Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Åñëè ïðè ýòîì ñâîáîäíûé ÷ëåí îêàçàëñÿ ðàâåííóëþ, òî ïîëó÷àåì ïàðó ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðåäïîëîæèì,÷òî ñâîáîäíûé ÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ. ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòüâ âèäåx2y2−= 1,(100 )a2b2ãäå a, b íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà (âîçìîæíî, äëÿ òîãî ïîòðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíî ïîâåðíóòü ñèñòåìó êîîðäèíàò íà óãîë π/2).Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (100 ), íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëîé ñ ïîëóîñÿìè a è b.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òî÷êè (x, y) ãèïåðáîëû (100 ) íàõîäÿòñÿ â îáúåäèíåíèè äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ îáëàñòåé ïëîñêîñòè (êàê ãîâîðÿò, ðàñïàäàþòñÿ íà äâå âåòâè)D+ = {(x, y) : x ≥ a,|y| ≤ (b/a)|x|},D− = {(x, y) : x ≤ −a,|y| ≤ (b/a)|x|}.Ïðÿìûå h+ : y = (b/a)x è h− : y = −(b/a)x íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòàìè ãèïåðáîëû.Ïóñòü x > 0 è y = y(x) åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ y òàêîå, ÷òî y > 0 è òî÷êà (x, y)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (100 ).
Î÷åâèäíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè (x, y((x)) äî àñèìïòîòûh+ íå ïðåâûøàåò|(b/a)x − y(x)| =3 Ôóíêöèÿb2→ 0 ïðè x → +∞.|(b/a)x + y(x)|1−1) íàçûâàåòñÿ2 (z + zçàäà÷ ãèäðî- è àýðîäèíàìèêè.z 7→ôóíêöèåé Æóêîâñêîãîè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèèÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ129Ïðè x > 0 è y < 0 ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè (x, y(x)) ãèïåðáîëû ïðèáëèæàþòñÿ ê àñèìïòîòå h− . Àíàëîãè÷íûå íàáëþäåíèÿ ñïðàâåäëèâû òàêæå äëÿ òî÷åê ãèïåðáîëû ïðè x < 0.√Òî÷êè F− = (−c, 0) è F+ = (c, 0), ãäå c = a2 + b2 > 0, íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì ôîêóñàìè ãèïåðáîëû.
×èñëî e = c/a íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì ãèïåðáîëû. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ãèïåðáîëû e > 1. Ïðÿìûål−1 : x = −a/e è l+ : x = a/e íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíîé è ïîëîæèòåëüíîé äèðåêòðèñàìè ãèïåðáîëû.Íàéäåì ðàññòîÿíèÿ îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M = (x, y), óäîâëåòâîðÿþùåé (100 ), äîôîêóñîâ (âûêëàäêè ïðîâîäÿòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ýëëèïñà):p|M F− | = (x + c)2 + y 2 = |a + ex|,(A)p|M F+ | = (x − c)2 + y 2 = |a − ex|.(B)Ïîñêîëüêó |x| ≥ a è e > 1, ïîëó÷àåì(ex + a) − (ex − a) =2a, x > 0,|a + ex| − |a − ex| =−(ex + a) + (ex − a) = −2a, x < 0.Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ëþáîé òî÷êè ãèïåðáîëû (100 ) äî åå ôîêóñîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà 2a.Îïðåäåëåíèå 2.
Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ àáñî-ëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî äâóõ çàäàííûõ òî÷åê ïîñòîÿííà, íàçûâàåòñÿãèïåðáîëîé.Ïóñòü òî÷êà (x, y) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó èç îïðåäåëåíèÿ 2. Ââåäåì äåêàðòîâûêîîðäèíàòû òàêèì îáðàçîì, ÷òî çàäàííûå òî÷êè ïîëó÷àþò êîîðäèíàòû (−c, 0) è (c, 0).Ïîñòîÿííóþ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îáîçíà÷èì ÷åðåç 2a. Òîãäàpp (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a ⇒2p2222(x + c) + y = 2a − (x − c) + y⇒ (100 ).Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.Ôîðìóëû (A) è (B) äåëàþò î÷åâèäíûì òàêæå ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ îò-íîøåíèå ðàññòîÿíèé äî çàäàííîé òî÷êè è çàäàííîé ïðÿìîé ïîñòîÿííî è ðàâíî e > 1,ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëîé.Èç íàøèõ ïîñòðîåíèé ñëåäóåò, ÷òî èìåþòñÿ ðîâíî äâå âîçìîæíîñòè äëÿ âûáîðà òî÷êè (ôîêóñà) è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðÿìîé (äèðåêòðèñû), îïðåäåëÿþùèõ îäíó è òó æåãèïåðáîëó.Çàäà÷à.y 2 /b2 = 1è èìåþùåé ñ íåé åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó â îáëàñòèæå çíàêà, ÷òî èx0(òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëàÇàäà÷à.M (x0 , y0 ) ãèïåðáîëû x2 /a2 −òî÷åê (x, y) ñ êîîðäèíàòîé x òîãîÍàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóAM B ,ãäåAèBêàñàòåëüíîéê ãèïåðáîëå).
Äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ïðÿìàÿ ôîêóñû ãèïåðáîëû.Äîêàæèòå, ÷òî íèêàêàÿ ïðÿìàÿ íå ìîæåò èìåòü ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó ñ êàæäîé âåòâüþãèïåðáîëû.Çàäà÷à.x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 ïðè x > 0 äîïóñêàþò−∞ < φ < +∞. Ïî îïðåäåëåíèþ,Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè âåòâè ãèïåðáîëûðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèåx = a ch (φ), y = b sh (φ),ch (φ)=1 φ(e + e−φ ),2sh (φ)=1 φ(e − e−φ ).2ïàðàìåò-13019.7Ëåêöèÿ 19ÏàðàáîëàÏóñòü óðàâíåíèå f (x, y) èìååò âèä (2). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî λ2 > 0 è b < 0 (ýòîãîâñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ óìíîæåíèåì óðàâíåíèÿ íà (−1) è äîïîëíèòåëüíûì ïîâîðîòîìñèñòåìû êîîðäèíàò íà óãîë π ).
Óáåðåì øòðèõè, ðàññìàòðèâàÿ íîâóþ ñèñòåìó â êà÷åñòâåèñõîäíîé. Ïîëîæèâ p = −b/λ2 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèåy 2 = 2px,(20 )p > 0.Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (20 ), íàçûâà-åòñÿ ïàðàáîëîé ñ ôîêàëüíûì ïàðàìåòðîì p.Òî÷êà F = (p/2, 0) íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì ïàðàáîëû (20 ).
Ïðÿìàÿ l : x = −p/2 íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèñîé ïàðàáîëû (20 ).Ïóñòü M = (x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïàðàáîëû. Ðàññòîÿíèå îò íåå äî ôîêóñàèìååò âèäpp|M F | =(x − p/2)2 + y 2 =x2 − px + (p/2)2 + 2pxp=x2 + 2x(p/2) + (p/2)2 = |x + p/2|.Èòàê, ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè ïàðàáîëû äî ôîêóñà |F | ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò íåå äîäèðåêòðèñû l.Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå äî çàäàííîé òî÷êè F ðàâíî ðàññòîÿíèþ äî çàäàííîé ïðÿìîé l, íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé.Ïóòü ðàññòîÿíèå îò çàäàííîé òî÷êè äî çàäàííîé ïðÿìîé ðàâíî p. Âûáåðåì ñèñòåìóêîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òî F = (p/2, 0) è l : x = −p/2.
Åñëè |M F | = |x + p/2|,òî, âîçâîäÿ ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò, ïîëó÷àåì (20 ). Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ 1 è 2äåéñòâèòåëüíî ýêâèâàëåíòíû.Çàäà÷à.M (x0 , y0 ) ïàðàáîëû y 2 = 2pxè èìåþùåé ñ íåé åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå).Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ, îðòîãîíàëüíàÿ äàííîé ïðÿìîé è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M , äåëèò ïîïîëàìóãîë ìåæäó ïðÿìîé F M , ãäå òî÷êà F ôîêóñ ïàðàáîëû, è ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè x è ïðîõîäÿùåé÷åðåç òî÷êó M .Çàäà÷à.Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóÄîêàæèòå, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñà-òåëüíûõ ê ïàðàáîëå ñîâïàäàåò ñ åå äèðåêòðèñîé.Çàäà÷à.Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå òî÷êè êðèâîé, íàçûâàåòñÿ ååõîðäîé.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿýëëèïñà, ãèïåðáîëû èëè ïàðàáîëû ñåðåäèíû âñåõ õîðä, ïàðàëëåëüíûõ ïðîèçâîëüíîé çàäàííîé õîðäå,ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé.Çàäà÷à.ÊðèâàÿSE ïðîèçâîëüíàÿl(A, B) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ýòî ýëëèïñ, îäíà èç âåòâåé ãèïåðáîëû èëè ïàðàáîëà,S .
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê A è B íà S ïðÿìàÿA 6= B è êàê êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå A â ñëó÷àå A = B . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ,ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó E ïàðàëëåëüíî l(A, B), èìååò ñ S íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè C , ïîìèìîE . Ïóñòü C = E , åñëè îáùàÿ òî÷êà òîëüêî îäíà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé ïàðå òî÷åê A, B ñòàâèòñÿ âñîîòâåòñòâèå òî÷êà C íàçîâåì åå ñóììîé òî÷åê A è B .
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî S îòíîñèòåëüíîôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà íàïðÿìàÿABâ ñëó÷àåýòîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.Ëåêöèÿ 2020.1Êâàäðàòè÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò òðåõ ïåðåìåííûõÐàññìîòðèì âåùåñòâåííûé êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåíf (x, y, z) = a11 x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y 2 + 2a23 yz + a33 z 2 + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò x, y, z â ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è èññëåäóåì ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x, y, z) = 0 åãî ïðèíÿòî íàçûâàòü ïîâåðõíîñòüþ âòîðîãîïîðÿäêà.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî a11 a12 a13 a14x a12 a22 a23 a24 y f (x, y, z) = x y z 1 a13 a23 a33 a34 z ,a14 a24 a34 a441à êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ìíîãî÷ëåíà f (x, y, z) èìååò âèä aaax111213f2 (x, y, z) = x y z a12 a22 a23 y .a13 a23 a33zÊàê è â ñëó÷àå äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîïðîáóåì ïåðåéòè ê áîëåå óäîáíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.20.2Äåêàðòîâû ñèñòåìû è îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöûÏóñòü e1 , e2 , e3 è ee1 , ee2 , ee3 áàçèñíûå âåêòîðû äâóõ äåêàðòîâûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñ îáùèì íà÷àëîì.
Âûðàçèì âåêòîðû âòîðîé ñèñòåìû â âèäå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèéâåêòîðîâ ïåðâîé ñèñòåìûee1 = p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 ,ee2 = p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 ,ee3 = p13 e1 + p23 e2 + p33 e3è çàìåòèì, ÷òî p11 p21 p31p11 p12 p13(ee1 , ee1 ) (ee1 , ee2 ) (ee1 , ee3 )1 0 0 p12 p22 p32 p21 p22 p23 = (ee2 , ee1 ) (ee2 , ee2 ) (ee2 , ee3 ) = 0 1 0 .p13 p23 p33p31 p32 p33(ee3 , ee1 ) (ee3 , ee2 ) (ee3 , ee3 )0 0 1131132Ëåêöèÿ 20Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïåðåõîäà P äëÿ áàçèñîâ äâóõ äåêàðòîâûõ ñèñòåì êîîðäèíàòóäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâóP > P = I.(∗)ßñíî è òî, ÷òî åñëè ìàòðèöà ïåðåõîäà îáëàäàåò ñâîéñòâîì (∗), òî äåêàðòîâà ñèñòåìàïåðåõîäèò â äåêàðòîâó.Îïðåäåëåíèå.
Êâàäðàòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà P , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó (∗),íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé.Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà 2 îñóùåñòâëÿþò ïåðåõîä ìåæäó áàçèñàìè äåêàðòîâûõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Òàêîâû, â ÷àñòíîñòè, ìàòðèöû ïåðåõîäà, ðåàëèçóþùèå ïîâîðîò (ñì. ëåêöèþ 18).Äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå ïðèìåíèìî è äëÿ ìàòðèö, ïîðÿäîê êîòîðûõ áîëüøå 3.Ñîãëàñíî (∗), äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà îáðàùåíèå ñâîäèòñÿê òðàíñïîíèðîâàíèþ:P −1 = P > .Êðîìå òîãî, ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö îñòàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé: åñëè P > P = Q> Q = I , òî (P Q)> (P Q) = Q> (P > P )Q = Q> I Q = Q> Q = I .Î÷åâèäíî, åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà I ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé.Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêàîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó.Óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü y = P x, ãäå P ïðîèçâîëüíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿä-êà n è x ∈ Rn×1 . Òîãäà ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû-ñòîëáöà y ðàâíà ñóììåêâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû-ñòîëáöà x.Äîêàçàòåëüñòâî.y12 + . . . + yn2 = y > y = (P x)> (P x) = x> (P > P ) x = x> x = x21 + . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
