Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 21 Êîíå÷íî, â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ýòîò ôàêò ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ è áåç ññûëîê íà îáùóþ òåîðèþ.62Ëåêöèÿ 99.10Ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâåÏóñòü A, B , C âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî. Óðàâíåíèå âèäàAx + By + Cz + D = 0(#)íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.Òåîðåìà. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå ôèêñèðîâàíà àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ìíîæåñòâî òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z , óäîâëåòâîðÿþùèìè óðàâíåíèþ (#), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéïëîñêîñòü, è ïðè ýòîì ëþáàÿ ïëîñêîñòü ìîæåò áûòü çàäàíà óðàâíåíèåì âèäà (#).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü π ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè (x0 , y0 , z0 ), (x1 , y1 , z1 ),(x2 , y2 , z2 ). Òîãäà, ñîãëàñíî (2), ïëîñêîñòü π ñîñòîèò èç òî÷åê (x, y, z) òàêèõ, ÷òî x = x0 + upx + vqx ,y = y0 + upy + vqy ,(##)z = z0 + upz + vqz ,ãäå u, v ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà,(px , py , pz ) = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ),Îòñþäà(qx , qy , qz ) = (x2 − x0 , y2 − y0 , z2 − z0 ).x − x 0 p x qxdet y − y0 py qy = 0.z − z0 pz qzÊàê óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî x, y, z , î÷åâèäíî, ýòî óðàâíåíèå èìååò âèä (#).Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (#).
Îíîñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé,ñîñòîÿùåé èç îäíîãî óðàâíåíèÿ xA B C y = 0.zÎòëè÷èå îò íóëÿ õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë A, B, C îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâèìååò ðàíã 1. Çíà÷èò, îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä (##), ãäå (x0 , y0 , z0 )> íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå, à âåêòîðû (px , py , pz )> è (qx , qy , qz )> îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìóðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû. 29.11Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàòÏóñòü èìåþòñÿ äâå àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò: ïåðâàÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå O è áàçèñíûìè âåêòîðàìè e1 , e2 , e3 , âòîðàÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå O0 è áàçèñíûìè âåêòîðàìè e01 , e02 , e03 .Çàïèøåìe01e02e03= p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 ,= p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 ,= p13 e1 + p23 e2 + p33 e3 ,è îáðàçóåì òàê íàçûâàåìóþ ìàòðèöó ïåðåõîäà (îò ïåðâîé áàçèñíîé ñèñòåìû êî âòîðîé)"#P =p11p21p31p12p22p32p13p23 .p33Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ63Åñëè èìååòñÿ êàêàÿ-òî òðåòüÿ ñèñòåìà áàçèñíûõ âåêòîðîâ è âåêòîðû ei , e0i ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñòîëáöû èç êîîðäèíàò ðàçëîæåíèé ïî äàííîé òðåòüåé ñèñòåìå, òî ñïðàâåäèâîðàâåíñòâî[e01 , e02 , e03 ] = [e1 , e2 , e3 ]P.Îòñþäà ñëåäóåò íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû P .Ïóñòü òî÷êà M èìååò êîîðäèíàòû (x, y, z) â ïåðâîé ñèñòåìå è (x0 , y 0 , z 0 ) âî âòîðîé−→−→−→ñèñòåìå. Î÷åâèäíî, OM = OO0 + O0 M . Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè O0 â ïåðâîé ñèñòåìåðàâíû (x0 , y0 , z0 ). Òîãäàxe1 + ye2 + ze3 = (x0 e1 + y0 e2 + z0 e3 )+x0 (p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 ) + y 0 (p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 ) + z 0 (p13 e1 + p23 e2 + p33 e3 ) =(x0 + p11 x0 + p12 y 0 + p13 z 0 )e1 + (y0 + p21 x0 + p22 y 0 + p23 z 0 )e2 + (z0 + p31 x0 + p32 y 0 + p33 z 0 )e3 .Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû îäíîé è òîé æå òî÷êè â ïåðâîé è âòîðîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:" # " #" 0#xyzx0x= y0 + P y 0 .z0z0Îòñþäà ëåãêî ïîíÿòü, íàïðèìåð, êàê ñâÿçàíû îáùèå óðàâíåíèÿ îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè â ðàçíûõ àôôèííûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.
Åñëè â ïåðâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååìóðàâíåíèå Ax + By + Cz + D = 0, òî, çàïèñûâàÿ åãî â ìàòðè÷íîì âèäå, íàõîäèì" #" 0 #!" #x[A B C ] y = −D⇔[A B C ]zx0y0z0x+ P y0= −D.z0Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå òîé æå ïëîñêîñòè âî âòîðîé ñèñòåìå ïîëó÷àåò âèä" 0#x[A0 B 0 C 0 ] y 0 = −D0 ,z0[A0 B 0 C 0 ] = [A B C ] P,9.12D0 = D − (Ax0 + By0 + Cz0 ).Ïîëóïëîñêîñòè è ïîëóïðîñòðàíñòâàÏóñòü íà ïëîñêîñòè äàíà ïðÿìàÿ l : Ax + By + C = 0. Òîãäà ëþáàÿ òî÷êà P = (x, y) íàïëîñêîñòè ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç òðåõ ìíîæåñòâl = {(x, y) : Ax + By + C = 0},π + = {(x, y) : Ax + By + C > 0},π − = {(x, y) : Ax + By + C < 0}.Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ l äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ïîëóïëîñêîñòè π + è π − .Âîçüìåì äâå òî÷êè P = (x1 , y1 ) è Q = (x2 , y2 ), òîãäà ëþáàÿ òî÷êà îòðåçêà P Q èìååòêîîðäèíàòûx = x1 + t(x2 − x1 ) = (1 − t)x2 + tx1 ,y = y1 + t(y2 − y1 ) = (1 − t)y2 + ty1 ,0 ≤ t ≤ 1.Îòñþäà ÿñíî, ÷òî åñëè P è Q ïðèíàäëåæàò îáå îäíîìó èç ìíîæåñòâ π + èëè π − , òî âñåòî÷êè îòðåçêà P Q ïðèíàäëåæàò òîìó æå ìíîæåñòâó.64Ëåêöèÿ 9Ìíîæåñòâî òî÷åê, ñîäåðæàùåå âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè âñå òî÷êè ñîåäèíÿþùåãî èõ îòðåçêà, íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå èç ìíîæåñòâ l, π + , π −ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî P ∈ π + , íî Q ∈ π − . Òîãäà óðàâíåíèåA(x1 + (t(x2 − x1 )) + B(y1 + t(y2 − y1 )) + C = 0âûïîëíÿåòñÿ ïðèt =Ax1 + By1 + C,(Ax1 + By1 + C) − (Ax2 + By2 + C)îòêóäà âèäíî, ÷òî 0 < t < 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðàÿ òî÷êà îòðåçêà P Q ïðèíàäëåæèòïðÿìîé l.Èòàê, äâå òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî çàäàííîé ïðÿìîé l â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîåäèíÿþùèé èõ îòðåçîê íå èìååò îáùèõòî÷åê ñ ïðÿìîé l.Àíàëîãè÷íî, ïëîñêîñòü π : Ax + By + Cz + D = 0 äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâàπ + = {(x, y, z) : Ax + By + Cz + D > 0},π − = {(x, y, z) : Ax + By + Cz + D < 0}.Ïðè ýòîì äâå òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïîëóïðîñòðàíñòâó îòíîñèòåëüíî çàäàííîéïëîñêîñòè π â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîåäèíÿþùèé èõ îòðåçîê íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ π .Çàäà÷à.Ïóñòü íà ïëîñêîñòè èìååòñÿ òðåóãîëüíèêêîñòè.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êèâåíñòâîM,−→ABCèO ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýòîé æå ïëîñ-ïðèíàäëåæàùåé äàííîìó òðåóãîëüíèêó, ñïðàâåäëèâî ðà-−→−→−→OM = αOA + β OB + γ OC,â êîòîðîìα+β+γ = 1èîïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.α, β, γ ≥ 0.Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî ÷èñëàα, β, γñ óêàçàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè22 Îíè íàçûâàþòñÿáàðèöåíòðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M . Åñëè â ïðîñòðàíñòâå çàäàí òåòðàýäðABCD è ïðèíàäëåæàùàÿ åìó òî÷êà M , òî, àíàëîãè÷íî, äëÿ ëþáîé òî÷êè O íàéäóòñÿ íåîòðèöàòåëüíûåα, β, γ, δ òàêèå, ÷òî−→−→−→−→−→OM = αOA + β OB + γ OC + δ OD,α + β + γ + δ = 1.Ëåêöèÿ 1010.1Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ−→Äëèíîé âåêòîðà a íàçûâàåòñÿ äëèíà ïîðîæäàþùåãî åãî íàïðàâëåííîãî îòðåçêà (íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ïîðîæäàþùèå îäèí è òîò æå âåêòîð, ðàâíû è ïîýòîìó èìåþòîäèíàêîâóþ äëèíó).
Îáîçíà÷åíèå äëÿ äëèíû: |~a|. Óãëîì φ(~a, ~b) ìåæäó íåíóëåâûìè âåê−→−→òîðàìè ~a = OA, ~b = OB íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ñòîðîíàìè OA è OB â òðåóãîëüíèêåOAB .Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ~a è ~b íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà(|~a| |~b| cos φ(~a, ~b), ~a 6= ~0 è ~b 6= ~0,(~a, ~b) =0,~a = ~0 èëè ~b = ~0. ñèëó îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ÷òî(~a, ~a) > 0 ïðè ~a 6= ~0;Òàê æå î÷åâèäíî, ÷òî−→(~a, ~a) = 0 ⇔ ~a = ~0.(~a, ~b) = (~b, ~a)∀ ~a, ~b.(1)(2)−→Åñëè âåêòîðû ~a = OA, ~b = OB íåêîëëèíåàðíû, òî â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçòî÷êè O, A, B ìîæíî ââåñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå O è ïåðâîéîñüþ, ñîâïàäàþùåé ñ ïðÿìîé OB è äàþùåé òî÷êå B ïîëîæèòåëüíóþ êîîðäèíàòó. Òîãäàâåëè÷èíà |~a| cos φ(~a, ~b) áóäåò â òî÷íîñòè êîîðäèíàòîé òî÷êè A íà äàííîé îñè. Îòñþäàñðàçó æå âûòåêàþò âàæíûå ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî ïåðâîìóàðãóìåíòó:(~a + ~b, ~c) = (~c, ~a) + (~c, ~b)∀ ~a, ~b,(3)(α ~a, ~b) = α (~a, ~b)∀~a, ~b,∀ α ∈ R.(4)Ñâîéñòâî (2) ñðàçó æå äàåò àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿè ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ.10.2Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è êîîðäèíàòûÏóñòü çàäàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè ~e1 , ~e2 , ~e3 .
Òîãäà0, i 6= j,(~ei , ~ej ) =(∗)1, i = j.6566Ëåêöèÿ 10Òåîðåìà. Ïóñòü â çàäàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîð ~a èìååò êîîðäè-íàòàìè a1 , a2 , a3 , à âåêòîð ~b êîîðäèíàòû b1 , b2 , b3 . Òîãäà èìååò ìåñòî ôîðìóëà(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .(#)Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ,~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 .Îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (2) − (4) è ñîîíîøåíèÿ (∗), íàõîäèì(~a, ~b)==(a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 )3 X3Xai bj (~ei , ~ej ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . 2i=1 j=1Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõâåêòîðîâ ~a è ~b âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (#), òî äàííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà.Çàìå÷àíèå 2.
 ñëó÷àå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòèôîðìóëà (#) ïðèîáðåòàåò âèä(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 .10.3Îá îáîáùåíèÿõÔîðìóëà (#) è ñâîéñòâà (1) − (4) äàþò îñíîâó äëÿ ââåäåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âáîëåå îáùèõ ñëó÷àÿõ äëÿ îáúåêòîâ, óæå íå ÿâëÿþùèõñÿ âåêòîðàìè â ãåîìåòðè÷åñêîìïðîñòðàíñòâå.Íàïðèìåð, åñëè a = [a1 , . . . , an ]> , b = [b1 , .
. . , bn ]> ìàòðèöû-ñòîëáöû èç Rn , òîìîæíî îïðåäåëèòü èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (#):(a, b) = a1 b1 + . . . + an bn .(∗)Åñòü è äðóãàÿ èäåÿ, èìåþùàÿ áîëåå îáùèé õàðàêòåð âçÿòü çà îñíîâó ñâîéñòâà(1) − (4) è íàçûâàòü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ëþáóþ ôóíêöèþ îò ìàòðèö-ñòîëáöîâa, b, óäîâëåòâîðÿþùóþ àêñèîìàì (1) − (4).Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿëîñü íà îñíîâå òàêèõïîíÿòèé, êàê äëèíà âåêòîðà è óãîë ìåæäó âåêòîðàìè.  áîëåå îáùèõ ñëó÷àÿõ ïðîùåââåñòè êàêèì-òî îáðàçîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è óæå ñ åãî ïîìîùüþ ââîäèòü ïîíÿòèÿäëèíû è óãëà:p(a, b)cos φ(a, b) =.|a| = (a, a),|a| |b|Íàïðèìåð, îïèðàÿñü íà (∗), ìîæíî ââåñòè òàêèì îáðàçîì äëèíó è óãîë äëÿ âåêòîðîâa, b ∈ Rn .
Ïðè ýòîì âàæíî, ÷òîpp|(a, b)| ≤ (a, a) (b, b).Ýòî íåðàâåíñòâî (èçâåñòíîå êàê íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà) ëåãêî âûâîäèòñÿ èç (∗), íî â äåéñòâèòåëüíî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ìûñëèìûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäðîáíûé ðàçãîâîð íà ýòó òåìó áóäåò ïîçæå.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ10.467Îðèåíòàöèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâÏîíÿòèå îðèåíòàöèè äëÿ òðîéêè (ñèñòåìû èç òðåõ) íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ ââîäèòñÿâ áóêâàëüíîì ñìûñëå ñëîâà íà ïàëüöàõ: òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé, åñëè èõìîæíî ðàñïîëîæèòü êàê áîëüøîé, íåñîãíóòûé 1 óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîéðóêè; òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëåâîé, åñëè èõ ìîæíî ðàñïîëîæèòü êàê áîëüøîé,íåñîãíóòûé óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ëåâîé ðóêè.Î÷åâèäíî, ìîæåò âîçíèêíóòü æåëàíèå îñâîáîäèòüñÿ îò àíàòîìè÷åñêîé êîìïîíåíòû ýòîãî îïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, òàêèì îáðàçîì: òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé,åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè, åñëè îí íàáëþäàåòñÿ èç êîíöà òðåòüåãî âåêòîðà.Êîíå÷íî, îñòàåòñÿ ÷óâñòâî íåóäîâëåòâîðåíèÿ ïî ïîâîäó îáîèõ îïðåäåëåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
