Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . . . . . . . . . . .Ñìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûå äåëèòåëè,Èçîìîðôèçìû ãðóïï . . . . . . . . . . .Ãîìîìîðôèçìû ãðóïï . . . . . . . . . . .Èçáûòî÷íîñòü â îïðåäåëåíèè ãðóïïû . .................................................. . . . .ìàòðèö. . . . .. . . . .............................................................................................................................................. . . . . .
. . . .ôàêòîð-ãðóïïû. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..........................255255255257258259259259260263263263264265265266266268271271271271272273273273274275275Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 4277Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 5279Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 6281Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 828343.143.243.344.144.245.145.246.146.2Çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 277Ïîäãðóïïû ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277×åòíîñòü áåç èíâåðñèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Ôóíêöèîíàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ëàïëàñà . . . . . . . . . 279Îïðåäåëèòåëè ñ íóëåâûìè ÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Ìàòðèöû ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì . . . . . . . . . . . . .
. 281Îïðåäåëèòåëü è âîçìóùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Âûáîð âåäóùåãî ýëåìåíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284xÎÃËÀÂËÅÍÈÅÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 13287Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 14289Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1629147.147.248.148.248.349.149.249.349.449.549.649.749.8Àôôèííàÿ íåçàâèñèìîñòü . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 287Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà è ìèíèìèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 288Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Êóáè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 290Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ âû÷åòîâÐåçóëüòàíò . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé . . . . .Êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿ ïîëåé . . . . . . . .Êðóãîâûå ìíîãî÷ëåíû ïðîñòîé ñòåïåíè . .Ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè . . . . . . . . . .Ýíäîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû . . . . .Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà . . . .
. . . . . . . .................................................................Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1750.150.250.350.4Êðàòíûå êîðíè è ïðîèçâîäíûå . . . . . . . . . . . . . . .Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÏîëå ðàçëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì . . . . . .Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1851.151.251.351.451.551.651.751.851.9Åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû .Íîðìàëüíûå ïîëÿ è ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ . .
. . . . . . . .Ðàäèêàëüíûå ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .Àâòîìîðôèçìû è ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Ðàñøèðåíèÿ Ãàëóà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ è ïîäãðóïïû . . . . . . . . . . .Ðàçðåøèìîñòü àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé . . . . . . .Íîðìàëüíûå äåëèòåëè ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû . . . .Ãðóïïû ïðè ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.......................................................................................................................................291291292294295296297298299299299301301303303304304305305305306307307Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 19309Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 22311Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2331352.152.252.353.154.154.254.354.4Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà . .
. . . . . . . . . . . . . . 309Èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Îïðåäåëåíèå òèïà ëèíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 311Ïîäïðîñòðàíñòâà è çàìêíóòîñòü . . . . . . . . . . . .Åäèíè÷íàÿ ñôåðà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÃåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà åäèíè÷íûõ øàðîâ . . . . .Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . .................................313313314315Å. Å. Òûðòûøíèêîâ54.5xiÊîìïàêòíûå ìíîæåñòâà â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . .
315Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2555.155.2Ïîòåðÿ îðòîãîíàëüíîñòè ïðè âû÷èñëåíèÿõ . . . . . . . . . . . . . . 317Îáîáùåíèå òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðå . . . . . . . . . . . . . . . . 318Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2656.156.256.356.456.5317Ñòðîåíèå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà . . . . . . . . . . . .
. . . . .Ïîèñê òî÷êè â ïåðåñå÷åíèè ãèïåðïëîñêîñòåé . . . . .Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû è ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿÄóàëüíûå íîðìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................319319320320321322Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 27325Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 32329Äîïîëíåíèå ê ëåöèè 34331Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 35335Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 36337Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 37341Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 3834557.157.258.158.259.159.259.360.161.161.262.162.262.363.163.263.363.463.5Âûáîð áàçèñà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Æîðäàíîâà ôîðìà: ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè . . . . . . 329Ñâåðòêè . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Ñëîæíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Áûñòðûå ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Îáùèé âèä óíèòàðíî èíâàðèàíòíûõ íîðì . . . . . . . . . . . .
. . 335Ãèïåðïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ãèïåðïîâåðõíîñòåé . . . . . . . . . . . . . 338Ýðìèòîâî âîçìóùåíèå çàäàííîãî ðàíãà . . . . . . . . . . . . . . . . 341Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . .
. . 342Ìàæîðèçàöèÿ è íåðàâåíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343×èñëî èòåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êàê óáûâàþò íîðìû íåâÿçîê . . . . . . . . . . . . . .Îöåíêà ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà . . . . .Ïðåäîáóñëîâëåííûé ìåòîä ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâÎáîáùåíèÿ ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ . . . .Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 3964.164.2........................................345345346347347351Ëîêàëèçàöèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 351Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïåêòðàìè íîðìàëüíûõ ìàòðèö . . . . . . . . . 352Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 40353Ëèòåðàòóðà35765.165.265.3Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ ñ ïîìîùüþ ìàòðèö . . . . . . . . . . . . 353Îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ . .
. . . . . . . . . . . . 353Ðàçëîæåíèå Òàêêåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354ÏðåäèñëîâèåÄàííàÿ êíèãà âîçíèêëà â õîäå ÷òåíèÿ ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà ôàêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Åå ãëàâû ïîÿâëÿëèñü ïî÷òè ñèíõðîííî ñ ëåêöèÿìè èñòàíîâèëèñü äîñòóïíûìè ñòóäåíòàì áëàãîäÿðÿ èíòåðíåòó. Ïîñëå ýòîãî ïåðâîíà÷àëüíûéòåêñò ïîñòîÿííî ìåíÿëñÿ ïîìèìî èñïðàâëåíèÿ îïå÷àòîê, àâòîðó õîòåëîñü íàéòè òàêîéñòèëü èçëîæåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëèë áû ïîëó÷èòü íåîáõîäèìûå îñíîâû ïðåäìåòà è, â òîæå âðåìÿ, äàë áû âîçìîæíîñòü íàèáîëåå çàèíòåðåñîâàííûì ÷èòàòåëÿì ïîéòè äàëüøå,èíîãäà î÷åíü äàëåêî âïëîòü äî îáñóæäåíèÿ íåòðèâèàëüíûõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûìèî÷åíü ñèëüíà ëèíåéíàÿ àëãåáðà.Äàííûé çàìûñåë ïîòðåáîâàë îïðåäåëåííîé ñòðóêòóðû îò êíèãè.
Îíà ñîäåðæèò êàêáû íåñêîëüêî ïëàñòîâ. Ïðåæäå âñåãî, ýòî îñíîâíîé, îáÿçàòåëüíûé ìàòåðèàë åãî ìîæíî ÷èòàòü áåç ññûëîê íà äîïîëíåíèÿ, à ìíîãèå ÷èòàòåëè ìîãóò èì è îãðàíè÷èòüñÿ. Öåëüàâòîðà ïî îòíîøåíèþ ê òàêèì ÷èòàòåëÿì îñòàâèòü ó íèõ îùóùåíèå êðàñèâîé è ïðîñòîé íàóêè, êàêîâîé è ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Íî ìåíüøå âñåãî õîòåëîñü áû îñòàâèòüâïå÷àòëåíèå íàóêè, çàâåðøèâøåé ñâîå ðàçâèòèå.
Äëÿ ýòîãî è íàïèñàíû äîïîëíåíèÿ, âêîòîðûõ ëèíåéíàÿ àëãåáðà ïðåäñòàåò óæå íå î÷åíü ïðîñòîé íàóêîé, âåäóùåé ñâîèìèìåòîäàìè ê î÷åíü èíòåðåñíûì è ÷àñòî çíàìåíèòûì ðåçóëüòàòàì â äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé.×åñòîëþáèâûé ÷èòàòåëü, âîçìîæíî, áóäåò ñòðåìèòüñÿ ïðî÷åñòü êíèãó îò êîðêè äîêîðêè. Àâòîð äîëæåí ïðåäóïðåäèòü, ÷òî ýòî ìîæåò ïîòðåáîâàòü áîëüøèõ óñèëèé èâïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ê êàêèì-òî ìåñòàì ëó÷øå âåðíóòüñÿ óæå ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðâîãî ãîäà îáó÷åíèÿ. Âåçäå ÿâíî óêàçàíî, êàêîé ìàòåðèàë ñ÷èòàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì.Áîëåå òîãî, äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë òàêæå èìååò äâà óðîâíÿ òî, ÷òî íàáðàíî ìåëêèì øðèôòîì, äîëæíî ñ÷èòàòüñÿ "áîëåå äîïîëíèòåëüíûì".Íàø êóðñ åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëþ÷àåò â ñåáÿ è îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.
Xîðîøèå ó÷åáíèêè â äóõå ýòîé òðàäèöèè, áåçóñëîâíî, óæå ñîçäàíû. Òåì íå ìåíåå,äàííàÿ êíèãà îòëè÷àåòñÿ óêàçàííûì âûøå çàìûñëîì ñîåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ ïëàñòîâ èìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé åùå ïî ðÿäó ïðè÷èí.Âî-ïåðâûõ, â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè êíèãó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàñøèðåííûéêîíñïåêò ëåêöèé. Îòñþäà ñæàòîñòü è ëàêîíè÷íîñòü, ñâîéñòâåííàÿ îãðàíè÷åííûì âî âðåìåíè ëåêöèÿì. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå, â êíèãå íåò äëèííûõ ññûëîê è ïðèñóòñòâóþòíåèçáåæíûå â ëåêöèÿõ íàïîìèíàíèÿ è ïîâòîðåíèÿ.Âî-âòîðûõ, îáñóæäåíèå ñîâåðøåííî êëàññè÷åñêèõ âîïðîñîâ îáû÷íî èìååò ïðîäîëæåíèå â äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòè, äåëàþùåå î÷åâèäíûì, ÷òî èçó÷àåìàÿ íàìè íàóêà ÿâëÿåòñÿæèâîé, óñïåøíî ðàçâèâàþùåéñÿ è ïðî÷íî ñâÿçàííîé ñî ìíîãèìè äðóãèìè ðàçäåëàìèìàòåìàòèêè.
Êàê òîëüêî ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñäåëàòü øàãè â íàïðàâëåíèè îñîáî12.ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅâïå÷àòëÿþùèõ äîñòèæåíèé, ÿ ïûòàþñü ýòî äåëàòü. Íî â êàæäîì òàêîì ñëó÷àå ÿ ñ÷èòàþâàæíûì èçáåãàòü ÷èñòî äåêëàðàòèâíîãî îïèñàíèÿ åñëè óæ ÷òî-òî îáñóæäàåòñÿ, òîâñåãäà ñ ÿñíûìè ôîðìóëèðîâêàìè è ïîëíûìè (ïî÷òè âñåãäà) äîêàçàòåëüñòâàìè.Â-òðåòüèõ, â êíèãå èäåò îäíîâðåìåííîå ðàçâèòèå íåñêîëüêèõ òåì ïîäîáíî òîìó, êàêýòî äåëàåòñÿ â ïîëèôîíè÷åñêîì ìóçûêàëüíîì ïðîèçâåäåíèè. Ãëàâíàÿ òåìà, êîíå÷íî, ýòî âñå, ÷òî ñâÿçàíî ñ êîíöåïöèåé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ.  êà÷åñòâå ïîáî÷íîé(õîòÿ è íå ìåíåå çíà÷èòåëüíîé) òåìû â ñàìîì íà÷àëå âîçíèêàåò ïîíÿòèå àëãåáðàè÷åñêîéîïåðàöèè è ãðóïïû. Ýòà òåìà âïîñëåäñòâèè ïðèâîäèò ê âàæíûì ïîíÿòèÿì êîëüöà èïîëÿ, à çàòåì è ê ñâîåîáðàçíîé òî÷êå êîíòðàïóíêòà (â òîé æå ìóçûêàëüíîé àíàëîãèè),êîãäà ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèìåíÿþòñÿ ê èçó÷åíèþ ðàñøèðåíèé ïîëåé. äîïîëíèòåëüíûõ ÷àñòÿõ â ñæàòîì è â òî æå âðåìÿ çàìêíóòîì âèäå ìîæíî íàéòèâåñüìà íåòðèâèàëüíûå ðåçóëüòàòû, âûõîäÿùèå çà ðàìêè ñîáñòâåííî ëèíåéíîé àëãåáðû (íàïðèìåð, âîïðîñû î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ è ðàçðåøèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
