Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Âàæíî, ÷òî èññëåäîâàíèÿ, âûïîëíåííûå äëÿ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà V , ñðàçó æå ïåðåíîñÿòñÿ íà ëþáîå èçîìîðôíîå åìó ïðîñòðàíñòâî.Íàïðèìåð, âåêòîðû a1 , . . . , an ∈ V ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíî çàâèñèìû âåêòîðû Φ(a1 ), . . . , Φ(an ).Òåîðåìà. Ëþáîå âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ðàçìåðíîñòè n = dim Vèçîìîðôíî Rn .Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü áàçèñ a, . . . , an â ïðîñòðàíñòâå V è îïðåäåëèìîòîáðàæåíèå Φ ñëåäóþùèì îáðàçîì:x1Φ(v) = . . . ,xnãäå x1 , . . . , xn êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà v ïî äàííîìó áàçèñó:v = x 1 a1 + . .
. + x n an .Ñîõðàíåíèå îïåðàöèé ïðîâåðÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì. 2Ñëåäñòâèå. Ëþáûå êîíå÷íîìåðíûå âåùåñòâåííûå ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû.12.3Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâÏóñòü Pn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äîêàæåì, ÷òî Pn èçîìîðôíî Rn .Ëþáîé ìíîãî÷ëåí p(x) ïîðÿäêà n èìååò âèäp(x) = pn−1 xn−1 + . . .
+ p1 x + p0 .(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ81Ïîýòîìó êàæåòñÿ, ÷òî ñ îïðåäåëåíèåì èçîìîðôèçìà Φ íåò ïðîáëåì:p0Φ(p(x)) = . . . .pn−1Äåéñòâèòåëüíî, ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò îïåðàöèè. Íî áóäåò ëè îíî âçàèìíîîäíîçíà÷íûì?Åñëè ïîä ìíîãî÷ëåíîì ïîíèìàåòñÿ ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà (∗) è ïðè ýòîì ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ x, òî âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü î÷åâèäíà.Åñëè æå ïîä ìíîãî÷ëåíîì ïîíèìàåòñÿ ôóíêöèÿ îò x âèäà (∗), òî ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî ôóíêöèé.
 ýòîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîêîýôôèöèåíòû â ïðåäñòàâëåíèè (∗) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôóíêöèè p(x) îäíîçíà÷íî. Äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü îäíî÷ëåíîâx0 , x1 , . . . , xn−1êàê ôóíêöèé îò x.Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî äàííûå îäíî÷ëåíû ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïîñêîëüêóýòî íåíóëåâûå ôóíêöèè, ñóùåñòâóåò îäíà èç íèõ, ëèíåéíî âûðàæàþùàÿñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå:xk = α0 + α1 x + .
. . + αk−1 xk−1 .Ïîíÿòíî, ÷òî òàêîãî áûòü íå ìîæåò, åñëè ýòè ôóíêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ôóíêöèèíà âñåé îñè (−∞, ∞): ïîäåëèì îáå ÷àñòè íà xk è ïåðåéäåì â îáåèõ ÷àñòÿõ ê ïðåäåëóïðè x → ∞; ñëåâà ïîëó÷èòñÿ 1, à ñïðàâà 0.Êàê áûòü, åñëè ýòè ôóíêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ íà êîíå÷íîì îòðåçêå, íàïðèìåð, íà[0, 1]? Ïðåäïîëîæèì, ÷òîp0 + p1 x + . . . + pn−1 xn−1 = 0 ∀ x ∈ [0, 1].(#) ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíîðàçëè÷íûå ÷èñëà x1 .
. . , xn ∈ [0, 1]. Ðàâåíñòâî (#) èìååò ìåñòî ïðè âñåõ x ∈ [0, 1], ïîýòîìó ìû èìååì ïðàâî ðàññìîòðåòü åãî òîëüêî äëÿ âûáðàííûõ çíà÷åíèé x = x1 , . . . , xn := 0, p0 · 1 + p1 · x1 + . . . + pn−1 · xn−11...p0 · 1 + p1 · xn + . . . + pn−1 · xn−1= 0.nÝòî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ1 x1 .
. . xn−11A = ... ... ... ... .1 xn . . . xn−1nÌàòðèöà òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà, à ìàòðèöà A> ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà ïîðÿäêà n äëÿ ÷èñåë x1 , . . . , xn . Îáîçíà÷åíèå: A> =V (x1 , . . . , xn ).Óòâåðæäåíèå. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà V (x1 , . . . , xn ) â ñëó÷àå ïîïàðíîðàçëè÷íûõ ÷èñåë x1 , . . . xn ðàâåídet V (x1 , . . . , xn ) =Y(xj − xi ).1≤i<j≤n82Ëåêöèÿ 12Äîêàçàòåëüñòâî.
Îïðåäåëèòåëü11 x1x2det V (x1 , . . . , xn ) = ......xn−1xn−112...1. . . xn ... ... . . . xnn−1íå èçìåíèòñÿ, åñëè èç i-é âû÷åñòü i−1-óþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà xn . Ïðè ýòîì â ïîñëåäíåì ñòîëáöå i-é ýëåìåíò ñòàíåò íóëåì. Óêàçàííûå äåéñòâèÿ âûïîëíèì ïîñëåäîâàòåëüíîäëÿ ñòðîê ñ íîìåðàìè i = n, n − 1, . . . , 2.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì11...11x1 − xnx2 − xn...xn−1 − xn0 .det V (x1 , . . .
, xn ) = det .........n−2n−2n−2x1 (x1 − xn ) x2 (x2 − xn ) . . . xn−1 (xn−1 − xn ) 0Ïðèìåíèì òåîðåìó Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó:det V (x1 , . . . , xn ) = (−1)n+1 (x1 − xn )(x2 − xn ) . . . (xn−1 − xn ) det V (x1 , . . .
, xn−1 )= (xn − x1 )(xn − x1 ) . . . (xn − xn−1 ) det V (x1 , . . . , xn−1 ).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ ïî èíäóêöèè.2Ñëåäñòâèå 1. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà â ñëó÷àå ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë îòëè÷åíîò íóëÿ.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ôóíêöèÿ âèäà (∗) ðàâíà íóëþ äëÿ n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèéx, òîp0 = p1 = . . . = pn−1 = 0.Îòñþäà âûòåêàåò ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü îäíî÷ëåíîâ êàê ôóíêöèé íà ëþáîì ôèêñèðîâàííîì îòðåçêå.Çàäà÷à.u1 , . . . , u nÄàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëàìíîãî÷ëåíf (x) =x1 , . .
. , xn , y1 , . . . , ynnY(x − yk )j=1k=1îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèíîñòü12.4n × n-ìàòðèöûñx = x1 , . . . , xn . Äîêàçàòü,ýëåìåíòàìè 1/(xi − yj ).nX÷òîè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êàêèõ-òî ÷èñåëujx − yju1 = . . . = un = 0.Âûâåñòè îòñþäà íåâûðîæäåí-Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàðÿäó ñ ðàçëîæåíèÿìè âåêòîðîâ ïî áàçèñó ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ òàêæå ðàçëîæåíèÿ âåêòîðîâ ïî íåêîòîðûì ñèñòåìàì ïîäïðîñòðàíñòâ.Ïóñòü W1 , . . . , Wm ïîäïðîñòðàíñòâà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V . ÌíîæåñòâîW = W1 + . .
. + Wm ≡ {w = w1 + . . . + wm : w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm }íàçûâàåòñÿ ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ W1 , . . . , Wm . Êîíå÷íî, W ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â V (äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñóììû äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ ëåãêî àäàïòèðóåòñÿ è ê ñëó÷àþ ñóììû m ïîäïðîñòðàíñòâ).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ83 ñëó÷àå, åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà w ∈ W1 + . .
. + Wm â ðàçëîæåíèèw = w1 + . . . + wm ,w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm ,âåêòîðû w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî, ñóììà äàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé. Ïîäïðîñòðàíñòâà, ñóììà êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé,íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.Åñëè e1 , . . . , en ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òî ñóììà èõ ëèíåéíûõ îáîëî÷åêW = L(e1 ) + . . . + L(en )ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé.
Ýòî íàáëþäåíèå îáîáùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Òåîðåìà. Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî è W1 , . . . , Wm åãî ïîäïðîñòðàíñòâà. ÑóììàW = W1 + . . . + Wnÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáúåäèíåíèå ïðîèçâîëüíî âûáðàííûõ áàçèñîâ äëÿ W1 , . . . , Wm äàåò áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà W .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü W ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî dim Wi = ni ,è ðàññìîòðèì W1 , .
. . , Wm êàê ëèíåéíûå îáîëî÷êè ñâîèõ áàçèñîâ:W1 = L(v11 , . . . , vn1 1 ),...Wm = L(v1m , . . . , vnm m ).Äîêàæåì, ÷òî îáúåäèíåíèå áàçèñîâ îáðàçóåò áàçèñ â V . ßñíî, ÷òî W åñòü ëèíåéíàÿîáîëî÷êà îáúåäèíåíèÿ áàçèñîâ:W = L(v11 , . . . , vn1 1 , . . . , v1m , . . . , vnm m ).Ïîýòîìó îñòàåòñÿ ëèøü óáåäèòüñÿ â ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ îáúåäèíåíèÿáàçèñîâ.
Ïóñòü w ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ. Çàïèøåì wâèäå w = w1 + . . . + wm , ãäå wi ∈ Wi , i = 1, . . . , m. Åñëè w = 0, òî â ñèëó åäèíñòâåííîñòèâåêòîðîâ w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm äàííîãî ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷àåì w1 = . .
. = wm = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè w = 0 ïî îáúåäèíåííîé ñèñòåìåv11 , . . . , vn1 1 , . . . , v1m , . . . , vnm m ðàâíû íóëþ.Ïóñòü òåïåðü îáúåäèíåíèå áàçèñîâ ïîäïðîñòðàíñòâ W1 , . . . , Wm äàåò áàçèñ W .Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü âåêòîðîâw1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm â ðàçëîæåíèè w = w1 + . . . + wm . 2Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ìàòðèöñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (òàêèõ, ÷òî12.5>A = A)Rn×nÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâè êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (òàêèõ, ÷òîA> = −A).Äîïîëíèòåëüíûå ïðîñòðàíñòâà è ïðîåêöèèÅñëè ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ÿâëåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ñâîèõ ïîäïðîñòðàíñòâL + M = V,òî M íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ L.
 ñèëó ñèììåòðèè ñóììûî÷åâèäíî, ÷òî L ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì äëÿ M . òàêèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèåv = x + y,ãäå x ∈ L, y ∈ M.84Ëåêöèÿ 12Âåêòîð x íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé âåêòîðà v íà ïîäïðîñòðàíñòâî L ïàðàëëåëüíî (âäîëüïîäïðîñòðàñòâà) M , à y ïðîåêöèåé âåêòîðà v íà M ïàðàëëåëüíî L.Óòâåðæäåíèå. Ñóììà äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ L + M ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà L ∩ M = {0}.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ñóììà ïðÿìàÿ è x ∈ L ∩ M . Òîãäà ìû èìååì äâà ðàçëîæåíèÿ x = x + 0 è x = 0 + x, â êîòîðûõ ïåðâûé âåêòîð èç L, à âòîðîé èç M .  ñèëóåäèíñòâåííîñòè êîìïîíåíò ðàçëîæåíèÿ, x = 0.Ïóñòü òåïåðü L ∩ M = {0}, è ïóñòü x1 + y1 = x2 + y2 , x1 , x2 ∈ L, y1 , y2 ∈ M . Îòñþäàx1 − x2 = −(y1 − y2 ) ∈ L ∩ M ⇒ x1 − x2 = −(y1 − y2 ) = 0 ⇒ x1 = x2 , y1 = y2 . 2 ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ (ðàäèóñ-âåêòîðîâ)ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü L è ïðÿìóþ M , ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Åñëè ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî ñóììà L + M ðàâíà L è íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Âî âñåõ äðóãèõñëó÷àÿõ èìååì ïðÿìóþ ñóììó V = L + M è ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ïðîåêöèè ðàäèóñÏÐÈÌÅÐ.−→âåêòîðà OA (òî÷êè A) íà äàííóþ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé è íà ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè.12.6Âû÷èñëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏîä âû÷èñëåíèåì êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà W â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Vîáû÷íî ïîíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèå êàêîãî-ëèáî åãî áàçèñà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìûâåêòîðîâ w1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
