Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïóñòü ýòî áóäóò ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ.Èòàê, ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïîñòàâëåíà. Åùå â íåäàâíåì ïðîøëîì ìíîãèì êàçàëîñü, ÷òî êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì ñàìûé ëó÷øèé. Òåïåðü óæå ÿñíî, ÷òî ýòî íå òàê.1.9Ìåòîä ÂèíîãðàäàÏîïðîáóéòå-êà ïåðåìíîæèòü ìàòðèöû êàê-ëèáî èíà÷å íå ïî êëàññè÷åñêîìó àëãîðèòìó. Âåðîÿòíî, âïåðâûå ýòî ñäåëàë Âèíîãðàä (â íà÷àëå 60-õ).
Îí äîãàäàëñÿ èñïîëüçîâàòüñëåäóþùåå òîæäåñòâî:2mXk=1aik bkj =mX(ai 2k−1 + b2k j )(b2k−1 j + ai 2k ) −k=1mXai 2k−1 ai 2k −k=1mXb2k j b2k−1 j .k=1Ïóñòü n = 2m. ßñíî, ÷òî âòîðóþ è òðåòüþ ñóììû äëÿ âñåõ 1 ≤ i, j ≤ n ìîæíî íàéòè,çàòðàòèâ 2nm = n2 óìíîæåíèé è 2nm = n2 ñëîæåíèé. Äëÿ ïåðâîé ñóììû ïîòðåáóåòñÿn2 m = 12 n3 óìíîæåíèé è 3n2 m = 32 n3 ñëîæåíèé. èòîãå ïî-ïðåæíåìó, 2n3 îïåðàöèé (áåç ó÷åòà ïîðÿäêà n2 n3 îïåðàöèé), íî òåïåðü 12 n3 óìíîæåíèé è 32 n3 ñëîæåíèé! Ïîñêîëüêó óìíîæåíèå îïåðàöèÿ áîëåå ñëîæíàÿ,÷åì ñëîæåíèå, ìåòîä Âèíîãðàäà ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ.1.10Ìåòîä Øòðàññåíà 1965 ãîäó Øòðàññåí íàøåë ñïîñîá óìíîæåíèÿ 2 × 2-ìàòðèö ñ ïîìîùüþ âñåãî ëèøü7-ìè óìíîæåíèé (â êëàññè÷åñêîì ìåòîäå 8 óìíîæåíèé). Òî, ÷òî ïðèäóìàë Øòðàññåí,ïîëó÷àåòñÿ ïîñðåäñòâîì âû÷èñëåíèÿ òåíçîðíîãî ðàíãà ìíîãîìåðíûõ ìàòðèö.
Îá ýòîììû ïîãîâîðèì â çàêëþ÷èòåëüíîé ëåêöèè êóðñà. À ïîêà äàâàéòå ïîñìîòðèì íà èçîáðåòåíèå Øòðàññåíà áåç êîììåíòàðèåâ: 1α1 = (a11 + a22 )(b11 + b22 ),α2 = (a21 + a22 )b11 ,α3 = a11 (b12 − b22 ),α4 = a22 (b21 − b11 ),α5 = (a11 + a12 )b22 ,α6 = (a21 − a11 )(b11 + b12 ),c11 = α1 + α4 − α5 + α7 ,c12 = α3 + α5 ,c21 = α2 + α4 ,c22 = α1 + α3 − α2 + α6 .α7 = (a12 − a22 )(b21 + b22 ),1 Ñì.
çàäà÷ó 5.4.21 èç Çàäà÷íèêà ïî ëèíåéíîé àëãåáðå Õ.Ä.Èêðàìîâà.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ9Òîëüêî î÷åíü ëåíèâûé ÷åëîâåê íå ñìîæåò ïðîâåðèòü, ÷òî äâå ìàòðèöû ïîðÿäêà 2 óìíîæàþòñÿ ïðàâèëüíî.1.11Ðåêóðñèÿ äëÿ n × n-ìàòðèöÎò ìåòîäà óìíîæåíèÿ 2×2-ìàòðèö ñ 7-þ óìíîæåíèÿìè äîâîëüíî ëåãêî ïåðåéòè ê ìåòîäóóìíîæåíèÿ n × n-ìàòðèö, òðåáóþùåìó íå áîëåå 7 nlog2 7 îïåðàöèé. Ïîñêîëüêó7nlog2 7→ 0 ïðè n → ∞,n3ìåòîä Øòðàññåíà àñèìïòîòè÷åñêè ëó÷øå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = 2L è áóäåì ðàññìàòðèâàòü A è B êàê áëî÷íûå 2 × 2-ìàòðèöû:n nA11 A12B11 B12A=, B=,Aij , Bij × .A21 A22B21 B22 ,22Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî â øòðàññåíîâñêîì ìåòîäå óìíîæåíèÿ 2 × 2-ìàòðèö êîììóòàòèâíîñòüíå èñïîëüçóåòñÿ.
Ïîýòîìó ìåòîä ãîäèòñÿ è äëÿ óìíîæåíèÿ áëî÷íûõ 2 × 2-ìàòðèö!Èòàê, çàäà÷à ðàçìåðà n ñâîäèòñÿ ê 7-ìè àíàëîãè÷íûì çàäà÷àì ðàçìåðà n2 . Äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ýòèõ 7-ìè çàäà÷ è äëÿ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ïîñëå ðåøåíèÿýòèõ 7-ìè çàäà÷ òðåáóåòñÿ 18 ðàç ñëîæèòü áëîêè ïîðÿäêà n2 ."Ðàñêðóòèâ"óêàçàííóþ ðåêóðñèþ äî êîíöà, ïîëó÷èì7log2 n = nlog2 7óìíîæåíèé íà ïîñëåäíåì ýòàïå.
Îáùåå ÷èñëî ñëîæåíèé íà âñåõ ýòàïàõ ñîñòàâèò18LXk=1k−17 n 22k18 2=n47 L−47−141≤ 6 · 7L = 6 nlog2 7(íóæíî ó÷åñòü, ÷òî 4L = n2 è 7L = nlog2 7 ).Ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè ðåêóðñèþ íå îáÿçàòåëüíî ðàñêðó÷èâàòü äî êîíöà.Ýòî âðåäíî: 7 nlog2 7 > 2n3 äàæå ïðè n = 512. Íî ïðè n = 1 024 íåðàâåíñòâî ìåíÿåòñÿ âïîëüçó Øòðàññåíà.Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðèäóìàíû è áîëåå áûñòðûå (àñèìïòîòè÷åñêè) ìåòîäû, ÷åììåòîä Øòðàññåíà. Óæå ñóùåñòâóþò ìåòîäû ñ ÷èñëîì îïåðàöèé O (nα ), ãäå α < 2.42.Íèêòî íå çíàåò, êàêîâ ìèíèìàëüíûé ïîêàçàòåëü â òàêèõ îöåíêàõ.
ßñíî ëèøü, ÷òî α ≥ 2.10Ëåêöèÿ 1Ëåêöèÿ 22.1Ìíîæåñòâà è ýëåìåíòûÏîíÿòèå ìíîæåñòâà ââîäèòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòîâ, îáúåäèíåííûõ êàêèì-òî îáùèì ïðèçíàêîì. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îíî îòíîñèòñÿ ê ïåðâè÷íûì ïîíÿòèÿì,êîòîðûì íå äàåòñÿ ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ.Çàïèñü a ∈ M îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M . Çàïèñü X ⊂ Yîçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà X ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Y .
Ïðè ýòîì Xíàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äëÿ Y . Îñîáî âûäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî, â êîòîðîì íåò íèîäíîãî ýëåìåíòà. Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∅. Ïî îïðåäåëåíèþ,∅ ⊂ M ∀ M.Ïðè îïèñàíèè ìíîæåñòâ èíîãäà âîçíèêàþò ëîãè÷åñêèå ïðîòèâîðå÷èÿ. Íàïðèìåð,ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M , ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ÷èñëà, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, êîòîðîå íåëüçÿ îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè ôðàçû, èìåþùåé ìåíåå ñòà ðóññêèõ ñëîâ. Òàêîå ÷èñëî äîëæíî ñóùåñòâîâàòü, ïîñêîëüêó ÷èñëî äîïóñòèìûõôðàç, èìåþùèõ ìåíåå ñòà ñëîâ, êîíå÷íî.
 òî æå âðåìÿ îíî îïðåäåëÿåòñÿ ïðèâåäåííîéâûøå ôðàçîé, à â íåé ìåíåå ñòà ñëîâ! 1 íàøåì êóðñå, ê ñ÷àñòüþ, ïðîòèâîðå÷èé òàêîãî ðîäà ïðè çàäàíèè ìíîæåñòâ âîçíèêàòü íå áóäåò. Íî äàæå ïðè ïîëíîé ÿñíîñòè ñ îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà (íàïðèìåð,ìíîæåñòâî êîðíåé óðàâíåíèÿ) íå âñåãäà ëåãêî óñòàíîâèòü, ñêîëüêî â íåì ýëåìåíòîâ èáóäåò ëè îíî âîîáùå íåïóñòûì.Äîâîëüíî ÷àñòî ìíîæåñòâà áóäóò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, M = {1, 2, 3} ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òðåõ ÷èñåë 1, 2, 3.Êðîìå òîãî, íîâûå ìíîæåñòâà ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü ñ ïîìîùüþ óæå èìåþùèõñÿìíîæåñòâ X è Y ñëåäóþùèì îáðàçîì:• A = X ∪ Y ≡ {a : a ∈ X èëè a ∈ Y }(îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ);• B = X ∩ Y ≡ {b : b ∈ X è b ∈ Y }(ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ);(ðàçíîñòü ìíîæåñòâ);• C = X\Y ≡ {c : c ∈ X, c ∈/ Y}• D = X × Y ≡ {d = (a, b) : a ∈ X, b ∈ Y }2.2(äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ).Îòîáðàæåíèÿ, ôóíêöèè, îïåðàòîðûÂñå òðè ñëîâà èç çàãîëîâêà îçíà÷àþò îäíî è òî æå ðå÷ü èäåò î ïðàâèëå, ïî êîòîðîìóêàæäîìó ýëåìåíòó x ìíîæåñòâà X ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé1 Ïðèìåð èç ó÷åáíèêà Â.
Â. Âîåâîäèíà Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, Íàóêà, 1980.1112Ëåêöèÿ 2ýëåìåíò y = f (x) ìíîæåñòâà Y . Çàäàíèå ïðàâèëà ðàâíîñèëüíî âûáîðó ïîäìíîæåñòâàΓ = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y,íàçûâàåìîãî ãðàôèêîì îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè, îïåðàòîðà) f .Ýëåìåíò y = f (x) íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ýëåìåíòà x, à x ïðîîáðàçîì ýëåìåíòà y ïðèîòîáðàæåíèè f .
×òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî f äåéñòâóåò èç X â Y , ïèøóò òàê: f : X → Y .Ìíîæåñòâî f (X) ≡ {y : y = f (x) äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ X} íàçûâàåòñÿ îáðàçîì(ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé) îòîáðàæåíèÿ f .Åñëè M ⊂ Y , òî ìíîæåñòâî f −1 (M ) ≡ {x : f (x) ∈ M } íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà M . Åñëè M = {y}, òî ïèøóò òàêèì îáðàçîì: f −1 (y) = f −1 (M ).Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèåg : Y → X òàêîå, ÷òî f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y è g(f (x)) = x ∀ x ∈ X . Ïðè ýòîì g íàçûâàþòîáðàòíûì îòîáðàæåíèåì äëÿ f è ïèøóò g = f −1 .Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì, åñëè äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ïîëíûéïðîîáðàç f −1 (y) ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî ýëåìåíòà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îáðàòèìîñòüðàâíîñèëüíà âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè.2.3Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèèÎòîáðàæåíèå f : X × X → X íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íà X . Ïóñòü äëÿîáîçíà÷åíèÿ òàêîé îïåðàöèè èñïîëüçóòñÿ ñèìâîë ∗.
Òîãäà çàïèñü c = a ∗ b îçíà÷àåò, ÷òî(a, b) ∈ X × X è c = f ((a, b)).Åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå f : M → X íà íåïóñòîì ïîäìíîæåñòâå M ⊂ X × X , òî fíàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íà X . Òàêîâîé, â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿåòñÿîïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèö íà ìíîæåñòâå âñåõ ìàòðèö.Cèìâîë ∗ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ, ïðè ýòîì ïèøóò ab = a ∗ b, íàçûâàþò îïåðàöèþ óìíîæåíèåì, à ýëåìåíò ab (åñëè îí ñóùåñòâóåò) ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâ a è b.2.4Àññîöèàòèâíîñòü è ñêîáêè×àñòè÷íàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ íà X íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõa, b, c ∈ X èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèé ab è bc âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâåäåíèéa(bc), (ab)c è ðàâåíñòâîa(bc) = (ab)c. ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî óáðàòü ñêîáêè è ïèñàòü abc ≡ a(bc) = (ab)c.Òåîðåìà. Ïóñòü íà X çàäàíà àññîöèàòèâíàÿ ÷àñòè÷íàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ èx1 , .
. . , xn ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç X , äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ïðîèçâåäåíèÿx1 x2 , x2 x3 , . . ., xn−1 xn . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàññòàíîâêà ñêîáîê, îïðåäåëÿþùàÿ ýëåìåíòx = x1 x2 . . . xn ,ïðè ýòîì ëþáàÿ ðàññòàíîâêà ñêîáîê äàåò îäèí è òîò æå ýëåìåíò x.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî n. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñóùåñòâîâàíèå íåêî-òîðîé ðàññòàíîâêè ñêîáîê, îïðåäåëÿþùåé x. Ñîãëàñíî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ,ñóùåñòâóåò ïðîèçâåäåíèå (x1 ...
xn−2 )xn−1 . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ñóùåñòâóåò òàêæå ïðîèçâåäåíèå xn−1 xn . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïðèìåíèòü îïðåäåëåíèå àññîöèàòèâíîñòè ïîîòíîøåíèþ ê ýëåìåíòàì a = x1 . . . xn−2 , b = xn−1 , c = xn .Å. Å. Òûðòûøíèêîâ13Ïóñòü ýëåìåíòû a è b ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðàçíûõ ðàññòàíîâêàõ ñêîáîê.  ëþáîì ñëó÷àåèìååìb = (x1 . . . xm )(xm+1 . . . xn ).a = (x1 . .
. xk )(xk+1 . . . xn ),Ïóñòü k < m. Òîãäà, â ñèëó àññîöèàòèâíîñòè,a = (x1 . . . xk )((xk+1 . . . xm )(xm+1 . . . xn )) =((x1 . . . xk )(xk+1 . . . xm ))(xm+1 . . . xn ) = (x1 . . . xm ))(xm+1 . . . xn ) = b. 22.5Àññîöèàòèâíîñòü ïðè óìíîæåíèè ìàòðèöÏóñòü íóæíî âû÷èñëèòü ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðîâ 1×n, n×1è 1 × n: c11A = BCD = [b11 . . . b1n ] . .
. [d11 . . . d1n ].cn1 äàííîì ñëó÷àå åñòü äâà âàðèàíòà ðàññòàíîâêè ñêîáîê:A = B(CD) = [b11c11 d11 . . . c11 d1n...... ,. . . b1n ] . . .cn1 d11 . . . cn1 d1nA = (BC)D = [(b11 c11 + . . . + b1n cn1 )] [d11 . . . d1n ].(1)(2)Âàðèàíòû (1) è (2) ïðèâîäÿò ê äâóì ðàçíûì àëãîðèòìàì âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A. ñèëó àññîöèàòèâíîñòè ðåçóëüòàòû äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè. Íî àðèôìåòè÷åñêàÿðàáîòà áóäåò ðàçíàÿ! Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî ñòðîêà íà ñòîëáåö, ïîëó÷àåì 2n2 óìíîæåíèéâ ñëó÷àå (1) è âñåãî 2n óìíîæåíèé â ñëó÷àå (2).2.6ÃðóïïûÍåïóñòîå ìíîæåñòâî G ñ àññîöèàòèâíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé,åñëè:(1) ñóùåñòâóåò ýëåìåíò e ∈ G òàêîé, ÷òî ae = ea = a äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G;(2) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G ñóùåñòâóåò ýëåìåíò b ∈ G òàêîé, ÷òî ab = ba = e.Ýëåìåíò e îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì (1) îäíîçíà÷íî: åñëè e1 è e2 äâà òàêèõ ýëåìåíòà,òî e1 = e1 e2 = e2 .
Îí íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.Ýëåìåíò b èç ñâîéñòâà (2) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî a: åñëè b1 è b2 äâà òàêèõ ýëåìåíòà, òî b1 = b1 (ab2 ) = (b1 a)b2 = b2 . Ýëåìåíò b íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì äëÿ a.Îáîçíà÷åíèå: b = a−1 .Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ a, b ∈ G ìîæíî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèÿ ax = b (îòíîñèòåëüíî x) è ya = b (îòíîñèòåëüíî y ). Îáà óðàâíåíèÿ îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû: x = a−1 bè y = ba−1 .Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ àáåëåâîé (êîììóòàòèâíîé), åñëè ab = ba äëÿ âñåõ a, b ∈ G.14Ëåêöèÿ 22.7Ïðèìåðû àáåëåâûõ ãðóïï1. G = R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ ñëîæåíèå ÷èñåë. Ðîëü åäè-íè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 0.2.
G = R\{0} ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ óìíîæåíèå÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 1.3. G = Q ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ ñëîæåíèå ÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 0.4. G = Q\{0} ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ óìíîæåíèå÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 1.√5.
G ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âèäà a+b 2, ãäå a, b ðàöèîíàëüíûå÷èñëà. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèå ÷èñåë.Ïðåæäå âñåãî, äîêàæåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë èç G ïðèíàäëåæèò G:√√√(a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2,èç ðàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë a, b, c, d âûòåêàåò ðàöèîíàëüíîñòü√ ÷èñåë ac + 2bd è ad + bc.Äàëåå,åäèíè÷íûìýëåìåíòîìÿâëÿåòñÿ÷èñëî1=1+0·2. Îáðàòíûé ýëåìåíò äëÿ√a + b 2, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, èìååò âèä √a−b+2.a2 − 2b2a2 − 2b2Çàäà÷à.GÏóñòüG ãðóïïà ñ åäèíèöåée.Äîêàæèòå, ÷òî åñëèa2 = eäëÿ ëþáîãîa ∈ G,òî ãðóïïààáåëåâà.2.8Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèöÌàòðèöà A = [aij ] ðàçìåðîâ n × n íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé, åñëè aij = 0 ïðè i 6= j .Äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè aii 6= 0 ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ n.Ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ n × n-ìàòðèö ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè è îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
