Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Íî îíîèìååò íåóñòðàíèìûé õàðàêòåð â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðè÷èí. Äåëî â òîì, ÷òîëþáûå òðîéêè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ ìîãóò èìåòü ðîâíî äâà òèïà îðèåíòàöèè, àôèêñàöèÿ îäíîãî èç íèõ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíà. 2Ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è îáúÿâèòü, ÷òî òðîéêàåå áàçèñíûõ âåêòîðîâ èìååò, ñêàæåì, ïðàâèëüíóþ îðèåíòàöèþ. Ïóñòü âåêòîð ~a èìååò êîîðäèíàòû a1 , a2 , a3 , âåêòîð ~b êîîðäèíàòû b1 , b2 , b3 , âåêòîð ~c êîîðäèíàòûc1 , c2 , c3 .
Òðîéêó âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c ìîæíî íàçâàòü òðîéêîé ïðàâèëüíîé îðèåíòàöèè,åñëèa1 b 1 c 1det a2 b2 c2 > 0.a3 b 3 c 3Åñëè îïðåäåëèòåëü ìåíüøå íóëÿ, òî ýòî áóäåò òðîéêà íåïðàâèëüíîé îðèåíòàöèè. Òàêèìîáðàçîì, îïðåäåëåíèå îðèåíòàöèè çàâèñèò îò îáúÿâëåíèÿ òèïà îðèåíòàöèè äëÿ èñõîäíîéñèñòåìû êîîðäèíàò.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå îðèåíòàöèè äëÿ ïàð âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè è äàæå äëÿ ñèñòåì n ìàòðèö-ñòîëáöîâ èç Rn .10.5Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿÂåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ~a è ~b íàçûâàåòñÿ âåêòîð ~c òàêîé,÷òî:• âåêòîð ~c îðòîãîíàëåí ~a è ~b;• òðîéêà âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé;• |~c| = |~a| |~b| sin φ(~a, ~b).Åñëè ~a è ~b êîëëèíåàðíû, òî ~c = ~0.
Îáîçíà÷åíèå: ~c = [~a, ~b].−→−→Åñëè ~a = OA, ~b = OB , òî äëèíà âåêòîðà ~c, î÷åâèäíî, ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ñî ñòîðîíàìè OA è OB .×èñëî, ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðîâ [~a, ~b] è ~c, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûìïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c. Îáîçíà÷åíèå:(~a, ~b, ~c) = ([~a, ~b], ~c).1 Åñëè óêàçàòåëüíûé ïàëåö ñîãíóòü, òî ïîëó÷èòñÿ ñîâñåì íå òî.2 Êàê óòâåðæäàåò Ì.
Ì. Ïîñòíèêîâ, â ñòàðûå âðåìåíà ïðàâûìè íàçûâàëè êàê ðàç ñåãîäíÿøíèå ëåâûåòðîéêè.68Ëåêöèÿ 10Òåîðåìà. Ïóñòü âåêòîðû ~a, ~b, ~c íåêîìïëàíàðíû è V îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, íàòÿíóòîãî íà ïðèâåäåííûå ê îáùåìó íà÷àëó âåêòîðû ~a, ~b, ~c. ÒîãäàV, åñëè òðîéêà ~a, ~b, ~c ïðàâàÿ;~(~a, b, ~c) =−V, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Åñëè âåêòîðû ~a, ~b, ~c êîìïëàíàðíû, òî(~a, ~b, ~c) = 0.−→−→−→~ = [~a, ~b].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ~a = OA, ~b = OB, ~c = OC , è ïóñòü ODÑîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ,−→(~a, ~b, ~c) = |OD| γ,ãäå−→−→−→γ = |OC| cos φ(OD, OC).ßñíî, ÷òî |γ| åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè C íà ïëîñêîñòü OAB(âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà).
Ïðè ýòîì γ > 0, åñëè òî÷êè D è C íàõîäÿòñÿ ïî îäíó ñòîðîíóîò ïëîñêîñòè OAB , è γ < 0, åñëè ýòè òî÷êè îêàçàëèñü ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò äàííîé−→−→−→ïëîñêîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå òðîéêà âåêòîðîâ OA, OB, OC ïðàâàÿ, âî âòîðîì ëåâàÿ.2Ñëåäñòâèå 1.(~a, ~b, ~c) = (~b, ~c, ~a) = (~c, ~a, ~b) = −(~b, ~a, ~c) = −(~a, ~c, ~b) = −(~c, ~b, ~a).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî òðîéêè âåêòîðîâ{~a, ~b, ~c},{~b, ~c, ~a},{~c, ~a, ~b}èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèè òðîåê âåêòîðîâ{~b, ~a, ~c},{~a, ~c, ~b},{~c, ~b, ~a}. 2Ñëåäñòâèå 2. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (~a, ~b, ~c) ëèíåéíî ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó æå âûòåêàåò ëèíåéíîñòüïî òðåòüåìó àðãóìåíòó.
Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî òðîéêè {~a, ~b, ~c}, {~b, ~c, ~a}, {~c, ~a, ~b}èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ. Ïîýòîìó(~a, ~b, ~c) = (~b, ~c, ~a) = (~c, ~a, ~b).Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó è âòîðîìó àðãóìåíòàì.2Óòâåðæäåíèå 1. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå àíòèñèììåòðè÷íî:[~a, ~b] = −[~b, ~a].Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Âîò åùå îäíî ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñìåøàííûõ ïðîèçâåäåíèé:~ d)~ = (~a, ~b, d)~ + (~b, ~a, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.ïóñòü d~ = [~a, ~b] + [~b, ~a], òîãäà (d,Óòâåðæäåíèå 2. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî [~a +~b, ~c] = [~a, ~c] + [~b, ~c]. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âåêòîðd~ = [~a + ~b, ~c] − [~a, ~c] − [~b, ~c].Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ69Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, íàõîäèì~ d)~ = (~a + ~b, ~c, d)~ − (~a, ~c, d)~ − (~b, ~c, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.(d,~ d)~ = (α ~a, ~b, d)~ − α (~a, ~b, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.Àíàëîãè÷íî, åñëè d~ = [α ~a, ~b] − α [~a, ~b], òî (d,Ëèíåéíîñòü ïî âòîðîìó àðãóìåíòó âûòåêàåò èç ñâîéñòâà àíòèñèììåòðè÷íîñòè âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 2Îòìåòèì òàêæå äâà ïðîñòûõ, íî ïîëåçíûõ ïðåäëîæåíèÿ.Êðèòåðèé êîëëèíåàðíîñòè. Âåêòîðû ~a, ~b êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà [~a, ~b] = 0.Êðèòåðèé êîìïëàíàðíîñòè. Âåêòîðû ~a, ~b, ~c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà (~a, ~b, ~c) = 0.10.6Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõÏóñòü ~e1 , ~e2 , ~e3 áàçèñíûå âåêòîðû äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî[~e1 , ~e2 ] = ~e3 ,[~e2 , ~e3 ] = ~e1 ,[~e3 , ~e1 ] = ~e2 .Äëÿ âåêòîðîâ ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ,[~a, ~b] =++=~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 ïîëó÷àåìa1 b1 [~e1 , ~e1 ] + a1 b2 [~e1 , ~e2 ] + a1 b3 [~e1 , ~e3 ]a2 b1 [~e2 , ~e1 ] + a2 b2 [~e2 , ~e2 ] + a2 b3 [~e2 , ~e3 ]a3 b1 [~e3 , ~e1 ] + a3 b2 [~e3 , ~e2 ] + a3 b3 [~e3 , ~e3 ](a2 b3 − a3 b2 ) ~e1 − (a1 b3 − a3 b1 ) ~e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) ~e3 .Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëåã÷å âñåãî çàïîìíèòü, óâèäåâ â íåì ôîðìàëüíîå ïðèìåíåíèåòåîðåìû Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîé ñòðîêå:~e1 ~e2 ~e3[~a, ~b] = det a1 a2 a3 .b1 b2 b3Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ~a, ~b, ~câûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî[~a, [~b, ~c]] = (a, c) ~b − (a, b) ~c.Çàäà÷à.Íàéòè âñå ðåøåíèÿ10.7[~a, ~x] + [~b, ~x] = [~a, ~b]çàäàííûõ ~a è ~b.Äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå~xäëÿèìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ~aè~b.Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõÏóñòü ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 , ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3 .
Èñïîëüçóÿòîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ïðàâèëî70Ëåêöèÿ 10âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå, íàõîäèì(~a, ~b, ~c) = ([~a, ~b], ~c)= ((a2 b3 − a3 b2 ) ~e1 − (a1 b3 − a3 b1 ) ~e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) ~e3 , (c1~e1 + c2~e2 + c3~e3 ))= c1 (a2 b3 − a3 b2 ) − c2 (a1 b3 − a3 b1 ) + c3 (a1 b2 − a2 b1 )a1 b 1 c 1= det a2 b2 c2 .a3 b 3 c 3Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç òåîðåìû Ëàïëàñà ïðè ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïîïîñëåäíåìó ñòîëáöó.Ñëåäñòâèå. Îïðåäåëèòåëü ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ýòî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà,íàòÿíóòîãî íà âåêòîðû, îïðåäåëÿåìûå åãî ñòîëáöàìè.Çàìå÷àíèå. Âûâîä î òîì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (~a, ~b, ~c) åñòü îïðåäåëèòåëü,ìîæíî ñäåëàòü ñðàçó æå: ìû óæå äîêàçàëè, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïîêàæäîìó àðãóìåíòó è ðàâíî íóëþ â ñëó÷àå ëèíåéíî çàâèñèìûõ âåêòîðîâ; âûïîëíèâ îäíîåäèíñòâåííîå âû÷èñëåíèå (e~1 , e~2 , e~3 ) = 1 äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ äåêàðòîâîé ñèñòåìû,çàêëþ÷àåì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòîðîì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèñâîèõ àðãóìåíòîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëåì.10.8Íîðìàëè ê ïðÿìîé è ïëîñêîñòèÍåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ïðÿìîé, íàçûâàåòñÿ åå íîðìàëüþ.
Åñëè ïðÿìàÿ íàïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåìAx + By + C = 0,òî âåêòîð ~n = (A, B) îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó íà äàííîé ïðÿìîé.  ñàìîì äåëå,ëþáîé âåêòîð íà ïðÿìîé èìååò âèä ~l = (x2 − x1 , y2 − y1 ), ãäå (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ) äâåòî÷êè íà äàííîé ïðÿìîé. Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê â îáùåå óðàâíåíèé ïðÿìîé íàïëîñêîñòè, íàõîäèìA(x2 − x1 ) + B(y2 − y1 ) = 0 ⇔ (~n, ~l) = 0.Àíàëîãè÷íî, íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ äëÿäàííîé ïëîñêîñòè. Åñëè ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàòçàäàíà îáùèì óðàâíåíèåìAx + By + Cz + D = 0,òî âåêòîð ~n = (A, B, C) åå íîðìàëü.Èñïîëüçóÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, íîðìàëü ìîæíî ïîñòðîèòü, èìåÿ ïàðó íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ~a è ~b, ïðèíàäëåæàùèõ ïëîñêîñòè: âåêòîð [~a, ~b] îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòèâåêòîðîâ ~a è ~b.
(Êîíå÷íî, íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äîíåíóëåâîãî êîýôôèöèåíòà.)10.9Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé íà ïëîñêîñòèÐàññìîòðèì ïðÿìóþ l : Ax + By + C = 0 íà ïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàòè òî÷êó M0 = (x0 , y0 ) ∈/ l. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå ρ(M0 , l) îò òî÷êè M0 äîïðÿìîé l, íóæíî âûïîëíèòü òàêèå äåéñòâèÿ:Å. Å. Òûðòûøíèêîâ71• ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó M0 ïðÿìóþ l0 , îðòîãîíàëüíóþ ïðÿìîé l;• íàéòè òî÷êó M1 = (x1 , y1 ) ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l0 è l;• âû÷èñëèòü äëèíó îòðåçêà M0 M1 .Ìû óæå çíàåì, ÷òî âåêòîð ~n = (A, B) îðòîãîíàëåí ïðÿìîé l.
Ïîýòîìó ïðÿìàÿ l0 åñòüìíîæåñòâî òî÷åê âèäàl0 = {(x, y) : x = x0 + At, y = y0 + Bt,t ∈ R}.Íàéäåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t, ïðè êîòîðîì (x, y) ∈ l:A(x0 + At) + B(y0 + Bt) + C = 0 ⇒ t = −Ax0 + By0 + C.A2 + B 2−→Äàëåå, M0 M1 = (At, Bt) ⇒−→ρ(M0 , l) = |M0 M1 | =10.10|Ax0 + By0 + C|√.A2 + B 2Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòèÐàññìîòðèì ïëîñêîñòü π : Ax + By + Cz + D = 0 â ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñäåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò è òî÷êó M0 = (x0 , y0 , z) ∈/ π . Ðàññòîÿíèå ρ(M0 , l) îòòî÷êè M0 äî ïëîñêîñòè π âû÷èñëÿåòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì òî÷êè è ïðÿìîéíà ïëîñêîñòè:|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√ρ(M0 , π) =.A2 + B 2 + C 210.11Êðèòåðèè ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïðÿìîé è ïëîñêîñòèÏóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíû ïðÿìàÿ l : Ax + By + C = 0 è âåêòîð ~v = (v1 , v2 ). Åñëèñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà, òî âåêòîð ~n = (A, B) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüþ ê ïðÿìîé l.Ïîýòîìó âåêòîð ~v ïàðàëëåëåí ïðÿìîé l òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (~v , ~n) = 0.
Ó÷èòûâàÿâèä ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷àåì~v k l⇔Av1 + Bv2 = 0.(1)Äëÿ ïëîñêîñòè π : Ax + By + Cz + D = 0 è âåêòîðà ~v = (v1 , v2 , v3 ) â ïðîñòðàíñòâå ñäåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè:~v k π⇔Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.(2)Çàìåòèì, ÷òî êðèòåðèè ïàðàëëåëüíîñòè (1) è (2) îñòàþòñÿ â ñèëå è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. ñàìîì äåëå, ïóñòü âåêòîð ~v ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè π : Ax+By+Cz+D = 0. Âîçüìåìïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A(x0 , y0 , z0 ) ýòîé ïëîñêîñòè è îïðåäåëèì òî÷êó B(x1 , y1 , z1 ) òàêèì−→−→îáðàçîì, ÷òî AB = v . Òîãäà ïàðàëëåëüíîñòü âåêòîðà ~v ïëîñêîñòè π ðàâíîñèëüíà òîìó,72Ëåêöèÿ 10÷òî B ∈ π ⇔ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
