Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,íàõîäèì A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0 ⇔ Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.Òî æå ñàìîå ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì ïåðåõîäà îò çàäàííîé àôôèííîé ê êàêîé-íèáóäü äåêàðòîâîéñèñòåìå. Ìû çíàåì, ÷òî â ëþáîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ òåì æå íà÷àëîì ïëîñêîñòüπèìååòóðàâíåíèå 0AB0 0xC 0 y 0 = −D,z0 0AB0 C0 = ABC P,P ìàòðèöà ïåðåõîäà îò çàäàííîé àôôèííîé ñèñòåìû ê äåêàðòîâîé (ñì. ðàçäåë 9.11).
Êîîðäèíàòû(v10 , v20 , v30 ) âåêòîðà ~v â äåêàðòîâîé ñèñòåìå è åãî êîîðäèíàòû (v1 , v2 , v3 ) â èñõîäíîé àôôèííîé ñèñòåìåãäåñâÿçàíû ðàâåíñòâîì v1v2 = Pv3 0v1v20 v30 0 v1v1v20 = P −1 v2 .v30v3⇔Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, èìååò âèäA0 v10 + B 0 v20 + C30 v30 = 0⇔AB v1C P P −1 v2 v3⇔Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.Ëåêöèÿ 1111.1Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàÏðè èçó÷åíèè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ, ëèíåéíûõ îáîëî÷åê, áàçèñîâ, ðàçìåðíîñòåé â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ïîëàãàëè, ÷òî âåêòîðû ýòî ìàòðèöû-ñòîëáöû ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè. Âïðî÷åì, ïðè èçó÷åíèè ðàíãà ìàòðèöû ðå÷ü óæå çàõîäèëà òàêæåî ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû.
Êîíå÷íî, ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ñòðîêè ìîæíî òðàíñïîíèðîâàòü è ñíîâà èìåòü äåëî ñ ìàòðèöàìè-ñòîëáöàìè.Îäíàêî, âñå ïåðå÷èñëåííûå âûøå ïîíÿòèÿ è ìíîãèå ïîëó÷åííûå ôàêòû áåç âñÿêèõ èçìåíåíèé ìîæíî ïðèìåíÿòü è â ñëó÷àå, êîãäà ïîä âåêòîðàìè ïîíèìàþòñÿ ìàòðèöû êàêèõëèáî ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðîâ. Óæå îäíî ýòî çàñòàâëÿåò ïîäóìàòü î ââåäåíèè áîëååîáùåãî (è áîëåå àáñòðàêòíîãî) ïîíÿòèÿ âåêòîðà.Êðîìå òîãî, èçó÷àÿ áàçèñû è ðàçìåðíîñòè, ìû èìåëè äåëî èñêëþ÷èòåëüíî ñ ëèíåéíûìè îáîëî÷êàìè âåêòîðîâ, à ýòî íå âñåãäà óäîáíî: íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = 0 ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî,ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé, íî áûëî áû ïîëåçíîèìåòü ïðàâî îáñóæäàòü ñâîéñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áåç óïîìèíàíèÿ îá îáðàçóþùåé åãîñèñòåìå âåêòîðîâ.Äàâàéòå ñêàæåì, ÷òî âåêòîðû ýòî ýëåìåíòû íåêîòîðîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà V ,íà êîòîðîì îïðåäåëåíû äâå îïåðàöèè: ñëîæåíèå âåêòîðîâ (åñëè a, b ∈ V , òî a + b ∈ V )è óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà (åñëè a ∈ V è α ∈ R, òî αa ∈ V ) .Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äàííûå îïåðàöèè îáëàäàëè ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:• (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b ∈ V( àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ);• ñóùåñòâóåò îñîáûé âåêòîð 0, íàçûâàåìûé íóëåâûì âåêòîðîì, òàêîé ÷òîa + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ V ;• äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ V ñóùåñòâóåò âåêòîð b ∈ V òàêîé, ÷òîa + b = b + a = 0;• a + b = b + a ∀ a, b ∈ V(êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ);• α(β a) = (αβ) a ∀ α, β ∈ R, ∀ a ∈ V ;• (α + β) a = (αa) + (βa) ∀ α, β ∈ R, ∀a ∈ V(äèñòðèáóòèâíîñòü);• α(a + b) = (αa) + (αb) ∀ α ∈ R, ∀ a, b ∈ V(äèñòðèáóòèâíîñòü);7374Ëåêöèÿ 11• 1·a=a ∀ a∈V.1 òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîæåñòâî V íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.×àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ òåðìèí-ñèíîíèì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî V îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.
Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò íóëåâîé âåêòîð. Âåêòîð b òàêîé, ÷òîa + b = b + a = 0, íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê âåêòîðó a è îáîçíà÷àåòñÿ b ≡ −a.Íåêîòîðûå ïðèâû÷íûå ñâîéñòâà äàííûõ îïåðàöèé, ðàíåå ñâîáîäíî ïðèìåíÿâøèõñÿê ìàòðèöàì-ñòîëáöàì, â ðàññìîòðåííîì áîëåå àáñòðàêòíîì ñëó÷àå íóæäàþòñÿ â äîêàçàòåëüñòâàõ.Óòâåðæäåíèå 1. 0 · a = 0 ∀ a ∈ V .Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó äèñòðèáóòèâíîñòè, 0 · a = (0 + 0) · a = (0 · a) + (0 · a). Äàëåå,ïóñòü b = −(0 · a) (ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð ê âåêòîðó 0 · a).
Òîãäà 0 = b + (0 · a) =(b + (0 · a)) + (0 · a) ⇒ 0 = 0 · a. 2Óòâåðæäåíèå 2.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèå 3.Äîêàçàòåëüñòâî.α · 0 = 0 ∀ α ∈ R.α · 0 = α(0 + 0) = α · 0 + α · 0 ⇒ α · 0 = 0.2(−1) · a = −a ∀ a ∈ V . ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1 è äèñòðèáóòèâíîñòè, 0 = 0·a = (1+(−1))·a =(1 · a) + ((−1) · a) = a + ((−1) · a). 2Óòâåðæäåíèå 4. Åñëè α · a = 0, òî ëèáî α = 0, ëèáî a = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α 6= 0.
Òîãäà2 111α ·a=(α · a) =· 0 = 0.a=1·a=ααα2Êàê è ðàíüøå, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α1 , . . . , αn âåêòîð w âèäàw = α1 a1 + . . . + αn aníàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , . . . an , à ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñî âñåìè âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ α1 , .
. . , αn íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , . . . , an è îáîçíà÷àåòñÿ L(a1 , . . . , an ). äàëüíåéøåì ÷èñëî 0 è íóëåâîé âåêòîð 0 áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ îäíèì è òåì æåñèìâîëîì 0.11.2Ïðèìåðû áåñêîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ(1) Ìíîæåñòâî ôóíêöèé ñ âåùåñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè íà îòðåçêå [0, 1].Ñóììà f + g ôóíêöèé f è g îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè (f + g)(x) =f (x) + g(x).
Ïðè óìíîæåíèè ôóíêöèè íà ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ ôóíêèöÿ αf , îïðåäåëÿåìàÿ ïðàâèëîì (αf )(x) = αf (x). Ðîëü íóëåâîãî âåêòîðà âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ,òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ íóëþ.1 Äàííîå ñâîéñòâî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êàæäûé âåêòîðíåêîòîðîãî âåêòîðàa ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a = αb äëÿb è íåêîòîðîãî ÷èñëà α.  ñàìîì äåëå, åñëè ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî, òî ìîæíî âçÿòüb = a è α = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü âûïîëíåíèå ýòîãî ñâîéñòâà íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, íî èçâåñòíî, ÷òîa = αb. Òîãäà, èñïîëüçóÿ àêñèîìó α(β a) = (αβ) a, ïîëó÷àåì 1 · (αb) = (1 · α) · b = αb ⇒ 1 · a = a.2 Óòâåðæäåíèå íåëüçÿ ïîëó÷èòü áåç àêñèîìû 1 · a = a.  ñàìîì äåëå, âîçüìåì ëþáóþ àáåëåâó ãðóïïóV ñ íóëåâûì ýëåìåíòîì 0 è îïðåäåëèì óìíîæåíèå íà ÷èñëî ïðàâèëîì αa = 0 äëÿ âñåõ ÷èñåë α èâåêòîðîâ a ∈ V .
Ïðè ýòîì áóäóò âûïîëíåíû âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, êðîìå äàííîé.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ75(2) Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk }∞k=1 .Ñóììà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk } è {yk } îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{zk } ñ ÷ëåíàìè zk = xk + yk . Ïðîèçâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } íà ÷èñëîα îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zk } ñ ÷ëåíàìè zk = αxk . Ðîëü íóëåâîãîâåêòîðà âûïîëíÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.(3) Ìíîæåñòâî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk }∞k=1 .Îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íåîáõîäèìî ëèøü çàìåòèòü, ÷òî ñóììà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îñòàíåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, à óìíîæåíèå ñõîäÿùåéñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ÷èñëî òàêæå äàåò ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ïðèìåðû (1)-(3) çàìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êàêîãî-òî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ.
Òàêèåëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûìè.Äîêàæåì, íàïðèìåð, áåñêîíå÷íîìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé. Ïðåäïîëîæèì îòïðîòèâíîãî, ÷òî îíî ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êàêèõ-òî ôóíêöèé f1 , . . . , fn . Òîãäàëþáàÿ ôóíêöèÿ f èìååò âèäf (x) = α1 f1 (x) + . . .
+ αn fn (x).(∗)Âûáåðåì n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê x1 , . . . , xn ∈ [0, 1] è äëÿ ïðîèçâîëüíî âûáðàííîéôóíêöèè f ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèéα1 (f ) f1 (x1 ) + . . . + αn (f ) fn (x1 ) = f (x1 ),............α1 (f ) f1 (xn ) + .
. . + αn (f ) fn (xn ) = f (xn ).Ýòî åñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî α1 (f ), . . . , αn (f ).Åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äàííîé ñèñòåìû íåîáðàòèìà, òî çàâåäîìî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò íå äëÿ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè. Òîãäà ðàâåíñòâî (∗) íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû äëÿîäíîé ôóíêöèè f . Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äîëæíà áûòü îáðàòèìîé.Ïîýòîìó äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f êîýôôèöèåíòû α1 (f ), . . . , αn (f ) îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.Ïóñòü òåïåðü òî÷êà x∗ ∈ [0, 1] íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç òî÷åê x1 , . . . , xn .
Çàâåäîìîñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g òàêàÿ, ÷òî g(xi ) = f (xi ) ïðè i = 1, . . . , n, íî g(x∗ ) 6= f (x∗ ).ßñíî, ÷òî αi (f ) = αi (g) ïðè i = 1, . . . , n, îòêóäà f = g , ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ïîñêîëüêóf (x∗ ) 6= g(x∗ ). 2Çàäà÷à.ñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë11.3f1 (x), . . .
, fn (x) íåîáõîäèìî è äînxn ìàòðèöà [fi (xj )]ij=1 áûëà îáðàòèìîé.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèéx1 , . . . ,Ïðèìåðû êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâËèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ëèíåéíóþ îáîëî÷êó íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ, íàçûâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè.(1) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n.76Ëåêöèÿ 11Ìíîãî÷ëåíîì (ïîëèíîìîì) îò x ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäàf (x) = an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x + a0 .Åñëè ak 6= 0 è ak+1 = . .
. = an−1 = 0, òî k íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà f (x).Âûðàæåíèÿ âèäà axi íàçûâàþòñÿ îäíî÷ëåíàìè, èëè ìîíîìàìè.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü f (x) êàê ôóíêöèþ îò x. Òîãäà ñóììà ìíîãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê â ñëó÷àå ôóíêöèé îáùåãî âèäà.Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòèõ îïåðàöèé îñòàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè. Î÷åâèäíî,ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîéîäíî÷ëåíîâ âèäàxn−1 , xn−2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
