Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , ik ) ∈ Nk ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîν(I) = i1 + . . . + ik .Ëåììà. Ïðè ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìå J ïîäìíîæåñòâà Sn (I, J) íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðèðàçíûõ I ∈ Nk è èõ îáúåäèíåíèå äàåò ìíîæåñòâî âñåõ ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n. Åñëèσ = σI,J (π, τ ) ∈ Sn (I, J), òîsgn(σI,J (π, τ )) = sgn(π) sgn(τ ) (−1)ν(I)+ν(J) .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû î ðàçáèåíèè Sn íà íåïåðåñåêàþùèåñÿïîäìíîæåñòâà âèäà Sn (I, J) î÷åâèäíî.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ33 ñèëó ñäåëàííîãî âûøå çàìå÷àíèÿ î ïîäñòàíîâêàõ, çíàê ïîäñòàíîâêè σI,J (π, τ ),îïðåäåëÿåìîé òàáëèöåé (∗), åñòü ïðîèçâåäåíèå çíàêîâ ïîäñòàíîâîê âèäà1 ... kj1 .
. . jkk + 1 ... k + m0...jmj10è1iπ(1)... k. . . iπ(k)k + 1 ... k + mi0τ (1) . . . i0τ (m).Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî èíâåðñèé äëÿ ïåðâîé ïîäñòàíîâêè. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óïîðÿäî0÷åííîñòü íîìåðîâ â ñèñòåìàõ (j1 , . . . , jk ), (j10 , . . . , jm) è èõ âçàèìíóþ äîïîëíèòåëüíîñòü,ïðèõîäèì ê âûâîäó î òîì, èíâåðñèþ ìîãóò îáðàçîâûâàòü òîëüêî ïàðû âèäà(p, q),ãäåp ∈ {1, .
. . , k},q ∈ {k + 1, . . . , k + m}.(∗∗)Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî j1 ïîðîæäàåò j1 − 1 èíâåðñèé, j2 ïîðîæäàåò j2 − 2 èíâåðñèé, è òàêäàëåå: îáùåå ÷èñëî èíâåðñèé, òàêèì îáðàçîì, ðàâíî(j1 − 1) + (j2 − 2) + . . . + (jk − k).×èñëî èíâåðñèé äëÿ âòîðîé ïîäñòàíîâêè âêëþ÷àåò òðè ñëàãàåìûõ:(1) ÷èñëî èíâåðñèé ñðåäè ïàð âèäà âèäà (∗∗);(2) ÷èñëî èíâåðñèé ñðåäè ïàð âèäà (p, q), ãäå p, q ∈ {1, . .
. , k};(3) ÷èñëî èíâåðñèé ñðåäè ïàð âèäà (p, q), ãäå p, q ∈ {k + 1, . . . , k + m}.Ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî, ïî àíàëîãèè ñ ðàññìîòðåííûì âûøå ñëó÷àåì,(i1 − 1) + (i2 − 2) + . . . + (ik − k),âòîðîå ÷èñëó èíâåðñèé δ(π) äëÿ ïîäñòàíîâêè π ∈ Sk , òðåòüå ÷èñëó èíâåðñèé δ(τ )äëÿ ïîäñòàíîâêè τ ∈ Sm .
Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü ÷èñëà èíâåðñèé äëÿ ïîäñòàíîâêèσ(π, τ ) ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ÷èñëà2δ(π) + δ(τ ) + (i1 + . . . + ik ) + (j1 + . . . + jk ) = δ(π) + δ(τ ) + ν(I) + ν(J).5.7Òåîðåìà ËàïëàñàÒåîðåìà Ëàïëàñà. Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Çàôèêñèðóåì ëþáóþñèñòåìó k ñòîëáöîâ, âûáðàâ J ∈ Nk . Òîãäà âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû Añâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ìèíîðîâ íà ôèêñèðîâàííûõ k ñòîëáöàõ è èõ äîïîëíèòåëüíûõìèíîðîâ:Xdet A =det A(I, J) det A(I 0 , J 0 ) (−1)ν(I)+ν(J) .I∈NkÄîêàçàòåëüñòâî. Îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàò ëåììû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, íàõîäèì!det A =XX XI∈Nkπ∈Sk τ ∈Sm0 ) sgn(σ(π, τ ))(aiπ(1) j1 .
. . aiπ(k) jk ) (ai0τ (1) j10 . . . ai0τ (m) jm34Ëåêöèÿ 5!=XX XI∈Nkπ∈Sk τ ∈Sm0 ) sgn(π) sgn(τ ))(aiπ(1) j1 . . . aiπ(k) jk ) (ai0τ (1) j10 . . . ai0τ (m) jm!!=XXI∈Nkπ∈Sk(−1)ν(I)+ν(J)X(aiπ(1) j1 . . . aiπ(k) jk ) sgn(π)0 ) sgn(τ ))(ai0τ (1) j10 . . . ai0τ (m) jm(−1)ν(I)+ν(J) .τ ∈SmÎñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïåðâàÿ è âòîðàÿ ñêîáêè äàþò, ñîîòâåòñòâåííî, det A(I, J) èdet A(I 0 , J 0 ). 2Âåëè÷èíó det A(I 0 , J 0 )(−1)ν(I)+ν(J) íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ìèíîðàdet A(I, J). Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ëàïëàñà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè âûáîðå ëþáîé ñèñòåìû ñòîëáöîâ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí ñóììå âñåâîçìîæíûõ ìèíîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà çàäàííûõ ñòîëáöàõ, óìíîæåííûõ íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ.Ïîñêîëüêó det A = det A> , èìååò ìåñòî è òàêîé âàðèàíò òåîðåìû Ëàïëàñà: ïðè âûáîðå ëþáîé ñèñòåìû ñòðîê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí ñóììå âñåâîçìîæíûõ ìèíîðîâ,ðàñïîëîæåííûõ íà äàííûõ ñòðîêàõ, óìíîæåííûõ íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ.Çàäà÷à.Ìàòðèöàáàâëåíèåì ÷èñëàc 6= 0Bñ îïðåäåëèòåëåì(ïîäìàòðèö ïîðÿäêà 1) äëÿÇàäà÷à.÷òî âñåïîëó÷åíà èçAñ îïðåäåëèòåëåìa = det Aïðè-Aè äëÿB.n×n-ìàòðèöå èìåòñÿ åäèíñòâåííûé ìèíîð ïîðÿäêà r < n, îòëè÷íûé îò íóëÿ.
Äîêàæèòå,ìèíîðû ïîðÿäêà k ≥ r + 1 ðàâíû íóëþ.Çàäà÷à.| det A| ≤ 16,5.8b = det Bê êàæäîìó ýëåìåíòó. Íàéòè ñóììû àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé âñåõ ýëåìåíòîâÂÏóñòüA ìàòðèöà ïîðÿäêànñ ýëåìåíòàìèè ïîñòðîéòå ìàòðèöó, äëÿ êîòîðîédet A = 16.aij = ±1.Äîêàæèòå, ÷òî åñëèn = 4,òî1Îïðåäåëèòåëü áëî÷íî-òðåóãîëüíîé ìàòðèöûÐàññìîòðèì áëî÷íî-òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n:P RA=,P ∈ Rk×k , Q ∈ Rm×m ,0 Qk + m = n.Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ëàïëàñà äëÿ ñèñòåìû ïåðâûõ k ñòîëáöîâ (èëè ñòðîê) ñðàçó æåäàåò ïîëåçíóþ ôîðìóëódet A = det P det Q.1  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëèýëåìåíòàìè±1,äëÿ êîòîðûõ| det A| = nn/2|aij | ≤ 1,, íàçûâàþòñÿ÷òî ìàòðèöû Àäàìàðà ñóùåñòâóþò íå äëÿ âñåõñóùåñòâóþò äëÿ âñåõn,êðàòíûõ4.n.| det A| ≤ nn/2 (ñì.
ðàçäåë 25.8). Ìàòðèöû ñìàòðèöàìè Àäàìàðà. Íåòðóäíî óñòàíîâèòü,òîÈìååòñÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ìàòðèöû ÀäàìàðàËåêöèÿ 66.1Îáðàòíàÿ ìàòðèöàÌàòðèöà A ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ îáðàòèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ìàòðèöà X ïîðÿäêà nòàêàÿ, ÷òîAX = XA = I,ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n; X íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé äëÿ A.Ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî îäíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà: åñëè AX = XA = I è AY =Y A = I , òî X = X(AY ) = (XA)Y = Y . Îáîçíà÷åíèå äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû: X = A−1 .Çàäà÷à.ïîðÿäêàn.ÏóñòüA, B ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêàn; Iè0 åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöûÄîêàçàòü, ÷òîI00−1 A 0II B = 00 I0−A ABI−B .0In ñs(3n)).(Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêàs(n)ïîðîæäàåò àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîðÿäêàÇàäà÷à.Äàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöàÇàäà÷à.Íàéòè âñå îáðàòèìûå ìàòðèöûAòàêàÿ, ÷òîAnñ ÷èñëîì îïåðàöèéA3 = 0.ïîðÿäêàn,÷èñëîì îïåðàöèéÄîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàI −Aäëÿ êîòîðûõ âñå ýëåìåíòûAèîáðàòèìà.A−1íåîò-ðèöàòåëüíû.
Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.Çàäà÷à.n, êàæäàÿ îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ (òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè ïåðåñòàíîâêè). Ïóñòü P1 + ... + Pn = E , ãäåE ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû 1. Êðîìå òîãî, ïóñòü Pi Pj = Pj Pi äëÿ âñåõ i, j . Äîêàæèòå,÷òî ìíîæåñòâî ìàòðèö P1 , . . . , Pn îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.6.2Äàíû ìàòðèöûP1 , .
. . , PnïîðÿäêàÊðèòåðèé îáðàòèìîñòè ìàòðèöûÒåîðåìà. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà îáðàòèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ñòîëáöûîáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìàòðèöà A ïîðÿäêà n èìååò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû.Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì Ëåêöèè 3 î ñîâìåñòíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êàæäàÿ èç ñèñòåìAx1 = e1 , Ax2 = e2 , . . . , Axn = en ,ãäå e1 , e2 , . . .
, en ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. ÏóñòüX = [x1 , x2 , . . . , xn ]. Òîãäà AX = I .3536Ëåêöèÿ 6Ñòîëáöû ìàòðèöû X ëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ñàìîì äåëå, ïóñòü íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ ýòèõ ñòîëáöîâ ðàâíà íóëþ:α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîα1 α2 X . . . = 0.αnÑëåäîâàòåëüíî, α1α1 α2 α2 AX ... = ...αnαn = 0.Îòñþäà α1 = α2 = . .
. = αn = 0. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ X ñóùåñòâóåò ìàòðèöà Y òàêàÿ,÷òî XY = I . Äîêàæåì, ÷òî Y = A.  ñàìîì äåëå, A = A(XY ) = (AX)Y = Y. 1Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî A = [a1 , . . . , an ] îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, è ðàññìîòðèìðàâíóþ íóëþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ åå ñòîëáöîâ:α1 a1 + α2 a2 + . . . + αn an = 0.Äàííîå ðàâåíñòâî çàïèøåì â ñëåäóþùåì âèäå:α1 α2 A . . . = 0.αnÓìíîæàÿ îáå ÷àñòè ñëåâà íà A−1 , íàõîäèì α1 = . . .
= αn = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîëáöûa1 , . . . an ëèíåéíî íåçàâèñèìû. 26.3Îáðàùåíèå è òðàíñïîíèðîâàíèåÓòâåðæäåíèå. (AB)> = B > A> .Äîêàçàòåëüñòâî. (AB)ij =PPP >(A)ik (B)kj =(B)kj (A)ik =(B )jk (A> )ki =kkk(B > A> )ji . 2Èç ðàâåíñòâà AX = XA = I ïîëó÷àåì X > A> = A> X > = I . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöàîáðàòèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáðàòèìà åå òðàíïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà.
ÏðèýòîìX > = (A> )−1 = (A−1 )> .Îáîçíà÷åíèå: A−> ≡ (A−1 )> .Êàê ñëåäñòâèå, ïîëó÷àåì ñòðî÷íûé àíàëîã êðèòåðèÿ îáðàòèìîñòè ìàòðèöû: îáðàòèìîñòü ìàòðèöû ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè åå ñòðîê.1 Ïî ñóùåñòâó, çäåñü âîñïðîèçâîäèòñÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ èçáûòî÷íîñòüþ ðàññìîòðåííîãî íàìè îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû (ñì. ðàçäåë èç äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòèËåêöèè 2).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ6.437Ãðóïïà îáðàòèìûõ ìàòðèöÌíîæåñòâî îáðàòèìûõ n × n-ìàòðèö îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ îáðàçóåò ãðóïïó. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åñòü âñå, êðîìå ôàêòà îáðàòèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ îáðàòèìûõìàòðèö. Íî ýòî ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî: åñëè A è B îáðàòèìû, òî(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 I B = I,(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = A−1 I A = I.ÎòñþäàÇàäà÷à.(AB)−1 = B −1 A−1 .ÏóñòüHýòîì ñëó÷àå ïîäãðóïïà6.5n, G ãðóïïàB ∈ H è A ∈ G (â ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ âåðõíèõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö ïîðÿäêàâñåõ îáðàòèìûõ ìàòðèö ïîðÿäêàHn.ABA−1 ∈ H äëÿ ëþáûõíîðìàëüíûì äåëèòåëåì ãðóïïû G)?Âåðíî ëè, ÷òîíàçûâàåòñÿìàòðèöÎáðàùåíèå íåâûðîæäåííîé ìàòðèöûÊâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ îïðåäåëèòåëåì íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé.e = [Aij ] ìàòðèöà ïîðÿäêà n, â êîòîðîé ýëåìåíò Aij åñòü àëãåáðàè÷åñêîåÏóñòü Ae> íàçûâàåòñÿ ïðèñîåäèíåííîé äëÿäîïîëíåíèå ê ýëåìåíòó aij â ìàòðèöå A.
Ìàòðèöà Aìàòðèöû A.Òåîðåìà. Åñëè ìàòðèöà A ïîðÿäêà n íåâûðîæäåííàÿ, òî îíà îáðàòèìà è ïðè ýòîìA−1 =1 e>A ,det Ae> ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà äëÿ A.ãäå AÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òînXaij Akj =j=1det A, k = i,0,k=6 i.(∗)Ïðè k = i ðàâåíñòâî (∗) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû Ëàïëàñà ïðè ðàçëîæåíèèîïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A ïî k -é ñòðîêå. Ïðè k 6= i ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (∗) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçëîæåíèå ïî k -é ñòðîêå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîék -é ñòðîêè íà i-þ.
Òàêîé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿîäèíàêîâûìè ñòðîêàìè. Íàïðèìåð, åñëè n = 3, i = 1, k = 2, òî a12 a13 a11 a13 a11 a12 + a12 a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = a11 − a31 a33 + a13 − a31 a32 a32 a33 a11 a12 a13 = a11 a12 a13 = 0.a31 a32 a33 Äàëåå,nXj=1aij Akj =nXj=1e > )jk ,aij (A1 ≤ i, k ≤ n.38Ëåêöèÿ 6Ïîýòîìó, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (∗),det A..e> = AA = det A · I..det AÈñïîëüçóÿ òåîðåìó Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî k -ìó ñòîëáöó, íàõîäèìnXaij Aik =i=1det A, k = j,0,k=6 j.det A..e >A = A⇒2 = det A · I..det AÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ñäåëàòü âûðîæäåííîé, èçìåíèâëèøü îäèí èç åå ýëåìåíòîâ.6.6Ïðàâèëî ÊðàìåðàÒåîðåìà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
