Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Âåêòîð z0 ∈ L íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì íàèëó÷øåãîïðèáëèæåíèÿ äëÿ x íà L, åñëè γ = ||x − z0 ||.Ëåììà î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü L êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâîÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ153â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå V . Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ V ñóùåñòâóåò âåêòîð z0 ∈ Lòàêîé, ÷òî ||x − z0 || ≤ ||x − z|| ∀ z ∈ L.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ε > 0 è ðàññìîòðèì ëþáîé âåêòîð z òàêîé, ÷òî ||x − z|| ≤γ + ε.
Îòñþäà ||z|| ≤ R ≡ γ + ε + ||x||. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òîγ =infz∈L, ||z||≤R||x − z||.Ôóíêöèÿ f (z) = ||x − z|| íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîì øàðå ||z|| ≤ R êîíå÷íîìåðíîãîïðîñòðàíñòâà L. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, γ = ||x − z0 || äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ L. 2Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ýëåìåíòà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ î÷åâèäíî òàêæåäëÿ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ L.Èç ëåììû î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí pn (x) ñòåïåíè íå âûøå nòàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà gn (x) ñòåïåíè íå âûøå n èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî||f (x) − pn (x)||C[a,b] ≤ ||f (x) − gn (x)||C[a,b] .Ìíîãî÷ëåíû òàêîãî òèïà íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ f (x) è âïåðâûå áûëè èçó÷åíû Ï.
Ë. ×åáûøåâûì (êñòàòè, â ñâÿçè ñ ïðàêòè÷åñêîé çàäà÷åé ìåõàíèêè). 1Çàäà÷à.ñòåïåíènnTn (x) = cos(n arccos x) ïðè −1 ≤ x ≤ 1 ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîìn−1ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 2. Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà pn (x) ñòåïåíèÄîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿñ òåì æå ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî1 ÷àñòíîñòè, ìíîãî÷ëåí pn−1 (x) äëÿ ôóíêöèè21−n cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1.2 Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû||Tn (x)||C[−1,1] ≤ ||pn (x)||C[−1,1] .f (x) = xn ∈ C[−1, 1]èìååò âèä2pn−1 (x) = xn −Tn (x) íàèìåíåå óêëîíÿþòñÿ îò íóëÿ (ñðåäè âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ òîé æåTn (x) íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ×åáûøåâà.ñòåïåíè è ñ òåì æå ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì).
Ìíîãî÷ëåíû154Ëåêöèÿ 23Ëåêöèÿ 2424.1Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîÏóñòü V âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì êàæäîé óïîðÿäî÷åííîéïàðå âåêòîðîâ x, y ∈ V ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííîå ÷èñëî (x, y) òàêèì îáðàçîì, ÷òî:(1) (x, x) ≥ 0 ∀ x ∈ V ; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;(2) (x, y) = (y, x) ∀ x, y ∈ V ;(3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀ x, y, z ∈ V ;(4) (αx, y) = α(x, y) ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ V .×èñëî (x, y) íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ x è y . Âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì. Rn ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x = [x1 , . . . , xn ]> , y = [y1 , .
. . , yn ]> ÷àñòîââîäèòñÿ êàê ñóììà ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé êîîðäèíàò:(x, y) =nXxi yi = y > x.(∗)i=1Îíî íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà Rn . Íî íà Rn ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå ìîæíî ââåñòè è ìíîãèìè äðóãèìè ñïîñîáàìè: íàïðèìåð, åñëè ôèêñèðîâàòü÷èñëà λ1 , . . . , λn > 0, òî âûðàæåíèå"λ#n1X..(x, y) =λi x i y i = y >x.λni=1îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)(4) è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.24.2Óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî Cn âûðàæåíèå (∗), î÷åâèäíî, óæå íå ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì: ïóñòü n = 2è x = [1, i]> , òîãäà (x, x) = 12 + i2 = 0. Âîîáùå â íåíóëåâîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâåàêñèîìû (1), (4) íå ñîâìåñòèìû ñ àêñèîìîé (2): (ix, ix) = −(x, x) ⇒ åñëè (x, x) > 0,òî (ix, ix) < 0.Ïóñòü V êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
Òåïåðü ïðè îïðåäåëåíèè ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ (x, y) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî (x, y) â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîå, àíàáîð àêñèîì ìîäèôèöèðóåòñÿ òàêèì îáðàçîì:155156Ëåêöèÿ 24(10 ) (x, x) ≥ 0 ∀ x ∈ V ; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;(20 ) (x, y) = (y, x) ∀ x, y ∈ V(÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå);(30 ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀ x, y, z ∈ V ;(40 ) (αx, y) = α(x, y) ∀ α ∈ C, ∀ x ∈ V .Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì.Àêñèîìû åâêëèäîâà è óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâ îòëè÷àþòñÿ ëèøü êîìïëåêíûì ñîïðÿæåíèåì âî âòîðîé àêñèîìå è, êîíå÷íî, òåì, ÷òî â âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå âñå÷èñëà è ñàìî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåùåñòâåííû. Çàìåòèì, ÷òî òî â ëþáîì ñëó÷àåñêàëÿðíûé êâàäðàò (x, x) îáÿçàí áûòü íåîòðèöàòåëüíûì âåùåñòâåííûì ÷èñëîì. îòëè÷èå îò (∗), â Cn åñòåñòâåííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x =[x1 , .
. . , xn ]> , y = [y1 , . . . , yn ]> ââîäèòñÿ òàê:(x, y) =nXxi yi = y ∗ x.i=124.3Áèëèíåéíûå è ïîëóòîðàëèíåéíûå ôîðìû àêñèîìàõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîéñòâà (3), (4) îòðàæàþò ëèíåéíîñòü ôóíêöèè(x, y) îò âåêòîðîâ x è y ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå àêñèîìà (2)äàåò íàì ëèíåéíîñòü è ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.Ôóíêöèÿ f (x, y) íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé, åñëè îíà ëèíåéíà ïî êàæäîìó èçàðãóìåíòîâ:(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z),(z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y) ∀ x, y, z ∈ V, ∀ α, β.Òàêèì îáðàçîì, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (1) è (2).Ôóíêöèÿ f (x, y) íàçûâàåòñÿ ïîëóòîðàëèíåéíîé ôîðìîé, åñëè(αx+βy, z) = α(x, z)+β(y, z),(z, αx+βy) = α(z, x)+β(z, y) ∀ x, y, z ∈ V, ∀ α, β ∈ C.Î÷åâèäíî, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ïîëóòîðàëèíåéíîé ôîðìîé ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (10 ) è (20 ).24.4Äëèíà âåêòîðàÏóñòü V ïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.
Âåëè÷èíàp|x| = (x, x)íàçûâàåòñÿ äëèíîé âåêòîðà x ∈ V .Íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ V|(x, y)| ≤ |x| |y|,(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ157ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà x è y ëèíåéíîçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, y) çàïèøåì â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå(x, y) = |(x, y)| ξ,ξ = cos φ + i sin φ.Åñëè y = 0, òî â (∗) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî. Ïóñòü y 6= 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t ∈ Rðàññìîòðèì âûðàæåíèå(x + tξy, x + tξy) = (x, x) + tξ(x, y) + tξ(x, y) + ξξ(y, y) = t2 |y|2 + 2t|(x, y)| + |x|2 ≥ 0.Íåîòðèöàòåëüíîñòü êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà îò ïåðåìåííîé t îçíà÷àåò íåïîëîæèòåëüíîñòü åãî äèñêðèìèíàíòà:D = |(x, y)|2 − |x|2 |y|2 ≤ 0 ⇒ |(x, y)| ≤ |x| |y|.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè y 6= 0 â (∗) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîíåêîòîðîãî âåùåñòâåííîãî t ïîëó÷àåì⇒⇒D =0äëÿ(x + tξy, x + tξy) = 0 ⇒ x + tξy = 0.Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî åñëè y = 0 èëè x = αy , òî (∗) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.
2Ñëåäñòâèå. Äëèíà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé íîðìîé íà V .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûå äâà ñâîéñòâà íîðìû î÷åâèäíû, à íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêàâûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà:|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + (x, y) + (y, x) ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x| |y| = (|x| + |y|)2 .2Ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, ïîëíîå îòíîñèòåëüíî íîðìû || · || = | · |,îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Çàäà÷à.xèïðèy ëèíåéíîp 6= 2?Çàäà÷à.Äëÿ äâóõ âåêòîðîâx, y ∈ Rnçàâèñèìû. Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå ðàâåíñòâàÄëÿ ìàòðèöA, B ∈ Rn×n||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Äîêàæèòå, ÷òî||x + y||p = ||x||p + ||y||p äëÿ íîðìû Ãåëüäåðàâûïîëíåíî ðàâåíñòâîêâàäðàò ñóììû äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûïðîèçâåäåíèþ ñóìì äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö>A Aè>B B.Äîêàæèòå, ÷òîAèBA> Bðàâåíîòëè÷àþòñÿëèøü ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì.Çàäà÷à.ÏóñòüV ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûõ íåïðåðûâíûõ íàêàæèòå, ÷òî âûðàæåíèåïîëíûì.24.5(f, g) =R1f (t)g(t)dt[0, 1]åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è ïðè ýòîìôóíêöèé.
Äî-Víå ÿâëÿåòñÿ0Òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììàÈòàê, ëþáîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì îáëàäàåò ñïåöèàëüíîé íîðìîé,ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Çàäàäèì âîïðîñ: êàêèå íîðìû íà V ìîãóòïîðîæäàòüñÿ êàêèì-íèáóäü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì?Îòâåò ñâÿçàí ñî ñëåäóþùèì òîæäåñòâîì ïàðàëëåëîãðàììà:||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) ∀ x, y ∈ V.158Ëåêöèÿ 24Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëèíà âåêòîðà ||x|| = |x| (òî åñòü, íîðìà, ïîðîæäåííàÿ ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì) óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó òîæäåñòâó. Íî âåðíî è îáðàòíîå.Òåîðåìà. Íîðìà ||·|| ïîðîæäàåòñÿ êàêèì-òî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàëëîãðàììà.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü V ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Çàïèøåì(x, y) = a + ib, ãäå a, b ∈ R. Òîãäà åñëè ||x|| = |x|, òî||x + y||2 = (x, x) + (x, y) + (y, z) + (y, y) = ||x||2 + ||y||2 + 2a,||x + iy||2 = (x, x) + i(y, x) − i(x, y) + (y, y) = ||x||2 + ||iy||2 + 2b.Îòñþäà a = f (x, y) è b = g(x, y), ãäå1f (x, y) = (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 ),21g(x, y) = (||x + iy||2 − ||x||2 − ||iy||2 ).2Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè íîðìà ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, òî ïîñëåäíåå îáÿçàíî èìåòü âèä(x, y) = f (x, y) + ig(x, y).(∗)Ðàññìîòðèì (∗) êàê îïðåäåëåíèå ôóíêöèè (x, y) è äîêàæåì, ÷òî îíà îáëàäàåò âñåìèñâîéñòâàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî (x, x) = ||x||2 .
Ïîýòîìó ïåðâàÿ àêñèîìà î÷åâèäíà. Òàê æå ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî (x, y) = (y, x): ðàâåíñòâî f (x, y) = f (y, x) î÷åâèäíî, à ðàâåíñòâîg(x, y) = −g(y, x) ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íîðìà óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó ïàðàëëåëîãðàììà è äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ (x, y) ëèíåéíà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó (òðåòüÿ è ÷åòâåðòàÿ àêñèîìû).Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ôóíêöèè f (x, y) (ëèíåéíîñòü g(x, y) ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó áóäåò î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì).Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z). Èç îïðåäåëåíèÿ f è òîæäåñòâàïàðàëëåëîãðàììà âèäíî, ÷òî1f (x, z) = (||x + z||2 − ||x − z||2 ),41f (y, z) = (||y + z||2 − ||y − z||2 ).4Çàïèøåì x + z = u + v, y + z = u − v ⇒ u = 21 (x + y + 2z), v = 12 (x − y).
 ñèëóòîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ âåêòîðîâ u è v ,||x + z||2 + ||y + z||2 =11(||(x + y + z) + z||2 + ||x − y||2 .22||x − z||2 + ||y − z||2 =11(||(x + y − z) − z||2 + ||x − y||2 .22Àíàëîãè÷íî,Ïî òîìó æå òîæäåñòâó ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ x + y + z è z ,11(||(x + y + z) + z||2 = ||x + y + z||2 + ||z||2 − ||x + y||2 ,2211(||(x + y − z) − z||2 = ||x + y − z||2 + ||z||2 − ||x + y||2 .22Å. Å. Òûðòûøíèêîâ159Îòñþäà1f (x, z) + f (y, z) = (||x + y + z||2 − ||x + y − z||2 ) = f (x + y, z).4Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî f (αx, y) = α f (x, y) äëÿ ëþáîãî α ∈ R. Ïóñòü α =íàëüíîå ÷èñëî.
Òîãäà, ïîëüçóÿñü óæå äîêàçàííûì ñâîéñòâîì, íàõîäèì1n f(nx, y) = f (n ( n1 x), y) = f (x, y) ⇒ f ( n1 x, y) =f ( mn x, y) = f (m( n1 x, y) = m f ( n1 x, y) =mn1nmn ðàöèî-f (x, y) ⇒f (x, y).Ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå α ïðåäñòàâèì êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàöèîíàëüíûõ αk → α. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà ïî x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
