Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. , x1 , x0 ≡ 1.(2) Ìíîæåñòâî m × n-ìàòðèö ñ ôèêñèðîâàííûìè ðàçìåðàìè m è n. äàííîì ñëó÷àå ñëîæåíèå âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå ìàòðèö, à óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî êàê óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî.Îáîçíà÷èì ÷åðåç E kl = [(E kl )ij ] ìàòðèöó ðàçìåðîâ m × n ñ ýëåìåíòàìè âèäà1, i = k, j = l,kl(E )ij =0,èíà÷å.Òàêèõ ìàòðèö ðîâíî mn è î÷åâèäíî, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî m × n-ìàòðèö ÿâëÿåòñÿèõ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé.(3) Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b.Åñëè ðàíã m×n-ìàòðèöû A ðàâåí r, òî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé äàííîéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ñîäåðæèò n − r âåêòîðîâ, à âñå ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñîâïàäàåòñ èõ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé.Äàííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ íóëü-ïðîñòðàíñòâîì, èëè ÿäðîì ìàòðèöû A.
Îáîçíà÷åíèå: ker A (â íåêîòîðûõ êíèãàõ null A).(4) Ìíîæåñòâî âñåõ ñòîëáöîâ âèäà y = Ax (äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû A).Ýòî õîðîøî çíàêîìîå íàì ìíîæåñòâî, ñîâïàäàþùåå ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Îíî íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ìàòðèöû A. Îáîçíà÷åíèå: imA.11.4Áàçèñ è ðàçìåðíîñòüÏóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ:V = L(a1 , . . . , an ).Ïîíÿòèÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé è ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåì âåêòîðîâ â àáñòðàêòíîìñëó÷àå íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò òåõ æå ïîíÿòèé â ñëó÷àå ìàòðèö-ñòîëáöîâ.
Òî æå ñïðàâåäëèâî â îòíîøåíèè áàçèñà è ðàçìåðíîñòè:• V ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíóþ îáîëî÷êó íåêîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîéïîäñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . . . , an ;Å. Å. Òûðòûøíèêîâ77• áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìàâåêòîðîâ, äëÿ êîòîðîé V ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé; ëþáûå äâà áàçèñà â Vñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî âåêòîðîâ; ÷èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà V è îáîçíà÷àåòñÿ dim V ;• ëþáóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ èç V ìîæíî äîñòðîèòü äî áàçèñàV ; áîëåå òîãî, ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ÷àñòè âåêòîðîâ a1 , .
. . , an .Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ïðåäëîæåíèé ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà èç Ëåêöèè 3 äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ êîãäà ïîä âåêòîðàìè ïîäðàçóìåâàëèñü ìàòðèöûñòîëáöû.11.5Ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàÍåïóñòîå ìíîæåñòâî W ⊂ V íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ,åñëè îíî ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé, äåéñòâóþùèõâ V . ßñíî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû W áûëî ïîäïðîñòðàíñòâîì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ W è ëþáîãî ÷èñëà α èìåëè ìåñòî âêëþ÷åíèÿ a+b ∈ Wè αa ∈ W .Åñëè âåêòîðû a1 , .
. . , an ïðèíàäëåæàò ïîäïðîñòðàíñòâó W , òî L(a1 , . . . , an ) ⊂ W.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî V âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ñ ñèñòåìîé êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå O. Ïîñêîëüêó êàæäûé ñâîáîäíûé âåêòîð ïîðîæäàåòñÿîäíèì è òîëüêî îäíèì ðàäèóñ-âåêòîðîì, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ ìîæÏÐÈÌÅÐ.−→íî îòîæäåñòâëÿòü ñ ïîäìíîæåñòâîì ðàäèóñ-âåêòîðîâ OA èëè èõ êîíöîâ òî÷åê A.Ìíîæåñòâî V , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.
Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â V .  òî æå âðåìÿ, åñëè l ïðÿìàÿ, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî îíà ïîäïðîñòðàíñòâîì íå ÿâëÿåòñÿ:−→−→−→ïóñòü A, B ∈ l è OC = OA + OB ; ÿñíî, ÷òî C ∈/ l.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîRníåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ êî-íå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ñîâïàäàåò ñ11.6Rnè ÿâëÿåòñÿ åãî ïîäïðîñòðàíñòâîì.Ñóììà è ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâÏóñòü P è Q ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V .
Ïîä ñóììîé P + Q ïîíèìàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âèäà w = p + q , ãäå p ∈ P , q ∈ Q. Ïîä ïåðåñå÷åíèåìP ∩ Q ïîíèìàåòñÿ îáû÷íîå ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ.Óòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâà P + Q è P ∩ Q ÿâëÿþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè â V .Äîêàçàòåëüñòâî.(1) Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ w1 , w2 ∈ P + Q. Ïîîïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà P + Q, w1 = p1 + q1 è w2 = p1 + q2 , ãäå p1 , p2 ∈ P è q1 , q2 ∈ Q.Òîãäàα1 w1 + α2 w2 = (α1 p1 + α2 p2 ) + (α1 q1 + α2 q2 ) ∈ P + Q,ïîñêîëüêó âåêòîð â ïåðâîé ñêîáêå ïðèíàäëåæèò P , à âåêòîð âòîðîé ñêîáêè ïðèíàäëåæèòQ (P è Q ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîýòîìó îíè ñîäåðæàò âñå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñâîèõâåêòîðîâ).(2) Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ w1 , w2 ∈ P ∩ Q:αw1 + α2 w2 ∈ Pè îäíîâðåìåíííîα1 w1 + α2 w2 ∈ Q78Ëåêöèÿ 11⇒αw1 + α2 w2 ∈ P ∩ Q.
2Çàìåòèì, ÷òî ëþáûå äâà ïîäïðîñòðàíñòâà èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå: êàæäîå èçíèõ ñîäåðæèò, ïî êðàéíåé ìåðå, íóëåâîé âåêòîð.Òåîðåìà Ãðàññìàíà. Ïóñòü W1 è W2 êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà V . Òîãäàdim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì áàçèñ g1 , . .
. , gr ïîäïðîñòðàíñòâà W1 ∩ W2 è äîïîëíèìåãî ñíà÷àëà äî áàçèñà W1g1 , . . . , gr , p1 , . . . , pk ,r + k = dim W1 ,g1 , . . . , gr , q1 , . . . , qm ,r + m = dim W2 .à çàòåì äî áàçèñà W2Î÷åâèäíî,W1 + W2 = L(g1 , . . . , gr , p1 , . . . , pk , q1 , . . . , qm ).Ïîýòîìó îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ, ïîðîæäàþùèõ äàííóþëèíåéíóþ îáîëî÷êó. Ïóñòüα1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . .
. + βk pk + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0.Îòñþäàα1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . . . + βk pk = −(γ1 q1 + . . . + γm qm ) ∈ W1 ∩ W2 .Ïîñêîëüêó W1 ∩ W2 = L(g1 , . . . , gr ), äëÿ êàêèõ-òî êîýôôèöèåíòîâ δ1 , . . . , δr èìååìδ1 g1 + . . . + δr gr = −(γ1 q1 + . . . + γm qm ).Ýòî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâóδ1 g1 + . . . + δr gr + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0⇒δ1 = . . . = δr = γ1 = .
. . = γm = 0 ⇒Çàäà÷à.α1 = . . . = αr = β1 = . . . = βm = 0. 2Íàéäèòå ðàçìåðíîñòü ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâàâ êàæäîé ñòðîêå è ïîäïðîñòðàíñòâàn × n-ìàòðèön × n-ìàòðèö ñ íóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâñ íóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâ â êàæäîì ñòîëáöå.Ëåêöèÿ 1212.1Ðàçëîæåíèå ïî áàçèñóÏóñòü V âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n è f1 , . . . , fn íåêîòîðûéåãî áàçèñ.
Òîãäà ëþáîé âåêòîð v ∈ V èìååò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå ïî äàííîìó áàçèñóv = x1 f1 + . . . + xn fn .Êîýôôèöèåíòû x1 , . . . , xn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà v â äàííîì áàçèñå. Ïîíÿòíî, ÷òî ìåæäó ýëåìåíòàìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ìíîæåñòâà ñòîëáöîâ Rn èìååòñÿâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèåx1v ↔ x = ...
.xnÏðè âûáîðå äðóãîãî áàçèñà g1 , . . . , gn âîçíèêàåò åùå îäíî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òåìè æå ìíîæåñòâàìè:y1v = y1 g1 + . . . + yn gn ↔ y = . . . .ynÐàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿf1 = p11 g1 + . . . + pn1 gn ,.........fn = p1n g1 + . . . + pnn gn(∗)è ââåäåì n × n-ìàòðèöó P = [pij ]. Ïîäñòàâèâ (∗) â ðàçëîæåíèå âåêòîðà v ïî áàçèñóf1 , . . . , fn , íàõîäèìy = P x.(∗∗)Ýòî ñîîîòíîùåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü îò êîîðäèíàò âåêòîðà â áàçèñå {fi } ê êîîðäèíàòàì òîãî æå âåêòîðà â áàçèñå {gi }. ñèëó (∗∗), ìàòðèöó P ëîãè÷íî áûëî áû íàçûâàòü ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà {fi }ê áàçèñó {gi }. Íî îíà âñå æå íàçûâàåòñÿ îáû÷íî ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà {gi } êáàçèñó {fi }: åñëè fi è gi ñòîëáöû èç êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ â êàêîì-òîòðåòüåì áàçèñå, òî, ñîãëàñíî (∗), [f1 , .
. . , fn ] = [g1 , . . . , gn ]P (îòñþäà âûòåêàåò îáðàòèìîñòü ìàòðèöû P è òî, ÷òî P −1 åñòü ìàòðèöà ïåðåõîäà îò {fi } ê {gi }). Âïðî÷åì, äåëîíå â íàçâàíèè âàæíî, ÷òîáû P ïðàâèëüíî èñïîëüçîâàëàñü ïðè ïåðåñ÷åòå êîîðäèíàò!798012.2Ëåêöèÿ 12Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâÄâà âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà V è W íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Φ : V → W , ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèè â ñëåäóþùåì ñìûñëå:Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b),Φ(α a) = α Φ(a)∀ a, b ∈ V, ∀ α ∈ R.Ñàìî îòîáðàæåíèå Φ íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì èçîìîðôèçìîì.Çàìåòèì, ÷òî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî â ëåâîé è ïðàâîé÷àñòÿõ äàííûõ ðàâåíñòâ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå! Îïåðàöèè ñëåâà äåéñòâóþò â V , à îïåðàöèè ñïðàâà â W .
Òåì íå ìåíåå, åñëè óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû, òîýòî îçíà÷àåò èõ íåðàçëè÷èìîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ñâîéñòâ îïåðàöèé.Óòâåðæäåíèå. Φ(0) = 0,Φ(−a) = −Φ(a) ∀ a ∈ V .Äîêàçàòåëüñòâî. Φ(0) = Φ(0 + 0) = Φ(0) + Φ(0). Ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì âåêòîðb = −Φ(a) (âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé ê Φ(a)):0 = b + Φ(0) = (b + Φ(0)) + Φ(0) = 0 + Φ(0) = Φ(0) ⇒ Φ(0) = 0.2Íà ìíîæåñòâå âñåõ âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ èçîìîðôèçì ïîðîæäàåò,î÷åâèäíî, îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
