Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ðàíã ñóììû ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò ñóììû èõ ðàíãîâ:rank (A + B) ≤ rank A + rank B.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, A è B äîëæíû èìåòü îäèíàêîâîå ÷èñëî ñòîëáöîâ:A = [a1 , . . . , an ],B = [b1 , . . . , bn ].ßñíî, ÷òî L(a1 + b1 , . . . , an + bn ) ⊂ L(a1 , . . . , an , b1 , . . .
, bn ).  ìåíüøåé ëèíåéíîéîáîëî÷êå âûáåðåì êàêóþ-ëèáî ñèñòåìó âåêòîðîâ, îáðàçóþùóþ áàçèñ. Ñîãëàñíî ëåììåî äîïîëíåíèè äî áàçèñà, áàçèñ â áîëüøåé ëèíåéíîé îáîëî÷êå ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåìäîïîëíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû êàêèìè-òî âåêòîðàìè èç áîëüøåé ëèíåéíîé îáîëî÷êè. Ïîýòîìórank (A + B) = dim L(a1 + b1 , . . . , an + bn ) ≤ dim L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ).Ïóñòü p = rank A, q = rank B , è ïðåäïîëîæèì, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî áàçèñ âL(a1 , . . . , an ) îáðàçóþò ïåðâûå p âåêòîðîâ, à áàçèñ â L(b1 , . .
. , bn ) ïåðâûå q âåêòîðîâ.Òîãäà L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) = L(a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq ) ⇒dim L(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) ≤ p + q.2Óòâåðæäåíèå 2. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà êàæäîãî èç ñîìíîæèòåëåé:rank (AB) ≤ min (rank A, rank B).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé èç ñòîëáöîâ ìàòðèöû AB ÿâëÿåò-ñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ïîýòîìó ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòîëáöîâìàòðèöû AB ñîäåðæèòñÿ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå ñòîëáöîâ ìàòðèöû A.
Ñëåäîâàòåëüíî,rank (AB) ≤ rank A. Äàëåå,2rank (AB) = rank (AB)> = rank (B > A> ) ≤ rank B > = rank B.Óòâåðæäåíèå 3. Ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ ïðè óìíîæåíèè åå ñëåâà èëè ñïðàâàíà îáðàòèìóþ ìàòðèöó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B = P AQ, ãäå P è Q îáðàòèìûå ìàòðèöû.3 Êîíå÷íî, ïîðÿäîêPðàâåí ÷èñëó ñòðîê, à ïîðÿäîêQ ÷èñëó ñòîëáöîâ ìàòðèöûA.3 ñèëóÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ45ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ, rank B ≤ rank A.
 òî æå âðåìÿ, A = P −1 BQ−1rank A ≤ rank B . 2⇒Ýòî óòâåðæäåíèå ïîëåçíî ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà. Îáû÷íî ýòî äåëàåòñÿ ñ ïîìîùüþýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê è ñòîëáöîâ, óïðîùàþùèõ âèä ìàòðèöû ïóòåì èñêëþ÷åíèÿ åå ýëåìåíòîâ; ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ñâîäÿòñÿ ê óìíîæåíèþ ìàòðèöû ñëåâà èñïðàâà íà íåêîòîðûå îáðàòèìûå ìàòðèöû (ñïåöèàëüíîãî âèäà) è ïîýòîìó ñîõðàíÿþòðàíã.Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè èçìåíåíèè k ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû åå ðàíã íå ìîæåòèçìåíèòüñÿ áîëüøå ÷åì íà k .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 1.
Ïóñòü ðàíã ðàâåí r, à ñòîëá-öû aj1 , . . . , ajr ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûìè. Åñëè ñòîëáåö aj ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ýòèõ ñòîëáöîâ, òî ïðè ëþáîì åãî èçìåíåíèè äàííàÿ ñèñòåìà ñòîëáöîâ áóäåò èìåòü ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó ñ ÷èñëîì ñòîëáöîâ r − 1. Ïîýòîìó ðàíã íîâîé ìàòðèöû íå ìåíüøå÷åì r − 1 è, êîíå÷íî, íå áîëüøå r. Åñëè ñòîëáåö aj íå ñîïàäàåò íè ñ îäíèì èç âûáðàííûõ áàçèñíûõ ñòîëáöîâ, òî ëþáîé ñòîëáåö íîâîé ìàòðèöû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçñòîëáöû aj1 , .
. . , ajr , aj , ïîýòîìó åå ðàíã íå ïðåâûøàåò r + 1 è íå ìåíüøå ÷åì r, òàê êàêèìååòñÿ ñèñòåìà èç r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ aj1 , . . . , ajr . 2Ñëåäñòâèå. Ïðè äîáàâëåíèè (èçúÿòèè) k ñòîëáöîâ ðàíã ìàòðèöû íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ áîëåå ÷åì íà k .Çàäà÷à.A+BÏóñòüAèB ìàòðèöû ðàíãà 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëèAB = BA 6= 0,òî ðàíã ìàòðèöûíå áîëüøå 1.Çàäà÷à.ìàòðèöàA∈RÇàäà÷à.x, y ∈ Rn , ïðè÷åì x 6= 0.rankA ≤ 2 è Ax = y .Çàäàíû ñòîëáöûn×nòàêàÿ, ÷òîÌàòðèöàAèìååòrñòîëáöîâ, à ìàòðèöàBÄîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íàÿèìååòrñòðîê. Äîêàæèòå, ÷òîr ≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).7.7Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÑèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþAx = 0(∗)íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé. Ïóñòü â äàííîé ñèñòåìå èìååòñÿ m óðàâíåíèé è n íåèçâåñòíûõ.Òîãäà ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A èìååò ðàçìåðû m × n.
Ðàññìîòðèì A êàê ñèñòåìóñòîëáöîâ A = [a1 , . . . , an ] è ïðåäïîëîæèì, ÷òî åå ðàíã ðàâåí r. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíàÿ ïîäìàòðèöà â A ðàñïîëîæåíà íà ïåðâûõ r ñòîëáöàõ áóäåì íàçûâàòü èõ áàçèñíûìè. Îòâå÷àþùèå áàçèñíûì ñòîëáöàì êîìïîíåíòû ðåøåíèÿx1 , . . . , xr áóäåì òàêæå íàçûâàòü áàçèñíûìè, à îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû xr+1 , . .
. , xn ñâîáîäíûìè. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð-ðåøåíèå èìååò âèäx = x1...xrxr+1...xn.46Ëåêöèÿ 7Ñèñòåìà (∗) ðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâóx1 a1 + . . . + xr ar = −xr+1 ar+1 − . . . − xn an .(∗∗)Ïî òåîðåìå î áàçèñíîé ïîäìàòðèöå, ñòîëáöû ar+1 , . . . , an ïðèíàäëåæàò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ñòîëáöîâ a1 , .
. . , ar . Ïîýòîìó ïðè ëþáîì âûáîðå çíà÷åíèé ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõçíà÷åíèÿ áàçèñíûõ íåèçâåñòíûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ðàâåíñòâó (∗∗), ñóùåñòâóþò è îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò n − r âåêòîðîâ âèäàv1 = x11...xr110...0x12...xr2 , v2 = 01...0 , . . . vn−r = x1 n−r...xr n−r00...1,êàæäûé èç êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (∗):Av1 = 0, . . . , Avn−r = 0.Âåêòîðû v1 , . . .
, vn−r ëèíåéíî íåçàâèñèìû:α1 v1 + . . . + αn−r vn−r= ∗...∗α1α2...αn−r=0⇒α1 = . . . = αn−r = 0.Êðîìå òîãî, ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû(∗) è, áîëåå òîãî, åñëè x åñòü ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (∗), òîx = xr+1 v1 + . . . + xn vn−r .Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå âàæíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-íèé (∗) ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé L(v1 , .
. . , vn−r ) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâv1 , . . . , vn−r .Ñëåäñòâèå. dim L(v1 , . . . , vn−r ) = n − r.Ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ðåøåíèé w1 , . . . , wk ñèñòåìû Ax = 0 íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé, åñëè åå ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(w1 , . . . , wk ) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû Ax = 0.Ñëåäñòâèå. ×èñëî âåêòîðîâ â ëþáîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ðåøåíèé äëÿ Ax = 0ðàâíî n − r, ãäå r = rank A.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé èìååò áàçèñ èç ïîñòðîåííûõ âûøå âåêòîðîâ v1 , . . .
, vn−r .Çàäà÷à.A è B ïîðÿäêà nrankA + rankB = n.Äàíû ìàòðèöûäåííàÿ. Äîêàçàòü, ÷òîòàêèå, ÷òîAB = 0è ïðè ýòîì ìàòðèöàA+Bíåâûðîæ-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ7.847Òåîðåìà ÊðîíåêåðàÊàïåëëèÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b ñ m × n-ìàòðèöåéA = [a1 , . . . , an ]. Ìàòðèöà [A, b] = [a1 , . . . , an , b] íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåéäàííîé ñèñòåìû.Òåîðåìà. Ñèñòåìà Ax = b ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàíã ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû:rankA = rank[A, b].Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì (ñì. Ëåêöèþ 3), ÷òî ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû Ax = bðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâó ëèíåéíûõ îáîëî÷åê L(a1 , . . .
, an ) = L(a1 , . . . , an , b). Îñòàåòñÿçàìåòèòü, ÷òî rank A = dim L(a1 , . . . , an ) è rank [A, b] = dim L(a1 , . . . , an , b). 27.9Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèéÅñëè U è V äâà ìíîæåñòâà âåêòîðîâ èç Rn , òî ñóììîé U + V íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî,ñîñòàâëåííîå èç âñåâîçìîæíûõ ñóìì âåêòîðîâ âèäà u + v , ãäå u ∈ U , v ∈ V .Òåîðåìà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà Ax = b ñîâìåñòíà, è çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëü-íîå ÷àñòíîå ðåøåíèå u (Au = b). Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû Ax = bèìååò âèä u + V , ãäå V ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîéñèñòåìû Ax = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = b. Òîãäà, î÷åâèäíî,A(x − u) = 0 ⇒ x − u ∈ V ⇒ x ∈ u + V . Äàëåå, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîðx ∈ u + V ⇒ x = u + v, v ∈ V ⇒ A(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.
2Ñëåäñòâèå. Îáùåå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé ñèñòåìû Ax = b èìååò âèäx = u + c1 v1 + . . . + cn−r vn−r ,ãäå u ïðîèçâîëüíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû, v1 , . . . , vn−r ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû, r = rank A, à êîýôôèöèåíòûc1 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà.Çàäà÷à.x ∈ Rn ,×òî ìîæíî ñêàçàòü î ìàòðèöå è ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìûåñëè åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîé âåêòîð èçAx = bîòíîñèòåëüíî âåêòîðàRn ?ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ7.10Íåóñòîé÷èâîñòü ðàíãàÌàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà, åñëè åå ðàíã ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç åå ðàçìåðîâ (òî åñòü, èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå).
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãîâîðÿòî ìàòðèöå íåïîëíîãî ðàíãà.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè A åñòü m×n-ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, òî ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ìàòðèöà A + F , ãäå âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû-âîçìóùåíèÿ F ïî ìîäóëþìåíüøå ε, áóäåò òàêæå ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî48Ëåêöèÿ 7ëþáîé ìèíîð ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ ñâîèõ ýëåìåíòîâ è ýòî áóäåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿîòëè÷íà îò íóëÿ, òî îíà áóäåò îòëè÷íà îò íóëÿ òàêæå â íåêîòîðîé äîñòàòî÷íî ìàëîéîêðåñòíîñòè ýòèõ çíà÷åíèé. òî æå âðåìÿ, åñëè A èìååò íåïîëíûé ðàíã, òî äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî εñóùåñòâóåò ìàòðèöà-âîçìóùåíèå F ñ ýëåìåíòàìè ïî ìîäóëþ íå áîëüøå ε, äëÿ êîòîðîéA + F áóäåò ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà. Íàïðèìåð, ìàòðèöà1 0 0 0A= 0 1 0 0 0 0 0 0èìååò ðàíã 2, íî äëÿ ëþáîãî ε 6= 0 ìàòðèöà1 0 0 0A= 0 1 0 0 0 0 ε 0èìååò, î÷åâèäíî, ðàíã 3.Ëåêöèÿ 88.1Èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíûõÅñëè çàäàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b è òðåáóåòñÿ íàéòèåå îáùåå ðåøåíèå èëè óñòàíîâèòü íåñîâìåñòíîñòü, òî ýòî óäîáíåå âñåãî ñäåëàòü ïóòåìïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ: åñëè â êàêîì-òî óðàâíåíèè êîýôôèöèåíòïðè x1 îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ìîæíî èñêëþ÷èòü x1 èç âñåõ äðóãèõ óðàâíåíèé ïóòåì âû÷èòàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæåííîãî íà ïîäõîäÿùèì îáðàçîì âûáðàííûå êîýôôèöèåíòû; åñëè ñðåäè óðàâíåíèé, óæå íå ñîäåðæàùèõ x1 , èìååòñÿ óðàâíåíèåñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì ïðè x2 , òî x2 ìîæíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èñêëþ÷èòüèç âñåõ äðóãèõ óðàâíåíèé, êðîìå äàííîãî è ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî x1 , è òàêäàëåå.Íà êàæäîì øàãå èñêëþ÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ íîâàÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíà èñõîäíîé.
Åñëè âîçíèêëî óðàâíåíèå, â êîòîðîì âñå êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ ðàâíû íóëþ, à â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷èëîñü îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, òî ñèñòåìà íåèìååò ðåøåíèé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà ñîâìåñòíà è îïèñàííûé ñïîñîá ïîçâîëÿåòñ ëåãêîñòüþ âûïèñàòü åå îáùåå ðåøåíèå.8.2Ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöûÊàæäûé øàã îïèñàííîãî âûøå èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ ïðåîáðàçóåò ñèñòåìó Ax = b âðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó âèäà (P A)x = P b, ãäå P íåêîòîðàÿ îáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Åñëèïîòðåáîâàëîñü k øàãîâ, òî â èòîãå âîçíèêàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîñèëüíûõ ñèñòåìAx = b, (P1 A)x = P1 b, (P2 P1 A)x = P2 P1 b, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
