Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ìàòðèöà1I=....1Îíà íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé.Çàäà÷à.A ïîðÿäêà n êîììóòèðóåò ñî âñåìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n: AB = BA äëÿ âñåõn. Äîêàæèòå, ÷òî A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ðàâíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.2ÌàòðèöàìàòðèöB2.9Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèöïîðÿäêàÌàòðèöà A = [aij ] ðàçìåðîâ n × n íàçûâåòñÿ íèæíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0 ïðèi < j , è âåðõíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0 ïðè i > j . Òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿíåâûðîæäåííîé, åñëè aii 6= 0 ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ n.Ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ ìàòðèö ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè è îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé (íåêîììóòàòèâíîé).Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç òðåõ ýòàïîâ:2 Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿñêàëÿðíûìè.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ15• ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ òàêæå íèæíåé (âåðõíåé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé;• ïðîâåðèòü, ÷òî ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà I ;• ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íåâûðîæäåííîé íèæíåé (âåðõíåé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöû Aðàçðåøèìû óðàâíåíèÿ AX = I è Y A = I , ïðè ýòîì îáå ìàòðèöû X è Y ÿâëÿþòñÿíèæíèìè (âåðõíèìè) òðåóãîëüíûìè.
Ïîñëå ýòîãî ðàâåíñòâî X = Y ÿâëÿåòñÿ óæåî÷åâèäíûì.2.10ÏîäãðóïïûÏîäìíîæåñòâî H ⊂ G íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû G, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîéîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè, äåéñòâóþùåé â G. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû• ab ∈ H äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ H ;• a−1 ∈ H äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ H .Íàïðèìåð, ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîéãðóïïû íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ n × n-ìàòðèö.2.11Ñòåïåíè ýëåìåíòàÇàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò a â ãðóïïå G è ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíóþ ñîäåðæàùóþ a ïîäãðóïïó H(a) ⊂ G. Ìèíèìàëüíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî H(a) ⊂ H äëÿ ëþáîéïîäãðóïïû H , ñîäåðæàùåé a. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîH(a) = {ak : k öåëîå ÷èñëî}.Ïî îïðåäåëåíèþ, a0 = e, ak = a . . .
a (a ïîâòîðÿåòñÿ k ðàç) ïðè öåëîì ïîëîæèòåëüíîì k ,a−k = (a−1 )k . Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òîak+m = ak am2.12äëÿ ëþáûõ öåëûõ k , m.Öèêëè÷åñêèå ãðóïïûÃðóïïà H(a) íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ýëåìåíòîì a. Ìèíèìàëüíîå öåëîå k > 0 òàêîå, ÷òî ak = e, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ýëåìåíòà a. Åñëè ak 6= e ïðèâñåõ k > 0, òî a íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà.Òåîðåìà.
Ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäãðóïïà H ⊂ H(a) ñîñòîèò èç êàêèõ-òî ñòåïåíåé ýëåìåíòà a:H = {ai1 , ai2 , . . . }.Ïóñòü m íàèìåíüøåå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ñðåäè i1 , i2 , . . . . Òîãäà ÿñíî, ÷òî Hñîäåðæèò âñå ýëåìåíòû âèäà amk . Äîêàæåì, ÷òî â H íå ìîæåò áûòü äðóãèõ ñòåïåíåéýëåìåíòà a. Ïóñòü an ∈ H . Ðàçäåëèì n ñ îñòàòêîì íà m:n = qm + r,q, r öåëûå,0 ≤ r ≤ m − 1.Òîãäà ar = an a−qm ∈ H .
 ñëó÷àå r > 0 ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ m.Ïîýòîìó r = 0. 2Çàäà÷à.Íàéòè âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû öåëûõ ÷èñåëZîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÷èñåë.16Ëåêöèÿ 2Ëåêöèÿ 33.1Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÑèñòåìà óðàâíåíèé âèäà a11 x1 + . . . + a1k xkan1 x1 + . . . + ank xk=...=b1 ,(1)bnîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí x1 , . . . , xk íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèé åå ìîæíîçàïèñàòü â âèäåa11 . . .
a1kx1b1Ax = b,A = ... ... ... , x = ... , b = ... .an1 . . . ankxkbnÌíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðîâ n × k ñ ýëåìåíòàìè aij ∈ R, ãäå R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îáîçíà÷èì Rn×k .  ñîãëàñèè ñ ýòèì îáîçíà÷åíèåì Rn×1 è Rk×1 ìíîæåñòâà ìàòðèö-ñòîëáöîâ, èìåþùèõ, ñîîòâåòñòâåííî, n è k ýëåìåíòîâ. Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü Rn = Rn×1 è Rk = Rk×1 è íàçûâàòü ìàòðèöû-ñòîëáöû âåêòîðàìè.Ìàòðèöà A ∈ Rn×k íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ, âåêòîð b ∈ Rn ïðàâîé÷àñòüþ, à âåêòîð x ∈ Rk ðåøåíèåì ñèñòåìû (1).3.2Ëèíåéíûå êîìáèíàöèèÄëÿ ïîíèìàíèÿ ñóòè äåëà èñêëþ÷èòåëüíî ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñèñòåìû(1). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî, åñëè α ∈ R, òî"#"#αb1...bn≡αb1...αbn.Ïóñòü a1 , .
. . , ak ñòîëáöû ìàòðèöû A:a1 , . . . , ak ∈ Rn .A = [a1 , . . . , ak ],Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (1) ðàâíîñèëüíû ðàâåíñòâó ìåæäó âåêòîðàìèx1 a1 + . . . + xk ak = b.(2)Âûðàæåíèå x1 a1 + . . . + xk ak íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , . . . , ak ,à ÷èñëà x1 , . . . , xk êîýôôèöèåíòàìè ëèíåéíîé êîìáèíàöèè. Ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ a1 , . . . , akL(a1 , . . . , ak ) = {α1 a1 + . . . + αk ak : α1 , . . .
, αk ∈ R}1718Ëåêöèÿ 3íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , . . . , ak .Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (2) îçíà÷àåò, ÷òîb ∈ L(a1 , . . . , ak ).(3)Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèñòåìà (1) èìååò ðåøåíèå (ñîâìåñòíà) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü b ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå (ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé)ñòîëáöîâ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ.3.3Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòüÂåêòîðû, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ ðàâíû íóëþ, íàçûâàþò íóëåâûìè âåêòîðàìè, à èíîãäàïðîñòî íóëÿìè. Ëþáîé íóëåâîé âåêòîð áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì 0.Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîé, åñëè õîòÿ áû îäèí èç ååêîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ. Ñèñòåìà (äðóãèìè ñëîâàìè, íåïóñòàÿ óïîðÿäî÷åííàÿñîâîêóïíîñòü êîíå÷íîãî ÷èñëà) âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé, åñëè äëÿ íèõñóùåñòâóåò íåòðèâàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ íóëåâîìó âåêòîðó.Ëåììà 1.
Åñëè a1 , . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà k > 1 íåíóëåâûõ âåêòîðîâ,òî â íåé ñóùåñòâóåò âåêòîð am , m > 1, ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïðåäûäóùèõ âåêòîðîâ:am ∈ L(a1 , . . . , am−1 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàâíóþ íóëþ íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþα1 a1 + . . . + αk ak = 0,è ïóñòü m íàèáîëüøèé íîìåð òàêîé, ÷òî αm =6 0. Åñëè m = 1, òî α1 a1 = 0 è, ïîñêîëüêóα1 6= 0, ïîëó÷àåì a1 = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ëåììû. Ñëåäîâàòåëüíî, m > 1.Òîãäàα1 a1 + . . .
+ αm am = 03.4⇒am =α1−αmαm−1a1 + . . . + −αmam−1 . 2Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòüÑèñòåìà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåêòîðû a1 , . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òîα1 a1 + . . . + αk ak = 0⇒α1 = . . . = αk = 0.Ëåììà 2. Ëþáàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ äàííîé ïîäñèñòåìû, ðàâíàÿ íóëþ.Òîãäà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èñõîäíîé ñèñòåìû ñ òåìè æå êîýôôèöèåíòàìèÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ19ïðè âåêòîðàõ èç ïîäñèñòåìû è íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè äðóãèõ âåêòîðàõ ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, ðàâíîé íóëþ. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòüþ èñõîäíîé ñèñòåìû. 2Ëåììà 3. Åñëè âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòî-ðîâ, òî êîýôôèöèåíòû ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âåêòîðû a1 , . . . ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû èb = α1 a1 + . .
. , + αk ak = β1 a1 + . . . , + βk ak .Îòñþäà(α1 − β1 )a1 + . . . + (αk − βk )ak = 0Çàäà÷à.Äëÿ êàæäîãî⇒α1 − β1 = . . . = αk − βk = 0.2n íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ñòîëáöû òðåõäèàãîíàëü-íîé ìàòðèöû1a1A=....a−1ïîðÿäêàn.−1...a 1−1 aëèíåéíî íåçàâèñèìû.Çàäà÷à.Ìàòðèöà ðàçìåðîâÄîêàæèòå, ÷òî ïðè3.5.n=3(n + 1) × nèìååò ýëåìåíòûaij > 0ïðèi = j è aij < 0n = 4?ïðèi 6= j .åå ñòîëáöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Âåðíî ëè ýòî ïðèÒðàíçèòèâíîñòü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèÂàæíîå (õîòÿ è î÷åâèäíîå) ñâîéñòâî: åñëèL(c1 , . . . , cr ) ⊂ L(b1 , . . . , bm ) è L(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ),òîL(c1 , . . . , cr ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ).3.6Ìîíîòîííîñòü ÷èñëà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâËåììà 4. Ïóñòü êàæäàÿ èç ñèñòåì âåêòîðîâ b1 , .
. . , bm è a1 , . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà, è ïðåäïîëîæèì, ÷òîL(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ).(∗)Òîãäà m ≤ k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (∗), ñèñòåìàb1 , a1 , . . . , akëèíåéíî çàâèñèìà. Â ñèëó Ëåììû 1 ñóùåñòâóåò âåêòîð, ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïðåäûäóùèõ âåêòîðîâ, ïóñòü ýòî áóäåò âåêòîðak ∈ L(b1 , a1 , . . . , ak−1 ).20Ëåêöèÿ 3Îòñþäà ñëåäóåò,÷òîL(a1 , . . . , ak ) ⊂ L(b1 , a1 , . .
. , ak−1 ). ñèëó òðàíçèòèâíîñòè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèL(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(b1 , a1 , . . . , ak−1 ),ïîýòîìó ñèñòåìàb2 , b1 , a1 , . . . , ak−1ëèíåéíî çàâèñèìà.  ñèëó Ëåììû 1 è â ýòîé ñèñòåìå ñóùåñòâóåò âåêòîð, ëèíåéíî âûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå, ïðè÷åì òàêîâûì íå ìîæåò áûòü âåêòîð b1 (âåêòîðûb1 , b2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû êàê ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû (Ëåììà 2)).Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîak−1 ∈ L(b2 , b1 , a1 , .
. . , ak−2 ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m > k . Òîãäà, ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ, íà k -îì øàãåïîëó÷àåìL(a1 , . . . , ak ) ⊂ L(bk , bk−1 , . . . , b1 ).Ñëåäîâàòåëüíî, bk+1 ∈ L(bk , bk−1 , . . . , b1 ), à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ b1 , . . . , bm . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òîm ≤ k. 23.7Áàçèñ è ðàçìåðíîñòüËèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ b1 , . .
. , bm ∈ V = L(a1 , . . . , ak ) íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ëèíåéíîé îáîëî÷êè V , åñëè L(b1 , . . . , bm ) = V .Òåîðåìà î áàçèñàõ. Ëþáûå áàçèñû ëèíåéíîé îáîëî÷êè V ñîäåðæàò îäíî è òî æå÷èñëî âåêòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b1 , . . . , bm è c1 , . . . , cr äâà áàçèñà äàííîé ëèíåéíîé îáîëî÷êè. ßñíî, ÷òîL(b1 , . . . , bm ) = L(c1 , . . . , cr ).Ïðèìåíÿÿ Ëåììó 4 äâà ðàçà, ïîëó÷àåì äâà íåðàâåíñòâà: m ≤ r è r ≤ m.
Îòñþäà m = r.2Îïðåäåëåíèå. ×èñëî âåêòîðîâ â áàçèñàõ ëèíåéíîé îáîëî÷êè V íàçûâàåòñÿ åå ðàçìåðíîñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ dim V .Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîé îáîëî÷êè: dim L(a1 , . . . , ak ) ≤ k.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî â êà÷åñòâå áàçèñà ëèíåéíîé îáîëî÷êèçàäàííîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ìîæíî âûáðàòü èõ ìàêñèìàëüíóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþñèñòåìó. 2 êà÷åñòâå áàçèñà â ëèíåéíîé îáîëî÷êå L(a1 , .
. . , an ) âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íåêîòîðóþ ïîäñèñòåìó âåêòîðîâ a1 , . . . , an . Ìàêñèìàëüíàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìàíàçûâàåòñÿ áàçîé äàííîé ñèñòåìû.Óòâåðæäåíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , . . . , an ÿâëÿëàñü áàçèñîì âL = L(a1 , . . . , an ), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà áàçîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîäñèñòåìó îáðàçóþòïåðâûå k âåêòîðîâ a1 , . . . , ak .
Åñëè ýòî áàçà, òî êàæäûé èç âåêòîðîâ ak+1 , . . . , an ëè-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21íåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1 , . . . , ak ⇒ L ⊂ L(a1 , . . . , ak ) ⊂ L ⇒ L = L(a1 , . . . , ak ).Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà a1 , . . . , ak åñòü áàçèñ â L.Åñëè âûáðàííàÿ ïîäñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â L, òî, â ñèëó ïðåäûäóùåãî ðàññóæäåíèÿ è òåîðåìû î áàçèñàõ, íèêàêàÿ áàçà íå ìîæåò èìåòü áîëüøåå ÷èñëî âåêòîðîâ. 2Çàäà÷à.ÂåêòîðûL(a1 , . .
. , ak+1 )L(a1 , . . . , ak ).êå3.8a1 , . . . , ak+1ëèíåéíîíåçàâèñèìû.Äîêàçàòü,÷òîâëèíåéíîéîáîëî÷-ñóùåñòâóåò áàçèñ, íå ñîäåðæàùèé íè îäíîãî âåêòîðà èç ëèíåéíîé îáîëî÷êèÄîïîëíåíèå äî áàçèñàËåììà î äîïîëíåíèè äî áàçèñà. Ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâb1 , . . . , bm ∈ L(a1 , . . . , ak ) ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîé íåêîòîðîãî áàçèñà äàííîé ëèíåéíîéîáîëî÷êè.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
