíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëîé Ëàãðàíæà.Ïîýòîìón1,0,óñëîâèÿìi = k,i 6= k.p(xk ) = fk , 1 ≤ k ≤ n.Ôîðìóëà(∗)íàçûâàåòñÿ1 Ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî (âñå æå òðåáóþùåå òåõíèêè, êîòîðóþ ìû åùå íå óñïåëè ðàçâèòü), ìîæíîíàéòè â ñòàòüå: E.
E. Tyrtyshnikov, How bad are Hankel matrices?,Numer. Math., no. 67, 1994, pp. 261269.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ327Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü ââåñòè âPnñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è ïîñòðîèòü áàçèñ èç îðòîãîíàëüíûõ(îðòîíîðìèðîâàííûõ) ìíîãî÷ëåíîâ ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà, ïðèìåíåííîãî ê ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ1, x, x2 , . . . .Íàïðèìåð, äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà îòðåçêå[−1, 1]ìîæíî îïðå-äåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê èíòåãðàëZ1(f, g) =f (x)g(x) dx,f, g ∈ Pn .−1Òîãäà ïîëó÷àòñÿ îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû, èçâåñòíûå êàêìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà. òåîðèè è âû÷èñëåíèÿõ ïðèìåíÿþòñÿ è ìíîãèå äðóãèå ñïîñîáû çàäàíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿâPn ,ïðèâîäÿùèå ê äðóãèì ïîëåçíûì ñèñòåìàì îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ.
Íàïðèìåð, ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèåZ1(f, g) =−1ïîðîæäàåòìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà.f (x)g(x)√dx,1 − x2f, g ∈ Pn ,328Ëåêöèÿ 57Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 3258.1Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöûÏî òåîðåìå ÃàìèëüòîíàÊýëè, ìàòðèöà A ∈ Cn×n àííóëèðóåòñÿ ñâîèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì: åñëè f (λ) = det(A − λI), òî f (A) = 0. Ìíîãî÷ëåí ìèíèìàëüíîéñòåïåíè ñ òåì æå ñâîéñòâîì íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû A.Ëåììà.
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü φ(λ) è f (λ) ìèíèìàëüíûé è õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíû äëÿ A. Âûïîëíèì äåëåíèå ñ îñòàòêîì: f (λ) = q(λ)φ(λ) + r(λ). Î÷åâèäíî, r(A) = 0.Íåðàâåíñòâî deg r(λ) < deg φ(λ) ïðîòèâîðå÷èëî áû ìèíèìàëüíîñòè ìíîãî÷ëåíà φ(λ).Ïîýòîìó r(λ) íóëåâîé ìíîãî÷ëåí. 2Òåîðåìà.
Ïóñòü A èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , . . . , λm . Ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A ðàâíà ñóììå n1 + . . . + nm , ãäå ni ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê æîðäàíîâûõ êëåòîê äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λi .Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x =Pxj ïî öèêëè÷åñêèì ïîäïðîñòðàíñòâàì Lj (ïîñëåäíèå â ïðÿìîé ñóììå äàþò Cn ).
Ïóñòüïîäïðîñòðàíñòâà Lj1 , . . . , Ljm îòâå÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, λ1 , . . . , λm è èìåþò ðàçìåðíîñòèn1 , . . . , nm . Òîãäà ker(A − λi I)ni = Ki ⇒(A − λ1 I)n1 . . . (A − λm I)nm x = 0.Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà íå âûøå n1 + . . . + nm . òî æå âðåìÿ, ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå: æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà ni äëÿ λi íå ìîæåò áûòü àííóëèðîâàíà ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè ìåíüøåni , ïðè ýòîì åå ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí åñòü â òî÷íîñòè (λi − λ)ni è ýòîò ìíîãî÷ëåí íåìîæåò àííóëèðîâàòü íè îäíó èç æîðäàíîâûõ êëåòîê, îòâå÷àþùèõ äðóãîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ. 258.2Æîðäàíîâà ôîðìà: ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèèÏóòü ê òåîðåìå î ïðèâåäåíèè êâàäðàòíîé êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ê æîðäàíîâîé ôîðìå, î÷åâèäíî, ïîòðåáîâàë îò íàñ èçðÿäíûõ óñèëèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
