Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21.9141Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèÏðèâåäåííûå óðàâíåíèÿ òèïîâ (3)−(5) íå çàâèñÿò îò z . Ïîýòîìó êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêàâ ñå÷åíèÿõ ëþáîé ïëîñêîñòüþ âèäà z + D = 0 îäèíàêîâû Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòèíàçûâàþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè.142Ëåêöèÿ 21Ëåêöèÿ 2222.1Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî äàëüíåéøåì ëþáûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âåùåñòâåííûìèèëè êîìïëåêñíûìè. Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ââåñòè âàæíîå îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ äëèíûãåîìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà è ìîäóëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P , ãäå P = R èëè P = C. Êàæäîìóâåêòîðó x ∈ V ïðèïèøåì âåùåñòâåííîå ÷èñëî ||x|| òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóùèåñâîéñòâà:(1) ||x|| ≥ 0 ∀ x ∈ V,||x|| = 0 ⇔ x = 0;(2) ||αx|| = |α| ||x|| ∀ x ∈ V, ∀ α ∈ P(3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||∀ x, y ∈ V(ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü);(íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).×èñëî ||x|| íàçûâàåòñÿ íîðìîé âåêòîðà x.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V , ñíàáæåííîå íîðìîé, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. îäíîì è òîì æå ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íîðìó ìîæíî ââåñòè î÷åíü ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, ïóñòü V = Cn è λ1 , . . . , λn ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà.Åñëè x = [x1 , . . . , xn ]> , òî ïóñòü||x|| ≡nXλi |xi |.i=1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîîòâåòñòâèå x 7→ ||x|| îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1), (2), (3).×òîáû ïîñòðîèòü äðóãèå, íàèáîëåå ïîïóëÿðíûå ïðèìåðû íîðì â Cn , íàì ïîíàäîáÿòñÿíåêîòîðûå íåðàâåíñòâà, îïèðàþùèåñÿ íà ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé.Çàäà÷à.Ìîæíî ëè ââåñòè íîðìó íàR2òàê, ÷òîáû ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâxñ íîðìîé||x|| ≤ 1èìåëî áû ôîðìó òðåóãîëüíèêà?22.2Âûïóêëûå ôóíêöèè è íåðàâåíñòâàÂåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé íà èíòåðâàëå I = (a, b), åñëè äëÿëþáûõ x, y ∈ I è ëþáîãî ÷èñëà 0 ≤ t ≤ 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîf (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).(∗)Ôóíêöèÿ g(x) íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé íà I , åñëè f (x) ≡ −g(x) âûïóêëà íà I .Òåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà íà I è f 00 (x) åå âòîðàÿïðîèçâîäíàÿ. Åñëè f 00 (x) ≥ 0 ïðè âñåõ x ∈ I , òî f (x) âûïóêëà íà I .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè x = y íåðàâåíñòâî (∗) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ïðè t = 0 èëèt = 1 ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïðè ëþáûõ x, y . Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî a < x < y < b143144Ëåêöèÿ 22è 0 < t < 1. Òîãäà äëÿ z = tx + (1 − t)y èìååì x < z < y .
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà èçìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñóùåñòâóþò òî÷êè ξ è η òàêèå, ÷òîf (z) − f (x)= f 0 (ξ),z−xf (y) − f (z)= f 0 (η),y−zx < ξ < z,z < η < y.Ïî òîé æå òåîðåìå, äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè ζ ïîëó÷àåìf (y) − f (z) f (z) − f (x)−= f 00 (ζ) (η − ξ) ≥ 0,y−zz−xξ < ζ < η.Îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òî t = (y − z)/(y − x) è çàìåòèòü, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü èìååò âèäf (x)(y − z) + f (y)(z − x) − f (z)(y − x)tf (x) + (1 − t)f (y) − f (z)=(y − x).(y − z)(z − x)(y − z)(z − x)2Ñëåäñòâèå.
Ôóíêöèÿ ln x ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé.Äîêàçàòåëüñòâî. (ln x)00 = −1/x2 < 0. 2Îòñþäà, íàïðèìåð, ìîæíî ñðàçó æå âûâåñòèíèì ãåîìåòðè÷åñêèì ÷èñåë x1 , . . . , xn > 0:√níåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåä-x1 . . . xn ≤x1 + . . . + xn.n ñàìîì äåëå, èñïîëüçóÿ âîãíóòîñòü ëîãàðèôìà, íàõîäèìln22.3x1 + .
. . + xnn≥√ln x1 + . . . + ln xn≥ ln n x1 . . . xn .n2Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è ÌèíêîâñêîãîËåììà. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà p, q òàêîâû, ÷òîab ≤ap b q+pq1 1+ = 1. Òîãäàp q∀ a, b ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âîãíóòîñòè ëîãàðèôìà,ln apln bqln (ab) =+≤ lnpqapbq+pq. 2Íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà.  óñëîâèÿõ ëåììû äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x1 , . .
. , xnè y1 , . . . , yn ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî!1/pnnXXxi yi ≤|xi |pi=1nX!1/q|yi |qi=1i=1!1/pnX.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüa =nXi=1|xi |p,b =i=1!1/q|yi |q.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ145 ñëó÷àå a = 0 èëè b = 0 íåðàâåíñòâî (∗) î÷åâèäíî. Åñëè a 6= 0 è b 6= 0, òî, èñïîëüçóÿëåììó äëÿ ÷èñåë |xi |/a è |yi |/b, íàõîäèì(|xi |/a) (|yi |/b) ≤|xi |p /ap |yi |q /bq+,pqi = 1, . . .
, n.Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåìnX!11+= 1.pq|xi yi | /(ab) ≤i=12Íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî. Ïóñòü p ≥ 1, x1 , . . . , xn è y1 , . . . , yn ïðîèçâîëüíûåêîìïëåêñíûå ÷èñëà. ÒîãäànX!1/pp|xi + yi |nX≤i=1!1/pp|xi |nX+i=1!1/pp|yi |.i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè p = 1 íåðàâåíñòâî ïðîâåðÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.  ñëó÷àåp > 1 èìååì, î÷åâèäíî,nXp|xi + yi | ≤i=1nXp−1|xi + yi ||xi + yi | ≤i=1nXp−1|xi | |xi + yi |+i=1nX|yi | |xi + yi |p−1 .i=1Äëÿ êàæäîé èç ñóìì ñïðàâà ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, âçÿâ q = p/(p − 1)1 1+ = 1.
Ïîëó÷àåìp qnX|xi + yi |p ≤ i=1nX!1/p|xi |p+i=1nX!1/p |yi |pi=1!1/q|xi + yi |(p−1)qi=12Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî (p − 1)q = p è 1 − 1/q = 1/p.22.4nX⇒Íîðìû ÃåëüäåðàÏóñòü x = [x1 , . . . , xn ]> ∈ Cn . Ïðè p ≥ 1 ïîëîæèì||x||p =nX!1/p|xi |p.i=1Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì x âåëè÷èíà ||x||p ïðè p → ∞ èìååò ïðåäåë,ðàâíûé max |xi |.
Ïîýòîìó ðàçóìíî ïðèíÿòü îáîçíà÷åíèå1≤i≤n||x||∞ = max |xi |.1≤i≤n146Ëåêöèÿ 22Âåëè÷èíû ||x||p íàçûâàþòñÿ p-íîðìàìè èëè íîðìàìè Ãåëüäåðà.Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî ñîõðàíÿþò ñèëó ïðè p = ∞ (â ýòîì ñëó÷àåq = 1). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè p → ∞.Òåîðåìà. Ïðè ëþáîì p ≥ 1, âêëþ÷àÿ p = ∞, âåëè÷èíà ||x||p ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà Cn .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâà (1) è (2) íîðìû î÷åâèäíû. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà åñòüíå ÷òî èíîå, êàê íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî. 2Çàäà÷à.âîìRn êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò âåêòîðà x = [x1 , .
. . , xn ]> îáëàäàþò ñâîéñòf (x1 , . . . , xn ) = f (|x1 |, . . . , |xn |). Ïðèâåäèòå ïðèìåð íîðìû, êîòîðàÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò.22.5Ìíîãèå íîðìû íàÇà÷åì íóæíû íîðìû?Ïðåæäå âñåãî, ýòî óäîáíûé èíñòðóìåíò äëÿ èçó÷åíèÿ ïðåäåëîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ xk ∈ V íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê âåêòîðó x ∈ V , åñëè÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ||xk −x|| ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞. Âåêòîð x íàçûâàåòñÿïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xk . Îáîçíà÷åíèÿ: x = lim xk èëè xk → x ïðè x → ∞.k→∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê êàêîìó-íèáóäü âåêòîðó, íàçûâàåòñÿ ïðîñòî ñõîäÿùåéñÿ. Ýòî îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó äâóõ ðàçëè÷íûõ ïðåäåëîâ áûòü òå ìîæåò. Åñëèxk → x è xk → y , òî||x − y|| = ||(x − xk ) − (y − xk || ≤ ||x − xk || + ||y − xk || → 0 ⇒ x = y.
2 êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè ìîæíî, â ïðèíöèïå,îáîéòèñü è áåç íîðì. Ôèêñèðîâàâ êàêîé-íèáóäü áàçèñ e1 , . . . , en ∈ V , ìû ìîãëè áûðàññìîòðåòü ðàçëîæåíèÿnXkx =xki eii=1è íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ xk ñõîäÿùåéñÿ, åñëè ñõîäÿòñÿ êîîðäèíàòíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè xki ïðè âñåõ i. Òàêîå ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè íå áóäåò çàâèñåòü îò âûáîðà áàçèñà (äîêàæèòå!). Ëåãêî âèäåòü òàêæå, ÷òî èç ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè âêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûòåêàåòñõîäèìîñòü ïî ëþáîé íîðìå. Äåéñòâèòåëüíî,Pkïóñòü xi → xi . Òîãäà, âçÿâ x =xi ei , ïîëó÷àåìik||x − x|| ≤nX|xki − xi | ||ei ||.2i=1Áîëåå òîãî, èìååò ìåñòî è ìåíåå î÷åâèäíûé ôàêò: â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èçñõîäèìîñòè ïî ëþáîé íîðìå âûòåêàåò ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü.
Ìû ñêîðî ýòî äîêàæåì.Òåì íå ìåíåå, äàæå â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ñ ïîìîùüþ íîðì î÷åíü óäîáíî: âñå ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ëèøü îäíîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ||xk − x||. Ýòî òåì áîëåå âàæíî, êîãäà ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî!Å. Å. Òûðòûøíèêîâ22.6147Íîðìû â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü C[a, b] ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå[a, b]. Äëÿ ôóíêöèè f ∈ C[a, b] íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íîðìàÏÐÈÌÅÐ 1.||f ||C = max |f (x)|,a≤x≤bíàçûâàåìàÿ C -íîðìîé (èíîãäà òàêæå ðàâíîìåðíîé èëè ÷åáûøåâñêîé 1 ).Ïóñòü C 1 [a, b] ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] âìåñòå ñ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé 2 .
 äàííîì ñëó÷àå íîðìó ìîæíî ââåñòè, íàïðèìåð,òàê:||f ||C 1 = max (|f (x)| + |f 0 (x)|).ÏÐÈÌÅÐ 2.a≤x≤bÇàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé èç C 1 [a, b] ïî íîðìå C 1 âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü ïî íîðìå C . Îáðàòíîå, îäíàêî, íå âåðíî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèésin kxf k (x) = √kïðèíàäëåæèò C 1 [a, b] è ñõîäèòñÿ ïî íîðìå C ê íóëþ, íî íå ñõîäèòñÿ ïî íîðìå C 1 , òàêêàê íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïî ýòîé íîðìå.Òàêèì îáðàçîì, â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ðàçíûå íîðìû îïðåäåëÿþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå òèïû ñõîäèìîñòè.  ýòîì îòíîøåíèè êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâàîòëè÷àþòñÿ ïðèíöèïèàëüíî: â íèõ ñõîäèìîñòü ïî êàêîé-ëèáî íîðìå ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòè ïî ëþáîé äðóãîé íîðìå ýòî ôóíäàìåíòàëüíûé ôàêò, êîòîðûé ñêîðî áóäåò äîêàçàí.
Îí âðîäå áû îçíà÷àåò, ÷òî â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿèçó÷åíèåì êàêîé-íèáóäü îäíîé íîðìû. Òåì íå ìåíåå, ýòî íå òàê!  îãðîìíîì ÷èñëå âîïðîñîâ êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà âîçíèêàþò êàê ïîäïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íîìåðíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîýòîìó íîðìû â íèõ äîëæíû ïîðîæäàòüñÿ íîðìîéñîîòâåòñòâóþùåãî áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. À ìû òîëüêî ÷òî âûÿñíèëè, ÷òîäëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàçíûå íîðìû ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì.Çàäà÷à.íîðìå22.7C1Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéf k (x) = sin kx/kíå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïî.Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîíÿòèè ïðåäåëà àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà èñïîëüçóþòñÿ, íà ñàìîì äåëå, íåî÷åíü ñóùåñòâåííûì îáðàçîì íîðìà ðàçíîñòè äâóõ âåêòîðîâ ëåãêî çàìåíÿåòñÿ áîëååîáùèì ïîíÿòèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè.Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî è ρ(x, y) âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îò ýëåìåíòîâx, y ∈ M , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) ρ(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ M,ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ;(2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀ x, y ∈ M ;1  ÷åñòü çíàìåíèòîãî ðóññêîãî ìàòåìàòèêà Ïàôíóòèÿ Ëüâîâè÷à ×åáûøåâà.2 ×òîáû ðàññìàòðèâàòü f 0 (x) â òî÷êàõ a è b, ìîæíî ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f (x) îïðåäåëåííîé è äèôôåðåíöèðóåìîé íà áîëåå øèðîêîì èíòåðâàëå, íàêðûâàþùåì[a, b].148Ëåêöèÿ 22(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀ x, y, z ∈ M . òàêèõ ñëó÷àÿõ M íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, à ρ(x, y) ðàññòîÿíèåììåæäó ýëåìåíòàìè x è y .Ëþáîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ñ ðàññòîÿíèåìρ(x, y) = ||x − y||.Îäíàêî, ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî â îáùåì ñëó÷àå íå ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èÿ êàêèõëèáî îïåðàöèé íàä åãî ýëåìåíòàìè.
Íàïðèìåð, ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî Máóäåò ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ρ(x, y) = 0 ïðè x = y è ρ(x, y) = 1 ïðè x 6= y .22.8Ïðåäåëû è ïîëíîòàÏóñòü M ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ xk ∈ M íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ â M , åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x ∈ M òàêîé, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρ(xk , x) ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞. Êàê è â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå,äâóõ ðàçíûõ ïðåäåëîâ áûòü íå ìîæåò: åñëè xk → x è xk → y , òîρ(x, y) ≤ ρ(x, xk ) + ρ(xk , y) → 0⇒x = y.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xk ∈ M íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè, 3 åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ïðèk, l > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ρ(xk , xl ) < ε.Èç íåðàâåíñòâà ρ(xk , xl ) ≤ ρ(xk , x) + ρ(x, xl ) î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
