Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Çíà÷èò,ìàòðèöà P ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. 2Ìû òîëüêî ÷òî ïîëó÷èëè îäèí èç âàæíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ êàê äëÿ ñàìîé òåîðèèìàòðèö, òàê è äëÿ åå ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèëîæåíèé.  íàøåì êóðñå ìû åùå âåðíåìñÿ êåãî îáñóæäåíèþ â ñâÿçè ñ ðÿäîì ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ëèíåéíîé àëãåáðû. Íàøåäîêàçàòåëüñòâî çàìå÷àòåëüíî ñâîåé êîíñòðóêòèâíîñòüþ: îíî äàåò îäíîâðåìåííî è ìåòîäïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö Λ è P . Ýòî îäèí èç ðàííèõ ïðàêòè÷åñêèõ ìåòîäîââû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðû, ïðåäëîæåííûé Ê.
ßêîáè â 1846 ãîäó. 1Çàäà÷à.A ∈ Rn×n ñ íåíóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè.n×n>ìàòðèöû Q ∈ Ròàêîé, ÷òî â ìàòðèöå Q AQ âñå ýëåìåíòûÄàíà ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàÄîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå îðòîãîíàëüíîéãëàâíîé äèàãîíàëè îäèíàêîâû.1 Ïîñëåäíèå ðåçóëüòàòû ïî èçó÷åíèþ ìåòîäà âðàùåíèé ïðèíàäëåæàò ñîâñåì íåäàâíåìó ïðîøëîìó:â 1990-õ ãîäàõ áûëè îáíàðóæåíû åãî îñîáûå âîçìîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ âûñîêîòî÷íûì âû÷èñëåíèåììàëûõ ïî ìîäóëþ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûΛ.Ëåêöèÿ 2121.1Ïðèâåäåííûå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàÏðè èçó÷åíèè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ëþáàÿ èç íèõ â êàêîé-ëèáîäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïèñûâàåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ (êàê èíîãäà ãîâîðÿò,ïðèâåäåííûõ) óðàâíåíèé(1) λ1 x2 + λ2 y 2 + c = 0,(2) λ2 y 2 + 2bx = 0,(3) λ2 y 2 + c = 0,â êîòîðûõ âñå êîýôôèöèåíòû íåíóëåâûå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, c.
 ñëó÷àåïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñõîäíîé òî÷êîé äëÿ âûâîäà ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçíèêàþùåå â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå óðàâíåíèå âèäàλ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + a = 0.Åñëè λ1 , λ2 , λ3 6= 0, òî ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò (ñäâèãà) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå âèäàλ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + c = 0.Ïóñòü λ3 6= 0.
Òîãäà â ëèíåéíîé ÷àñòè ñ ïîìîùüþ ñäâèãà ìîæíî óáðàòü ÷ëåíû,ñîäåðæàùèå x è y .  ðåçóëüòàòå ïîÿâèòñÿ óðàâíåíèå âèäà λ1 x2 + λ2 y 2 + 2bz + c = 0. Åñëèb 6= 0, òî ñäâèã ïîçâîëÿåò ïåðåéòè áîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ λ1 x2 + λ2 y 2 + 2bz = 0. Åñëèæå b = 0, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäà λ1 x2 + λ2 y 2 + c = 0.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ2 = λ3 = 0. Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ÷ëåíà ñ x â ëèíåéíîé÷àñòè (ïóòåì ñäâèãà) ïîëó÷èì óðàâíåíèå λ1 x2 + 2b2 y + 2b3 z + c = 0.
Äàëåå, ñ ïîìîùüþïîâîðîòà â ïëîñêîñòè êîîðäèíàò y è z â ëèíåéíîé ÷àñòè ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò ÷ëåíà,ñîäåðæàùåãî z : cos φ − sin φb2 b3= b 0 .sin φ cos φ ñàìîì äåëå, âûáåðåì φ òàê, ÷òîáû −b2 sin φ + b3 cos φ = 0. Òàêèì îáðàçîì,èìååòñÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé çàäàííàÿ ïîâåðõíîñòü îïèñûâàåòñÿóðàâíåíèåì λ1 x2 + 2by + c = 0. Åñëè b 6= 0, òî ñ ïîìîùüþ ñäâèãà ëåãêî ïåðåéòè êóðàâíåíèþ λ1 x2 + 2by = 0.
Åñëè b = 0, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå λ1 x2 + c = 0.  èòîãåäîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿ ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå îäíîãî èç ïÿòè òèïîâ:(1) λ1 x2 +λ2 y 2 +λ3 z 2 +c = 0,(4)(2) λ1 x2 +λ2 y 2 +2bz = 0,λ1 x2 + 2by = 0,(5)(3) λ1 x2 +λ2 y 2 +c = 0,λ1 x2 + c = 0.Âñå êîýôôèöèåíòû íåíóëåâûå, êðîìå, âîçìîæíî, ñâîáîäíîãî ÷ëåíà c.13713821.2Ëåêöèÿ 21ÝëëèïñîèäÏóñòü â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) êîýôôèöèåíòû λ1 , λ2 , λ3 èìåþò îäèíàêîâûéçíàê, ïðîòèâîïîëîæíûé çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà c.
Òîãäà óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäóy2z2x2++= 1,a2b2c2a, b, c > 0.Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó óðàâíåíèþ, íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîèäîìñ ïîëóîñÿìè a, b, c.Çàìåòèì, ÷òî ýëëèïñîèä öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ïàðàëëåëåïèïåäå|x| ≤ a,|y| ≤ b,|z| ≤ c.ßñíî, ÷òî â ñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ïëîñêîñòüþ ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî äëÿ ýëëèïñîèäà â ëþáîì ñå÷åíèèïëîñêîñòüþ âîçíèêàåò ýëëèïñ (âûðîæäàþùèéñÿ â òî÷êó, êîãäà ïëîñêîñòü êàñàåòñÿ ýëëèïñîèäà).Çàäà÷à.22z /c = 1êîñòüþ).è èìåþùåé ñ íèì ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿÇàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ãåîìåòðè÷åñîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñàòåëü-íûõ ïëîñêîñòåé ê ýëëèïñîèäó21.3x2 /a2 +y 2 /b2 +êàñàòåëüíîé ïëîñ-Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ýëëèïñîèäàx2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1åñòü ñôåðàx2 + y 2 + z 2 = a2 + b2 + c2 .Îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèäÏóñòü ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå èìååò òèï (1) ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ ðàâåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ. Òîãäà â íåêîòîðîéäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäà:x2y2z2+−= 1,a2b2c2a, b, c > 0.Ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê (x, y, z) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì. ëþáîì ñå÷åíèè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòüþ x + D = 0 èëè y + D = 0âîçíèêàåò ãèïåðáîëà.Ïî îòíîøåíèþ ê îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâàðàçáèâàåòñÿ íà òðè ÷àñòè:x2a2x2a2x2a2+++y2b2y2b2y2b2−−−z2c2z2c2z2c2= 1< 1> 1(òî÷êè ïîâåðõíîñòè),(âíóòðåííèå òî÷êè),(âíåøíèå òî÷êè).Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì: âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè îíîöåëèêîì ñîäåðæèò âñå òî÷êè íåêîòîðîé ñîåäèíÿþùåé èõ ëîìàíîé (ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ) ëèíèè.
Îòñþäà è íàçâàíèå îäíîïîëîñòíûé.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21.4139Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòüÈíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ëèíåé÷àòîéïîâåðõíîñòè. Òàê íàçûâàþòñÿ ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùèå èç âñåõ òî÷åê íåêîòîðîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïðÿìûõ.Óòâåðæäåíèå. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà S ïðîõîäÿò â òî÷íîñòè äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå, âñå òî÷êè êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò S .Äîêàçàòåëüñòâî.
Èçìåíèâ ìàñøòàá, ïåðåéäåì ê àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè S áóäåò èìåòü âèä x2 + y 2 − z 2 = 1. Ïóñòü ïðÿìàÿ lîïèñûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìèx = x0 + p1 t,y = y0 + p2 t,z = z0 + p3 t,à íàïðàâëÿþùèé âåêòîð (p1 , p2 , p3 ) âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû âñå åå òî÷êè ïðèíàäëåæàëèïîâåðõíîñòè S : 2 p1 + p22 − p23 = 0,222p1 x0 + p2 y0 − p3 z0 = 0,(x0 +p1 t) +(y0 +p2 t) −(z0 +p3 t) = 1 ∀ t ∈ R ⇔ 2x0 + y02 − z02 = 1.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî p3 6= 0. Ïîýòîìó íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ìîæíî íîðìèðîâàòü, âçÿâp3 = 1.
Òîãäà p21 + p22 = 1, p1 x0 + p2 y0 = z0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y0 6= 0 ⇒p2 = (z0 − p1 x0 )/y0 ⇒ p21 + (z0 − p1 x0 )2 /y02 = 1. Òàêèì îáðàçîì,(x20 + y02 )p21 − 2(x0 z0 )p1 + (z02 − y02 ) = 0.Âû÷èñëÿåì äèñêðèìèíàíò: D = x20 z02 −(x20 +y02 )(z02 −y02 ) = y02 (x20 +y02 −z02 ) = y02 . Ïîñêîëüêóy0 6= 0, äëÿ p1 ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó p3 = 1, ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû, î÷åâèäíî, íåêîëëèíåàðíû. Îíè äàþò äâå ðàçëè÷íûåïðÿìûå, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèå S è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 , z0 ).
Ñëó÷àé x0 6= 0ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 2Çàìå÷àíèå.Äëÿ ïîèñêà òåõ æå ñàìûõ ïðÿìûõ íà ïîâåðõíîñòèxa−z xca+zc= 1−ybS1+ìîæíî çàïèñàòü åå óðàâíåíèå â âèäåybè ðàññìîòðåòü äâà ñåìåéñòâà ïàð ïëîñêîñòåéxz=β 1−acx z γ−=δ 1+acα−y,by,bîïðåäåëÿåìûõ ïàðàìè íå ðàâíûõ îäíîâðåìåííîzy=α 1+,acbx z yδ+=γ 1−,acbíóëþ ïàðàìåòðîâ α, β è γ, δ .βx+Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîäëÿ êàæäîé ïàðû ïëîñêîñòåé â ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ ïðÿìàÿ, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ21.5S.Äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèäÏóñòü â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà è çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ.
Òîãäàîíî ïðèâîäèòñÿ ê âèäóx2y2z2+−= −1,a2b2c2a, b, c > 0.140Ëåêöèÿ 21Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííîìó óðàâíåíèþ, íàçûâàåòñÿ äâóïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì.Ëåãêî âèäåòü,÷òî äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä íå èìååò òî÷åê â ïîëîñå |z| < c. Ìíî222æåñòâî åãî âíóòðåííèõ òî÷åê, îïðåäåëÿåìîå íåðàâåíñòâîì xa2 + yb2 − zc2 < −1, ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ñâÿçíûõ ìíîæåñòâà. Îòñþäà è íàçâàíèå äâóïîëîñòíûé.21.6Ýëëèïòè÷åñêèé êîíóñÅñëè â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõïðîòèâîïîëîæåí çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ, à ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâåí íóëþ, òîóðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåx2y2z2+−= 0.a2b2c2Ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê (x, y, z) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì êîíóñîì.Çàäà÷à.Äàíà ïëîñêîñòüAx+By +Cz +D = 0 ïðè óñëîâèè D 6= 0 è êðóãîâîé êîíóñ x2 +y 2 −z 2 = 0.Äîêàæèòå, ÷òî â ñå÷åíèè êîíóñà äàííîé ïëîñêîñòüþ ïîëó÷àåòñÿ ýëëèïñ, ãèïåðáîëà, ïàðàáîëà â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà, ñîîòâåòñòâåííî,21.7A2 + B 2 < C 2 , A2 + B 2 > C 2 , A2 + B 2 = C 2 .Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèäÒåïåðü ðàññìîòðèì ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå òèïà (2).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ1 è λ2 èìåþòîäèíàêîâûå çíàêè. Òîãäà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå äàííàÿ ïîâåðõíîñòü îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìx2 y 2+ 2 = z,a, b > 0.a2bÌíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì.Íàçâàíèå íàâåÿíî ðàññìîòðåíèåì ñå÷åíèé â ïëîñêîñòÿõ z + D = 0 (ýëëèïñû) è âïëîñêîñòÿõ x + D = 0 èëè y + D = 0 (ïàðàáîëû).21.8Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèäÅñëè â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (2) êîýôôèöèåíòû ïðè êâàäðàòàõ èìåþò ðàçíûåçíàêè, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèåx2 y 2− 2 = z,a2ba, b > 0,êîòîðîå îïðåäåëÿåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä.Íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ âèäîì êðèâûõ, ïîëó÷àåìûõ â ñå÷åíèÿõ ïëîñêîñòÿìè z +D = 0(ãèïåðáîëû) è ïëîñêîñòÿìè x + D = 0 èëè y + D = 0 (ïàðàáîëû).Ýòî åùå îäèí ïðèìåð ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè: êàæäàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà ïðèíàäëåæèò äâóì ðàçëè÷íûì ïðÿìûì, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèì äàííîéïîâåðõíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
