Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 28
Текст из файла (страница 28)
. . , xn ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè k îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . ÌíîæåñòâîM = {x = [x1 , . . . , xn ]> : f (x1 , . . . , xn ) = 0}íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì 1 ïîðÿäêà k . Î÷åâèäíî, ýòî ïîíÿòèå îáîáùàåò ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. îáùåì ñëó÷àå ñòðîåíèå ìíîæåñòâà M âåñüìà ñëîæíî. Îäíàêî, ïðè åãî èçó÷åíèè÷àñòî ïîìîãàåò î÷åíü ïðîñòàÿ èäåÿ äàâàéòå ïîïûòàåìñÿ óïðîñòèòü âèä óðàâíåíèÿf = 0 ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ x = P y , ãäå P íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ ñâÿçàíà ñ ïåðåõîäîì ê äðóãîìó áàçèñó â òîì æå n-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü P ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèö ïîðÿäêà n èg(y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xn ), ãäå [x1 , . . . , xn ]> = P [y1 , . . . , yn ]> . Òîãäà ñòåïåíüìíîãî÷ëåíà g ðàâíà ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P = [pij ]. Òîãäàxk11 .
. . xknn =nX!k1p1j yjj=1...nX!knpnj yj.j=1Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ñòåïåíü g íå âûøå ñòåïåíè f . Ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ çàìåíû y = P −1 x. 219.2Êâàäðàòè÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò äâóõ ïåðåìåííûõÐàññìîòðèì êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìèf (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33êàê ôóíêöèþ îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò x, y íà ïëîñêîñòè è èññëåäóåì ñòðîåíèå ìíîæåñòâà òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ f (x, y) = 0.Ìíîãî÷ëåí f (x, y) èìååò òðè òèïà ñëàãàåìûõ:f (x, y) = f2 (x, y) + f1 (x, y) + f0 ,1 Ïîäðîáíûì èçó÷åíèåì àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé çàíèìàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.123124Ëåêöèÿ 19f2 (x, y) = a11 x2 +2a12 xy+a22 y 2 êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü, f1 (x, y) = a13 x+a23 y ëèíåéíàÿ÷àñòü, f0 = a33 ñâîáîäíûé ÷ëåí.
Êâàäðàòè÷íàÿ è ëèíåéíàÿ ÷àñòè çàïèñûâàþòñÿ ñïîìîùüþ ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé òàêèì îáðàçîì: a11 a12 xxf2 (x, y) = x y, f1 (x, y) = 2 a13 a23.a12 a22yyÊðîìå òîãî, ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî aaax111213a12 a22 a23y .f (x, y) = x y 1a13 a23 a331Ïîïðîáóåì íàéòè òàêóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó, â êîòîðîé óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷èòáîëåå ïðîñòîé âèä.
Ìíîæåñòâî åãî ðåøåíèé ïðèíÿòî íàçûâàòü ëèíèåé (êðèâîé) âòîðîãîïîðÿäêà.19.3Ïîâîðîò äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÈñõîäíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ïîâåðíåì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë φ.Òîãäà áàçèñíûå âåêòîðû e1 , e2 ïåðåéäóò â íîâûå áàçèñíûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâåííî,ee1 = cos φ e1 + sin φ e2 ,ee1 = − sin φ e1 + cos φ e2 .Ñòàðûå êîîðäèíàòû x, y áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû xe, ye ñëåäóþùèìîáðàçîì: xcos φ − sin φxe= xeee1 + ye ee2 =.ysin φcos φyeËåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî−1 cos φ − sin φcos φ sin φ=sin φcos φ− sin φ cos φ⇒xeye=cos φ sin φ− sin φ cos φxy. íîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü f2 (x, y) ïðèíèìàåò âèä cos φ sin φa11 a12cos φ − sin φxee yef2 = x.− sin φ cos φa12 a22sin φcos φyee = Q> AQ, ïðè÷åì A ñèìÌàòðèöà â ñêîáêàõ åñòü ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìàòðèö âèäà Aìåòðè÷íàÿ ìàòðèöà: A> = A.
Îòñþäàe> = (Q> AQ)> = Q> A> (Q> )> = Q> AQ = A.eAe = [eÇíà÷èò, Aaij ], 1 ≤ i, j ≤ 2, îñòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.e ïðèîáðåëà äèàãîíàëüíûé âèä:Ïîïûòàåìñÿ âûáðàòü óãîë φ òàê, ÷òîáû ìàòðèöà A cos φ sin φa11 a12cos φ − sin φλ1 0=.(∗)− sin φ cos φa12 a22sin φcos φ0 λ2Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ çàíóëèòü ýëåìåíòea12 = ea21 = (cos2 φ − sin2 φ) a12 − sin φ cos φ (a11 − a22 )a11 − a22= 0.= cos(2φ) a12 − sin(2φ)2Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ125Åñëè a12 = 0, òî ìîæíî âçÿòü φ = 0. Åñëè a12 6= 0, òî íàäî ðåøèòü óðàâíåíèåctg (2φ) =a11 − a22.2a12Î÷åâèäíî, ðåøåíèå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó âñåãäà íàéäåòñÿ φ òàêîå, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (∗). Êðîìå òîãî, ïðè ëþáîì âûáîðå φ ïîëó÷àåìλ1 = cos2 φ a11 +2 cos φ sin φ a12 +sin2 φ a22 ,λ2 = sin2 φ a11 −2 cos φ sin φ a12 +cos2 φ a22 .Îòñþäà λ1 +λ2 = a11 +a22 .
 òî æå âðåìÿ, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (∗) è òî, ÷òî îïðåäåëèòåëüïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé, íàõîäèì λ1 λ1 = a11 a22 − a212 .Ñëåäîâàòåëüíî, λ1 è λ2 ñóòü êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 2λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a212 ) = 0.(#)Äîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà èñõîäíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íàíåêîòîðûé óãîë φ óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïðåîáðàçóåòñÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ê âèäóλ1 xe2 + λ2 ye2 + 2b13 xe + 2b23 ye + b33 = 0,ãäåb13 b23=a13 a23cos φ − sin φsin φcos φ,b33 = a33 ,à λ1 è λ2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (#).19.4Ñäâèã äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÅñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü f2 íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûìíóëåì.
Çíà÷èò, λ1 è λ2 íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî.Ñëó÷àé 1: λ1 6= 0, λ2 6= 0. Âûäåëèì â êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè ïîëíûå êâàäðàòû:b213b213b13xe + 2 − 2 = λ1 xe+λ1 xe + 2b13 xe = λ1 xe +2λ1λ1λ1b23b223b22322λ2 ye + 2b23 ye = λ2 ye + 2ye + 2 − 2 = λ2 ye +λ2λ2λ222b13λ12b23λ22−b213,λ21−b223.λ22Îñóùåñòâèì ñäâèã äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò xe è ye, ïîìåñòèâ åå íà÷àëî â òî÷êób13b230O = − , −.λ1λ2Íîâûå êîîðäèíàòû x0 è y 0 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç xe è ye ñëåäóþùèì îáðàçîì:x0 = xe +2 Çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿîòλ,íàçûâàåìûéb13,λ1(#)y 0 = ye +åñòü â òî÷íîñòèõàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîììàòðèöûb23.λ2a −λa12det 11. Ýòî ìíîãî÷ëåía21a22 − λa11 a12.
Ìíîãî÷ëåí òàêîãî æå âèäàa21 a22åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò ïðè èçó÷åíèè ðÿäà âàæíûõ çàäà÷ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ (íå îáÿçàòåëüíîñèììåòðè÷íûõ) ìàòðèö ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà (ñì. Ëåêöèþ 29).126Ëåêöèÿ 19 íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå f (x, y) = 0 òåðÿåò ëèíåéíóþ ÷àñòü è ïðèíèìàåò âèäλ1 (x0 )2 + λ2 (y 0 )2 + c = 0,c = b33 −(1)b213b223−.λ21λ22Ñëó÷àé 2: λ1 = 0, λ2 6= 0. Ïåðåíîñèì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó0O =b230, −λ2. íîâûõ êîîðäèíàòàõxb = xe,yb = ye +b23λ2óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷àåò âèä2λ2 yb + 2b xb + c = 0,b = b23 ,b223c = b33 − 2 .λ2Åñëè b 6= 0, âûïîëíèì åùå îäèí ïåðåíîñ íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó (−c/b, 0). íîâûõ êîîðäèíàòàõcx0 = xb +, y 0 = yb2bóðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïðèîáðåòàåò ôîðìóλ2 (y 0 )2 + 2b x0 = 0.(2)Åñëè b = 0, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (ïîëîæèì äëÿ óíèôèêàöèè x0 = xb, y 0 = yb)λ2 (y 0 )2 + c = 0.(3)Ñëó÷àé λ1 6= 0, λ2 = 0 ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ 2 äîïîëíèòåëüíûì ïîâîðîòîì ñèñòåìûêîîðäèíàò íà óãîë π/2.
Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà. Ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà è ñäâèãà èñõîäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèåf (x, y) = 0 ïðèâîäèòñÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ê âèäó (1), (2) èëè (3).Åñëè óðàâíåíèå f (x, y) = 0 â êàêîé-ëèáî äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä(1), òî íè â êàêîé äðóãîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå îíî íå ìîæåò èìåòü âèä (2) èëè (3).Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèå âèäà (2) ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå íå ìîæåòñòàòü óðàâíåíèåì âèäà (1) èëè (3), à óðàâíåíèå âèäà (3) óðàâíåíèåì âèäà (1) èëè (2).Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç ñðàâíåíèÿ ðàññìîòðåííûõ íèæå ãåîìåòðè÷åñêèõñâîéñòâ ìíîæåñòâ ðåøåíèé óðàâíåíèé (1), (2) è (3).19.5ÝëëèïñÏóñòü â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå f (x, y) = 0 èìååò âèä (1),ãäå λ1 è λ2 íåíóëåâûå ÷èñëà îäèíàêîâîãî çíàêà.
Óáåðåì øòðèõè è ðàññìîòðèì íîâóþñèñòåìó â êà÷åñòâå èñõîäíîé.Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî 0 < λ1 ≤ λ2 (åñëè îáà ÷èñëà îòðèöàòåëüíû, òî ìîæíî ïîìåíÿòü çíàê â îáåèõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ; åñëè λ1 > λ2 , òî ìîæíîÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ127ïîìåíÿòü èõ ìåñòàìè ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà íà óãîë π/2). Åñëè ïðè ýòîì c > 0, òî èçó÷àåìîå ìíîæåñòâî ïóñòî. Åñëèp c = 0, â íåìpòîëüêî îäíà òî÷êà (0, 0). Ïðåäïîëîæèì, ÷òîc < 0. Òîãäà, ïîëîæèâ a = −c/λ1 , b = −c/λ2 , óðàâíåíèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåy2x2+= 1,a2b2(10 )a ≥ b > 0.Îïðåäåëåíèå 1.
Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (10 ), íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì ñ ïîëóîñÿìè a è b.√Òî÷êè F− = (−c, 0) è F+ = (c, 0), ãäå c = a2 − b2 ≥ 0, íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî,îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì ôîêóñàìè ýëëèïñà. ×èñëî e = c/a íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì ýëëèïñà. Çàìåòèì, ÷òî 0 ≤ e < 1. Ïðÿìûå l− : x = −a/e è l+ : x = a/eíàçûâàþòñÿ, ñîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíîé è ïîëîæèòåëüíîé äèðåêòðèñàìè ýëëèïñà.Ïóñòü òî÷êà M = (x, y) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (10 ).
Íàéäåì ñóììó ðàññòîÿíèéîò íåå äî ôîêóñîâ:pp|M F− | + |M F+ | =(x + c)2 + y 2 +(x − c)2 + y 2pp=x2 (1 − b2 /a2 ) + 2xc + b2 + c2 +x2 (1 − b2 /a2 ) − 2xc + b2 + c2 .Çàìåòèì, ÷òî 1 − b2 /a2 = e2 è b2 + c2 = (c/e)2 = a2 . Êðîìå òîãî, |ex| ≤ a.
Ïîýòîìópp|M F− | + |M F+ | =(ex)2 + 2(ex)(c/e) + (c/e)2 +(ex)2 − 2(ex)(c/e) + (c/e)2= |a + ex| + |a − ex| = (a + ex) + (a − ex) = 2a.Òàêèì îáðàçîì, ñóììà ðàññòîÿíèé îò ëþáîé òî÷êè ýëëèïñà (10 ) äî åãî ôîêóñîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà 2a.Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ñóììàðàññòîÿíèé äî çàäàííûõ òî÷åê ïîñòîÿííà, íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì.Ìû óæå âûÿñíèëè, ÷òî âñå òî÷êè ýëëèïñà êàê ìíîæåñòâà èç îïðåäåëåíèÿ 1 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó èç îïðåäåëåíèÿ 2.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëëèïñ êàê ìíîæåñòâî, äàííîåîïðåäåëåíèåì 2. Âûáåðåì äåêàðòîâó ñèñòåìó, â êîòîðîé çàäàííûå òî÷êè F− è F+ ïîëó÷àþò êîîðäèíàòû (−c, 0) è (c, 0). Ïîñòîÿííóþ ñóììó ðàññòîÿíèé áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîé2a. Òîãäàp(x −c)2+y222pp22= 2a − (x + c) + y⇒ a (x + c)2 + y 2 = a2 + xc.Åùå îäíî âîçâåäåíèå â êâàäðàò äàåò b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.⇒(10 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àå e = 0 ýëëèïñ åñòü îêðóæíîñòü ðàäèóñà a = b.
Ïóñòü e > 0. Âûøå ìûïîëó÷èëè ðàâåíñòâà|M F− | = |a + ex| = e|x + (a/e|⇒|M F− |= e,|x + (a/e)||M F+ | = |a − ex| = e|x − (a/e)|⇒|M F+ |= e.|x − (a/e)|128Ëåêöèÿ 19Âîçâîäÿ êàæäîå èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ â êâàäðàò, ïîëó÷àåì (10 ). Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ îòíî-øåíèå ðàññòîÿíèé äî çàäàííîé òî÷êè è çàäàííîé ïðÿìîé ïîñòîÿííî è ðàâíî 0 < e < 1,ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì.ßñíî, ÷òî äëÿ âûáîðà òî÷êè (ôîêóñà) è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðÿìîé (äèðåêòðèñû),îïðåäåëÿþùèõ îäèí è òîò æå ýëëèïñ, èìåþòñÿ â òî÷íîñòè äâå âîçìîæíîñòè.Çàäà÷à.y 2 /b2 = 1Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóM (x0 , y0 )x2 /a2 +êàñàòåëüíîé êýëëèïñàè èìåþùåé ñ íèì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿM ).
Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ, îðòîãîíàëüíàÿ ê äàííîé ïðÿìîé è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êóáèññåêòðèñîé óãëà AM B , ãäå A è B ôîêóñû ýëëèïñà.ýëëèïñó â òî÷êåM,ÿâëÿåòñÿÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèåîêðóæíîñòè ðàäèóñàÇàäà÷à.íèår>1z 7→ 21 (z + z −1 ) êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè 3ïåðåâîäèò òî÷êèñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â òî÷êè íåêîòîðîãî ýëëèïñà.Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè ýëëèïñàx2 /a2 + y 2 /b2 = 1äîïóñêàþò ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëå-x = a cos φ, y = b sin φ, 0 ≤ φ < 2π .Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñà-òåëüíûõ ê ýëëèïñó19.6x2 /a2 + y 2 /b2 = 1åñòü îêðóæíîñòüx2 + y 2 = a2 + b2 .ÃèïåðáîëàÏî-ïðåæíåìó, ïóñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷àåòâèä (1), íî λ1 è λ2 èìåþò ðàçíûå çíàêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
