Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 30
Текст из файла (страница 30)
+ x2n .2Ñëåäñòâèå. Ïóñòü B = P AQ, ãäå P, Q ïðîèçâîëüíûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöûïîðÿäêà n è A ïðîèçâîëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Òîãäà ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû B ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A.20.3Ìåòîä âðàùåíèéÏîïðîáóì óïðîñòèòü êâàäðàòè÷íóþ ÷àñòü f2 (x, y), èñïîëüçóÿ òó æå èäåþ ïîâîðîòà ñèñòåìû êîîðäèíàò, êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè. Òåïåðü, îäíàêî, ó íàñ åñòü òðè êîîðäèíàòíûõïëîñêîñòè, ïîðîæäàåìûå òðåìÿ ïàðàìè êîîðäèíàòíûõ îñåé. Öåëü âðàùåíèÿ ïîëó÷èòüíóëü âìåñòî êàêîé-íèáóäü îäíîé ïàðû ýëåìåíòîâ aij = aji ïðè i 6= j .
Ðàññìîòðèì òðèâîçìîæíîñòè: cos φ sin φ 0a11 a12 a13cos φ − sin φ 0ea11 0 ea13 − sin φ cos φ 0 a12 a22 a23 sin φ cos φ 0 = 0 ea22 ea23 , (1)001a13 a23 a33001ea13 ea23 ea33 cos φ 0 sin φa11 a12 a13cos φ 0 − sin φea11 ea12 0= e010 a12 a22 a23 010a12 ea22 ea23 , (2)− sin φ 0 cos φa13 a23 a33sin φ 0 cos φ0 ea23 ea33Å. Å. Òûðòûøíèêîâ133 100a11 a12 a13100ea11 ea12 ea13 0 cos φ sin φ a12 a22 a23 0 cos φ − sin φ = ea12 ea22 0 . (3)0 − sin φ cos φ0 sin φ cos φea13 0 ea33a13 a23 a33Îáîçíà÷èì ÷åðåç d0 , h0 è d1 , h1 ñóììû êâàäðàòîâ äèàãîíàëüíûõ è âíåäèàãîíàëüíûõýëåìåíòîâ èñõîäíîé è íîâîé ìàòðèö â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ:d0 = a211 + a222 + a233 ,h0 = 2a212 + 2a213 + 2a223 ,d1 = ea211 + ea222 + ea233 ,a213 + 2ea223 .h1 = 2ea212 + 2eÑîãëàñíî îòìå÷åííûì âûøå ñâîéñòâàì îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö,d1 + h1 = d0 + h0⇒h1 = h0 − (d1 − d0 ).Ïî òîé æå ïðè÷èíå â ñëó÷àå (1) èìååì a211 + a222 + 2a212 = ea211 + ea222 è, ïîñêîëüêó a33 = ea33 ,22d1 − d0 = 2a12 .
 ñëó÷àå (2) d1 − d0 = 2a13 , à â ñëó÷àå (3) d1 − d0 = 2a223 .Ïóñòü èíäåêñû i, j îïðåäåëÿþò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ âðàùåíèå (è óêàçûâàþò íà òî, êàêîå èç ñîîòíîøåíèé (1), (2) èëè (3) èìååò ìåñòî). Âûáåðåìèõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èñêëþ÷àåìûé ýëåìåíò aij áûë ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ. Òîãäà, î÷åâèäíî,d1 − d0 = 2a2ij ≥ 2(h0 /6) = h0 /3⇒h1 ≤2h0 .3Ïóñòü A0 = [aij ] è A1 = [eaij ]. Ðàññìàòðèâàÿ A1 â êà÷åñòâå íîâîé èñõîäíîé ìàòðèöû,âûáåðåì â íåé ìàêñèìàëüíûé ïî ìîäóëþ âíåäèàãîíàëüíûé ýëåìåíò è, çàíóëèâ åãî ñïîìîùüþ âðàùåíèÿ, ïîëó÷èì ìàòðèöó A2 .
Ïðîäîëæàÿ äåéñòâîâàòü òàêèì æå îáðàçîì(k)è äàëåå, ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak = [aij ], k = 0, 1, . . . .Ïóñòü hk îáîçíà÷àåò ñóììó êâàäðàòîâ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak . Òîãäà k2hk ≤h0 → 0 ïðè k → ∞.3Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ i 6= j ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âíåäèàãîíàëüíûõ(k)ýëåìåíòîâ aij ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞.20.4Âëîæåííûå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèËåììà îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ.
Ïóñòü èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî(k)(k)îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {s1 }, . . . , {sm }, k = 1, 2, . . . . Òîãäà ìîæíîâûáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ k1 < k2 < . . . òàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäàÿ(k )(k )èç ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {s1 l }, . . . , {sml }, l = 1, 2, . .
. , áóäåò ñõîäÿùåéñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {sk } âûáèðàåì ñõîäÿùóþñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü skl è âìåñòî èñõîäíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàññìàòðèâàåì ïîä(k )(k )ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {s1 l }, . . . , {sml }, l = 1, 2, . . . . Îíè îñòàþòñÿ, êîíå÷íî, îãðàíè÷åííûìè è ïðè ýòîì ïåðâàÿ èç íèõ áóäåò ñõîäÿùåéñÿ. Òåïåðü óæå èç îãðàíè÷åííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {sk2l } âûáåðåì ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) è(kl )(kl )ïåðåõîäèì ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì {s1 i }, .
. . , {sm i }, i = 1, 2, . . . . Ïîëó÷åííûåâëîæåííûå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò, ïî-ïðåæíåìó, îãðàíè÷åííûìè, íî ñõîäÿùèìèñÿ ÿâëÿþòñÿ óæå ïåðâûå äâå. È òàê äàëåå. 213420.5Ëåêöèÿ 20Äèàãîíàëèçàöèÿ â ïðåäåëåÂåðíåìñÿ ê ìåòîäó âðàùåíèé. Áóäóò ëè ñõîäèòüñÿ ê êîíå÷íûì ïðåäåëàì ïîñëåäîâà(k)òåëüíîñòè äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ aii äëÿ íàøåé áëèæàéøåé öåëè íå î÷åíü âàæíî.Êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé è ïîýòîìó îáëàäàåò ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
Áîëåå òîãî, ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, èìååòñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak , â êîòîðîé êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñõîäèòñÿ ê êàêîìó-òî ïðåäåëó.×òîáû íå çàãðîìîæäàòü îáîçíà÷åíèÿ, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Ak è åñòü òà ñàìàÿ ïîäïîñ(k)ëåäîâàòåëüíîñòü, äëÿ êîòîðîé âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè aij ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ (êàêìû çíàåì, ïðè i 6= j ê íóëþ). Ïóñòü(k)lim aii= λi ,i = 1, 2, 3.Ak = Pk> A0 Pk ,k = 1, 2, .
. . ,k→∞Ïîíÿòíî, ÷òî(#)(k)ãäå ìàòðèöû Pk = [pij ] ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè èñïîëüçîâàííûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ(èç ñîîòíîøåíèé (1), (2) èëè (3)). Ïîýòîìó ïðè ëþáîì k ìàòðèöà Pk ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé (êàê ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà êâàäðàòîââñåõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Pk ïðè ëþáîì k îäèíàêîâà (è ðàâíà 3). Çíà÷èò, êàæäàÿ ïîñëå(k)äîâàòåëüíîñòü pij ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïðè k → ∞ è ïîýòîìó îáëàäàåò ñõîäÿùåéñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.Ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü(k)ìàòðèö Pk , â êîòîðîé êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü pij áóäåò ñõîäÿùåéñÿ.
Äëÿ óïðîùåíèÿîáîçíà÷åíèé áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Pk è åñòü èìåííî òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü(k)lim pijk→∞= pij ,i, j = 1, 2, 3.Ïðè êàæäîì k âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (#). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñîîòâåòñòâóþùèõïîýëåìåíòíûõ ðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìλ1 0 0Λ ≡ 0 λ2 0 = P > A0 P.0 0 λ3Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîãî k èìååì Pk> Pk = I ⇒ P > P = I .  èòîãå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿâàæíàÿÒåîðåìà.
Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà P è äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà Λ òàêèå, ÷òîΛ = P > AP.Ñëåäñòâèå. Ñóùåñòâóåò äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèäf (ex, ye, ze) = λ1 xe2 + λ2 ye2 + λ3 ze2 + 2b1 xe + 2b2 ye + 2b3 ze + a = 0.Çàìå÷àíèå.  ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû P , ðàâåíñòâî Λ = P > AP âûïîëíÿåòñÿâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà AP = P Λ. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî j -é ñòîëáåö pjÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ135ìàòðèöû P óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Apj = λj pj ⇔ (A − λj I)pj = 0. Ó÷èòûâàÿ,÷òî pj 6= 0, íàõîäèì det(A − λj I) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà λ1 , λ2 , λ3 ýòî êîðíèêóáè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ) = det(A − λI). Åñëè îíè óæå íàéäåíû, òî ñòîëáåö pjìîæíî ïîëó÷èòü êàê ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé(A − λj I)pj = 0.20.6Äèàãîíàëèçàöèÿ âåùåñòâåííûõ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö äåéñòâèòåëüíîñòè òîò æå ìåòîä âðàùåíèé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå îáùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà î äèàãîíàëèçàöèè âåùåñòâåííûõ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Âåùåñòâåí-íàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà n ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîéìàòðèöå Λ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû P :Λ = P > AP.Äîêàçàòåëüñòâî.
Íà÷èíàÿ ñ A0 = A, ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak = [a(k)ij ],k = 0, 1, . . . , â êîòîðîé Ak ïîëó÷àåòñÿ èç Ak−1 ïóòåì óìíîæåíèÿ ñëåâà è ñïðàâà íàìàòðèöû âðàùåíèÿ:Ak = Rk> Ak−1 Rk ,(∗)ãäå Rk îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé ìàòðèöû I ëèøü ÷åòûðüìÿ ýëåìåíòàìè 2 × 2ïîäìàòðèöû, ðàïîëîæåííîé íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè i < j èðàâíîécos φ − sin φ.sin φcos φÌàòðèöà Rk îñóùåñòâëÿåò ïîâîðîò íà óãîë φ â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, îïðåäåëÿåìîéíîìåðàìè i 6= j . Ëþáàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ òàêîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, îðòîãîíàëüíîé.ßñíî, ÷òî ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèöû A0 = A íàñëåäóåòñÿ âñåìè ìàòðèöàìè Ak .
Èçïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ìû óæå çíàåì, ÷òî φ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî(k)(k)aij = aji = 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç dk è hk ñóììû êâàäðàòîâ äèàãîíàëüíûõ è âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak . Òîãäà2 222 2 2 (k)(k)(k−1)(k−1)(k−1)(k−1)aii+ ajj= aii+ ajj+ 2 aij⇒ dk − dk−1 = 2 aij.Äëÿ êàæäîãî k áóäåì âûáèðàòü ïëîñêîñòü âðàùåíèÿ (íîìåðà i < j ) òàêìè îáðàçîì,(k−1)÷òîáû èñêëþ÷àåìûé ýëåìåíò aijáûë ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ ñðåäè âñåõ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak−1 .
Îáùåå ÷èñëî âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ðàâíîn2 − n. Ïîýòîìó2hk−1(k−1).aij≥ 2n −nÎòñþäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî dk + hk = dk−1 + hk−1 , ïîëó÷àåìk22hk ≤ hk−1 − 2hk−1 ≤ 1 − 2h0 → 0 ïðè k → ∞.n −nn −nÈç ñîîòíîøåíèé (∗) âûòåêàåò, ÷òîAk = Pk> APk ,k = 1, 2, . . . ,136Ëåêöèÿ 20(k)ãäå äëÿ âñåõ k ìàòðèöû Pk = [pij ] ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè (êàê ïðîèçâåäåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö).(k)(k)Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ i, j ïîñëåäîâàòåëüíîñòè aij , pij ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè.
Ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(k )(k )íîìåðîâ k1 < k2 < . . . òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé aij l , pij l áóäåò(k )ñõîäÿùåéñÿ. Çàìåòèì, ÷òî aij l → 0 ïðè i 6= j . Ïóñòü(k )lim aii l = λi ,l→∞Ââåäåì ìàòðèöû(k )lim pij l = pij ,i = 1, . . . , n,λ1Λ=l→∞i, j = 1, . . . , n....,P = [pij ].λnÄëÿ âñåõ l = 1, 2, . . . èìååì Akl = Pk>l APkl . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ïîýëåìåíòíûõðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìΛ = P > AP.Èç óñëîâèé îðòîãîíàëüíîñòè Pk>l Pkl = I âûòåêàåò, ÷òî â ïðåäåëå P > P = I .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
