Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ëþáîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ ìîæåò áûòü âëîæåíî â ïîëå.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü K êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ. ×òîáû ðàñøèðèòü åãî äîôîðìàëüíûå ÷àñòíûå âèäà ab , ãäå a, b ∈ K è b 6= 0. Íàçîâåì ôîðìàëüíûå ÷àñòíûå abaaåñëè ad = bc. Äàííîå îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ðåôëåêñèâíûì ( = ) èbbïîëÿ, ðàññìîòðèìcd ðàâíûìè,ñèììåòðè÷íûì. Íî îíî òàêæå òðàíçèòèâíî.
 ñàìîì äåëå,èac=bdÎòñþäà(aq − bp)(cd) = 0⇔ ad = bc,cp=dq⇔ cq = dp.è, â ñèëó îòñóòñòâèÿ äåëèòåëåé íóëÿ,aq = bp ⇔aq − bp = 0 ⇒ap= .bqÑëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïîýòîìó âñå ìíîæåñòâî ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè.aab îáîçíà÷àåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäàåìûé ôîðìàëüíûì ÷àñòíûì b . Êàê ìûcóæå çíàåì, êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ëþáûì ñâîèì ïðåäñòàâèòåëåì: åñëèd ∈acaK b , òî K d = K b ; ïîýòîìó òðàäèöèîííî îí îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ëþáûì ñâîèì ïðåäñòàâèòåëåì.ÏóñòüK104Ëåêöèÿ 15Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ îïðåäåëèì ïîàíàëîãèè ñ çàäàíèåì îïåðàöèé äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë:Kab+Kcd=Kad + bcbd,Kab) K( ac c=K.dbdÏðîâåðêà òîãî, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòèõ îïåðàöèé íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé â êëàññàõ ýêâèâà-acb è K d , îñóùåñòâëÿåòñÿ âïîëíå ðóòèííûì îáðàçîì.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîæåñòâî ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ åñòü êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé 1 =K aa .
Ïðè ýòîì 0 = K a0 . Ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò èìååò âèä K ab , ãäå a 6= 0. Î÷åâèäíî, ýëåìåíòK ab áóäåò ê íåìó îáðàòíûì.aÈòàê, ìíîæåñòâî êëàññîâ Kðàñøèðåíèåì êîëüöà K ?b åñòü ïîëå. Ïî÷åìó îíî ìîæåò ñ÷èòàòüñÿacÄëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå a ↔ Kè çàìåòèì, ÷òî îíî ñîõðàíÿåòcîïåðàöèè: ëåíòíîñòèKa+b ↔ K ac c+KbccÎñòàåòñÿ äîãîâîðèòüñÿ îá îòîæäåñòâëåíèè ýëåìåíòàíå çàâèñÿùèì îò âûáîðàab ↔ K,a∈K ac cKbccñ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòèc 6= 0). 2Ïîñòðîåííîå ïîëå ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ ÿâëÿåòñÿñìûñëå, ÷òî ëþáîå ïîëå, ñîäåðæàùååK,.ìèíèìàëüíûì ïîëåì,Kaccñîäåðæàùèì(êîíå÷íî,K â òîìäîëæíî ñîäåðæàòü è äàííîå ïîëå ÷àñòíûõ (ýòî î÷åâèäíî âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ ýëåìåíòàìè ïîëå ñîäåðæèò òàêæå èõ ÷àñòíîå).Ëåêöèÿ 1616.1Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåìÏóñòü P ïðîèçâîëüíîå ïîëå, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè, è V íåïóñòîåìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà V îïðåäåëåíû äâå îïåðàöèè: ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèåâåêòîðîâ íà ÷èñëà (ýëåìåíòû èç ïîëÿ P ), è ïóñòü ýòè îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò òåì æåòðåáîâàíèÿì (àêñèîìàì), êîòîðûå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû ïðè îïðåäåëåíèè âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ òåì òîëüêî îòëè÷èåì, ÷òî âñþäó ïîä ÷èñëîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ýëåìåíò èç ïîëÿ P .
 òàêèõ ñëó÷àÿõ V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîìíàä ïîëåì P , èëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì P .Ïîíÿòèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàíàä ïîëåì P ââîäÿòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.Òî÷íî òàê æå ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êè, áàçèñà, ðàçìåðíîñòè, ïîäïðîñòðàíñòâà (ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ, ïåðåñå÷åíèÿ è ò.
ä.). Ñîõðàíÿþòñÿ âñå ôàêòû, ïîëó÷åííûå ðàíåå ïðè èññëåäîâàíèè ýòèõ ïîíÿòèé.Çàìåòèì, ÷òî èíîãäà îäíî è òî æå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ V ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ðàçíûìè ïîëÿìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàäîëæíû ñ÷èòàòüñÿ ðàçíûìè.ÏÐÈÌÅÐÛ:(1) V ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (â ðîëè âåêòîðîâ), P = R ïîëå âåùåñòâåí-íûõ ÷èñåë.
Ñëîæåíèå âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ íà ÷èñëà èç ïîëÿ R òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ êàê óìíîæåíèå äâóõ ÷èñåë êîìïëåêñíîãî è âåùåñòâåííîãî. Ýòî êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R. Êàê ëåãêî âèäåòü, dim V = 2.(2) V ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, P = Q ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ñëîæåíèåâåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿâåêòîðîâ íà ÷èñëà èç ïîëÿ Q òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ êàê óìíîæåíèå äâóõ ÷èñåë êîìïëåêñíîãî è ðàöèîíàëüíîãî.Äàííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Âîçüìåì, íàïðèìåð,ïðîñòûå ÷èñëà 1 < p1 < ... < pn è â êà÷åñòâå âåêòîðîâ èç V ðàññìîòðèì ëîãàðèôìûlog p1 , . . .
, log pn . Ïóñòüα1 log p1 + ... + αn log pn = 0,αi = si /ti , si , ti ∈ Z.Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íà ïðîèçâåäåíèå çíàìåíàòåëåé t =t1 ...tn , óæå äëÿ öåëûõ êîýôôèöèåíòîâ βi = αi t íàõîäèìβ1 log p1 + ... + βn log pn = 0⇒105log(pβ1 1 ...pβnn ) = 0⇒ pβ1 1 ...pβnn = 1.106Ëåêöèÿ 16Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå âñå βi ðàâíû íóëþ.
Òîãäà ñðåäè íèõ èìåþòñÿ êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå. Åñëè βi1 , . . . , βik > 0 è βj < 0, òî öåëîå ÷èñëîβiβpi1i1 ...pik k äîëæíî äåëèòüñÿ íà pj . ßñíî, ÷òî ýòîãî áûòü íå ìîæåò, ïîýòîìóβ1 = ... = βn = 0⇒α1 = ... = αn = 0.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî n ïðåäúÿâëåíà ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà èç nâåêòîðîâ.(3) V ìíîæåñòâî m × n ìàòðèö ñ ýëåìåíòàìè èç ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ P . Îáîçíà÷å-íèå: V = P m×n . Ñëîæåíèå âåêòîðîâ ýòî ñóììà ìàòðèö: [aij ] + [bij ] = [aij + bij ].Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî α ∈ P îïðåäåëÿåòñÿ êàê óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî: α[aij ] = [α aij ].
 äàííîì ñëó÷àå V êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîíàä ïîëåì P ; dim V = mn.Çàäà÷à.Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ôóíêöèésin x, sin 2x, . . . , sin nxùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé íà ïðîèçâîëüíîì çàäàííîì îòðåçêåÇàäà÷à.êàê ýëåìåíòîâ âå-[a, b].Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà öåëûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ íå ìîæåò áûòü àääèòèâíîéãðóïïîé ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä êàêèì-ëèáî ïîëåì.Çàäà÷à.16.2Ñóùåñòâóåò ëè ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èç 10 âåêòîðîâ?Ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåìÌíîãî÷ëåíû îò x íàä ïîëåì P ýòî ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäàp(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,a0 , a1 , .
. . , an ∈ P.(∗) äàííîì ñëó÷àå x âñåãî ëèøü ñèìâîë. Åñëè an 6= 0, òî ãîâîðÿò, ÷òî p(x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Îáîçíà÷åíèå: deg p(x) = n. Ìíîãî÷ëåíû íóëåâîé ñòåïåíè íàçûâàþòñÿêîíñòàíòàìè è îáû÷íî îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ ýëåìåíòàìè ïîëÿ P . Ìíîãî÷ëåí, âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ðàâíû 0, íàçûâàåòñÿ íóëåâûì. Äëÿ íóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíüíå îïðåäåëåíà.Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî áû, êàê è â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ðàññìàòðèâàòü p(x) êàê ôóíêöèþ îò x ∈ P . Ìû íå äåëàåì ýòî ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå. Ïóñòü,íàïðèìåð, P = Z2 = {0, 1}. Òîãäà x = x2 ∀ x ∈ Z2 .
Êàê âèäèì, ìíîãî÷ëåíû ñ ðàçíûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàâíûìè êàê ôóíêöèè, à íàì âñå æå êàæåòñÿïîëåçíûì èìåòü òàêîå îïðåäåëåíèå, ïðè êîòîðîì îíè áóäóò ðàçëè÷íûìè.Èòàê, â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ P ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãî÷ëåíû èìåííî êàêôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ îò êàêîé-òî áóêâû. Ïðè èñïîëüçîâàíèè áóêâû x ìíîæåñòâîâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ëþáûõ ñòåïåíåé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç P [x].Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí p(x) âèäà (∗) èìååò êîýôôèöèåíò aiïðè ñòåïåíè xi äëÿ âñåõ i îò 0 äî n è êîýôôèöèåíò 0 ïðè ëþáîé ñòåïåíè xi , ãäå i ≥n + 1.
Ìíîãî÷ëåíû îò x íàä ïîëåì P íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûåêîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ áóêâû x.Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåíû x è x2 íàä ïîëåì Z2 ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè (õîòÿ èñîâïàäàþò êàê ôóíêöèè îò x ∈ Z2 ).Ðàññìîòðèì äâà ìíîãî÷ëåíà èç ìíîæåñòâà P [x]:p(x) = a0 + a1 x + . . . + anp xnp ,ai = 0 ïðè i ≥ np + 1,Å. Å. Òûðòûøíèêîâ107q(x) = b0 + b1 x + . . . + bnq xnq ,bi = 0 ïðè i ≥ nq + 1.Ñóììîé ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí p(x) + q(x) = s0 + s1 x + .
. . , â êîòîðîìêîýôôèöèåíò ïðè xi ðàâåís i = ai + b i ,i ≥ 0.Ïðîèçâåäåíèåì ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí p(x) q(x) = t0 + t1 x + . . . , â êîòîðîìêîýôôèöèåíò ïðè xi ðàâåíiXti =ak bl , i ≥ 0.k+l=iÈìåííî òàêîé ìíîãî÷ëåí ïîëó÷èòñÿ, åñëè ïðèâû÷íûì ñïîñîáîì ðàñêðûòü ñêîáêè è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû â âûðàæåíèè(a0 + a1 x + . . . + anp xnp )(b0 + b1 x + . . . + bnq xnq ) =(a0 b0 ) + (a1 b0 + a0 b1 )x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + . . . + (anp bnq )xnp +nq .Âàæíîå (õîòÿ è î÷åâèäíîå) íàáëþäåíèå:deg(p(x) q(x)) = deg p(x) + deg q(x).16.3(#)Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâÓòâåðæäåíèå.
Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ P [x] îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ èóìíîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé. Äåëèòåëåéíóëÿ â P [x] íåò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó î÷åâèäíîñòè òîãî, ÷òî ñëîæåíèå ïðåâðàùàåò P [x] â àáåëåâóãðóïïó, ïåðåéäåì ñðàçó ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ.
Íàðÿäó ñ p(x) è q(x),ðàññìîòðèì åùå îäèí ìíîãî÷ëåír(x) = c0 + c1 x + . . . + cnr xnr ,ci = 0 ïðè i ≥ nr + 1.Ïóñòü (p(x)q(x))r(x) = u0 + u1 x + . . . ; p(x)(q(x)r(x)) = v0 + v1 x + . . . . Òîãäà, ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ,!!XXXXXui =ak b l c m =ak bl cm =akbl c m = vi .j+m=ik+l=jk+l+m=ik+j=il+m=jÒàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ àññîöèàòèâíî. Äèñòðèáóòèâíîñòü ïðîâåðÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì. Êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ òàêæå î÷åâèäíà. Ðîëü åäèíèöûâûïîëíÿåò ìíîãî÷ëåí 1.
Îòñóòñòâèå äåëèòåëåé íóëÿ âûòåêàåò èç ñâîéñòâà (#). 2Çàìåòèì, ÷òî P [x] ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P(ñëîæåíèå âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ, óìíîæåíèå âåêòîðîâ íàýëåìåíòû ïîëÿ P êàê óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà íóëåâîé ìíîãî÷ëåí è ìíîãî÷ëåíûíóëåâîé ñòåïåíè, îòîæäåñòâëÿåìûå ñ ýëåìåíòàìè ïîëÿ P ).Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî P [x] áåñêîíå÷íîìåðíî (ïðè îïðåäåëåíèè ìíîãî÷ëåíà êàêôîðìàëüíîé ñóììû îäíî÷ëåíîâ ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ëþáîé ñèñòåìû îäíî÷ëåíîâñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè î÷åâèäíà).
Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ Pn [x] ñòåïåíè n èëè íèæåÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè n + 1.10816.4Ëåêöèÿ 16Äåëåíèå ñ îñòàòêîìÓòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîé ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ f (x), g(x) ∈ P [x] â ñëó÷àå g(x) 6= 0 ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû ìíîãî÷ëåíû q(x), r(x) ∈ P [x] òàêèå, ÷òîf (x) = g(x)q(x) + r(x),deg r(x) < deg g(x)ëèáîr(x) = 0.(∗)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) = an xn + . .
. + a0 ,g(x) = bm xm + . . . + b0 , ïðè÷åìbm 6= 0. Åñëè deg f (x) < deg g(x), òî ñóùåñòâîâàíèå äîêàçàíî: q(x) = 0 è r(x) = f (x).Åñëè deg f (x) ≥ deg g(x), òî ïîëîæèìf1 (x) = f (x) −an n−mxg(x)bm⇒deg f1 (x) < deg f (x) ëèáî f1 (x) = 0.Âîñïîëüçóåìñÿ èíäóêöèåé ïî ñòåïåíè f (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
