Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèøü òî, ÷òî z0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûéýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà L äëÿ âåêòîðà x. Ïóñòü z ïðîèçâîëüíûé âåêòîðèç L. Òîãäà x − z = (x − z0 ) + (z0 − z), ãäå x − z0 ⊥ L è z0 − z ∈ L. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òîx − z0 è z0 − z ñóòü ïåðïåíäèêóëÿð è îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà L äëÿ âåêòîðà x − z .Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà,|x − z|2 = |x − z0 |2 + |z0 − z|2⇒ |x − z0 | < |x − z| ∀ z 6= z0 .2Ñëåäñòâèå. Åñëè L êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òî L = (L⊥ )⊥ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì, ÷òî L ⊂ (L⊥ )⊥ . Âîçüìåì x ∈ (L⊥ )⊥ è îïóñòèì èçíåãî ïåðïåíäèêóëÿð h íà L.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ, h ∈ L⊥ . òî æå âðåìÿ, h ⊥ L⊥ ⇒ (h, h) = 0 ⇒ h = 0. Çíà÷èò, x ∈ L ⇒ (L⊥ )⊥ ⊂ L. 2Çàäà÷à.ÏóñòüLèM ïîäïðîñòðàíñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâåäåíèåì. Ðàâíîñèëüíû ëè ðàâåíñòâàÇàäà÷à.i 6= j .Ân-ìåðíîìL ∩ M = {0}èL∩M⊥åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðûÄîêàæèòå, ÷òî ëþáûåÇàäà÷à.⊥nVñî ñêàëÿðíûì ïðîèç-= {0}?a1 , . . . , an+1òàêîâû, ÷òî(ai , aj ) < 0ïðèèç íèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàæèòå, ÷òî ân-ìåðíîìåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ëþáàÿ ñèñòåìà èçn+2âåêòîðîâñîäåðæèò ïàðó âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî.Çàäà÷à.nÏóñòüPn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøåR1(f, g) =f (t)g(t)dt.√−1 n2/2 .ïðåâîñõîäèòñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìïîäïðîñòðàíñòâà25.4Pn−1íåÄîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíàxnäîÎðòîãîíàëüíûå ñèñòåìûÑèñòåìà íåíóëåâûõ âåêòîðîâ x1 , .
. . , xn íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè(xi , xj ) = 0,i 6= j,(∗)è îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè, äîïîëíèòåëüíî, |x1 | = . . . = |xn | = 1. Òàêèì îáðàçîì,ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé ñ ïîëîæèòåëüíûìèäèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè, à äëÿ îðòîíîðìèðîâàííîé åäèíè÷íîé ìàòðèöåé.166Ëåêöèÿ 25Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Cn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó âåêòîð-ñòîëáöîâ x11x1nx 1 = .
. . , . . . , x n = . . . ∈ Cn .xn1xnnÑîñòàâèì èç íèõ n × n-ìàòðèöóX = [x1 , . . . , xn ] =x11...xn1.........x1n...xnnè çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (∗) ðàâíîñèëüíû ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó(x1 , x1 ) . . . (xn , x1 )∗.........X X == I.(x1 , xn )...(xn , xn )Ìàòðèöà X ∈ Cn×n ñî ñâîéñòâîì X ∗ X = I íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé.
Òàêèì îáðàçîì,ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé ñòîëáöîâ ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé, à ëþáàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà èìååò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâ. ßñíîòàêæå, ÷òî äëÿ óíèòàðíîñòè ìàòðèöû íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà èìåëà îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñòðîê (äîêàæèòå!).Âåùåñòâåííàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. Ðàíåå ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.
Òî æå ñïðàâåäëèâî è ïî îòíîøåíèþ ê ìíîæåñòâóâñåõ óíèòàðíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n.25.5Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèèÈç òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðå ñðàçó æå âûòåêàåò, ÷òî â ëþáîì êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. ñàìîì äåëå, âîçüìåì â V ïðîèçâîëüíûé áàçèñ v1 , . . . , vn è ïðåäïîëîæèì, ÷òî âëèíåéíîé îáîëî÷êå Ln−1 = L(v1 , . . . , vn−1 ) óæå ïîñòðîåí îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èçâåêòîðîâ q1 , . . . , qn−1 (êîíå÷íî, Ln−1 = L(q1 , . . . , qn−1 )).
Ïóñòü hn ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåêòîðà vn íà Ln−1 . ßñíî, ÷òî hn 6= 0 (èíà÷å vn ∈ Ln−1 ⇒ ñèñòåìà v1 , . . . , vnëèíåéíî çàâèñèìà). Ïîëîæèì qn = hn /|hn |. Òîãäà ñèñòåìà q1 , . . . , qn è áóäåò èñêîìûìîðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîâ â V .Çàìåòèì, ÷òî â ïîñòðîåííîì áàçèñå äëÿ ëþáîãî k = 1, . . . , n ïåðâûå k âåêòîðîâq1 , . . .
, qk îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå Lk = L(v1 , . . . , vk ).Òàêèì îáðàçîì,L(q1 , . . . , qk ) = L(v1 , . . . , vk ), k = 1, . . . , n.Ðåàëüíûå âû÷èñëåíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ ïîëó÷åíèÿ âåêòîðà q1 = v1 /|v1 |. Çàòåì èç âåêòîðà v2 îïóñêàåòñÿ íà L1 ïåðïåíäèêóëÿð h2 è íîðìèðóåòñÿ: q2 = h2 /|h2 |. È òàê äàëåå.Îïóñêàÿ ïåðïåíäèêóëÿð íà Lk , ðàçóìíî èñêàòü ðàçëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèèíå ïî èñõîäíîé ñèñòåìå v1 , . . .
, vk , à ïî óæå ïîñòðîåííîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìåq1 , . . . , qk . Âûãîäà î÷åâèäíà: ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ q1 , . . . , qk ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé!Äàííûé àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà. Âîò åãîôîðìàëüíîå îïèñàíèå:hk = vk −k−1Xi=1(vk , qi ) qi ,qk = hk /|hk |,k = 1, . . . , n.Å. Å. ÒûðòûøíèêîâÇàäà÷à.167 ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íî òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâf (x)èg(x)(f, g)îïðåäåëåíîâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî3(xf (x), g(x)) = (f (x), xg(x)),èïóñòüïðè1, x, x2 , ..., xnïðèìåíåíèèïîëó÷åíûïðîöåññàìíîãî÷ëåíûîðòîãîíàëèçàöèèÃðàìàØìèäòàL0 (x), L1 (x), ..., Ln (x).Äîêàæèòå,êñèñòåìå÷òîèìåþòìíîãî÷ëåíîâìåñòîòðåõ-÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿLk (x) = ak xLk−1 (x) + bk Lk−1 (x) + ck Lk−2 (x),25.62 ≤ k ≤ n,ak , bk , ck ∈ R.Äîïîëíåíèå äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñàÏóñòü V ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.Ëåììà î äîïîëíåíèè äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà. Ëþáàÿ îðòîãîíàëüíàÿ (îðòî-íîðìèðîâàííàÿ) ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , .
. . , vk ∈ V ìîæåò áûòü äîñòðîåíà êàêèìè-òîâåêòîðàìè èç V äî îðòîãîíàëüíîãî (îðòîíîðìèðîâàííîãî) áàçèñà â V .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïîëíèì v1 , . . . , vk êàêèìè-íèáóäü âåêòîðàìè äî áàçèñà â V , à çàòåìê ïîëó÷åííîìó áàçèñó ïðèìåíèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè.2Ñëåäñòâèå. Åñëè Lk ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k , òî dim L⊥k = n − k . ÏðèýòîìV = Lk ⊕ L⊥k.Äîêàçàòåëüñòâî.
 V ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ q1 , . . . , qn òàêîé, ÷òîLk = L(q1 , . . . , qk ). Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé Lk , åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ qk+1 , . . . , qn . 225.7Áèîðòîãîíàëüíûå ñèñòåìûÏóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (· , ·). Ñèñòåìû âåêòîðîâ u1 , . . . , um è v1 , . . . , vm íàçûâàþòñÿ áèîðòîãîíàëüíûìè, åñëè(ui , vj ) =1, i = j,0, i =6 j.Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî êàæäàÿ èç ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ áèîðòîãîíàëüíîé äëÿ äðóãîé ñèñòåìû.Åñëè ûi è v̂j âåêòîðû-ñòîëáöû èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ ui è vj â êàêîì-ëèáî ôèêñèðîâàííîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, òî áèîðòîãîíàëüíîñòü ðàâíîñèëüíà ìàòðè÷íîìóðàâåíñòâóV̂ ∗ Û = I,Û = [û1 , ..., ûm ], V̂ = [v̂1 , ..., v̂m ].(∗)3 Ïðîâåðüòå, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàíî ôîðìóëîé(f, g) =R1−1f (x)g(x)dx,íàìè Ëåæàíäðà. ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷åííûå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íàçûâàþòñÿìíîãî÷ëå-168Ëåêöèÿ 25 ñëó÷àå dim L(u1 , ..., um ) = dim L(v1 , ..., vm ) = m îòñþäà ÿñíî, ÷òî V̂ = (Û −1 )∗ .Óòâåðæäåíèå 1.
 ñëó÷àå áèîðòîãîíàëüíîñòè êàæäàÿ èç ñèñòåì u1 , . . . , um èv1 , . . . , vm ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ≡ α1 u1 + . . . + αm um = 0. Èñïîëüçóÿ áèîðòîãîíàëüíîñòü,íàõîäèì (z, vi ) = αi = 0. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü L, M ⊂ V ïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè m òàêèå, ÷òîL⊥ ∩ M = {0}. Òîãäà äëÿ ëþáîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû u1 , . . . , um ∈ L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ áèîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà v1 , . . .
, vm ∈ M .Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì êàêîé-ëèáî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâåL+M . Òîãäà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ìàòðèöû V̂ èç óðàâíåíèÿ (∗). Ïóñòü ìàòðèöà Q̂ èìååò ñòîëáöû, ñîñòàâëåííûå èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèé âåêòîðîâ êàêîãî-ëèáîáàçèñà â M ïî äàííîìó ôèêñèðîâàííîìó áàçèñó â L + M . Òîãäà V̂ = Q̂Z äëÿ íåêîòîðîéìàòðèöû Z ïîðÿäêà m, êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþZ ∗ Q̂∗ Û = I.Ñòîëáöû êâàäðàòíîé ìàòðèöû Q̂∗ Û ëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ñàìîì äåëå, åñëè Q̂∗ Û x = 0,òî Û x ∈ L⊥ ∩ M ⇒ Û x = 0.
 ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû Û ,x = 0. Ïîýòîìó ìàòðèöà Q̂∗ Û íåâûðîæäåííàÿ ⇒ Z ∗ = (Q̂∗ Û )−1 . 225.8QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöûÏóñòü A ∈ Cn×m èìååò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû a1 , . . . , am ∈ Cn è ê íèì ïðèìåíÿåòñÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà ñ èñïîëüçîâàíèåì åñòåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.. Ïóñòü â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûå âåêòîðûq1 , . . . , q m ∈ C m .Ñîîòíîøåíèÿ ak ∈ L(q1 , . .
. , qk ) âûïîëíÿþòñÿ ïðè k = 1, . . . , m è îçíà÷àþò, ÷òî äëÿêàêèõ-òî ÷èñåë rik èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâàak =kXrik qi ,k = 1, . . . , m,i=1èëè, â ìàòðè÷íîì âèäå,A = QR,Q = [q1 , . . . , qm ],r11 r12 . . . r1mr22 . . . r2m R=.... ... rmmÎïðåäåëåíèå. Ðàçëîæåíèå A = QR, ãäå Q èìååò îðòîíîðìèðîâàííûå ñòîëáöû, à R âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà, íàçûâàåòñÿ QR-ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A.Òàêèì îáðàçîì, ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöûñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè ñóùåñòâóåò QR-ðàçëîæåíèå.  ÷àñòíîñòè, îíîÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ169ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû.
 äåéñòâèòåëüíîñòè ñïðàâåäëèâà áîëååîáùàÿÒåîðåìà. Ëþáàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé ÷èñëî ñòðîê íå ìåíüøå ÷èñëàñòîëáöîâ, îáëàäàåò QR-ðàçëîæåíèåì ñ âåðõíåé ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöåé R.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ai1 ïåðâûé íåíóëåâîé ñòîëáåö ìàòðèöû A, ai2 ïåðâûéñòîëáåö òàêîé, ÷òî ai2 ∈/ L(ai1 ), ai3 ïåðâûé ñòîëáåö òàêîé, ÷òî ai3 ∈/ L(ai1 , ai2 ), è òàêäàëåå.  èòîãå ïîëó÷àåì â A áàçèñíóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâai1 , . . . , air ,i1 < i2 < .
. . < ir ,îáëàäàþùóþ òàêèìè ñâîéñòâàìè:aj = 0 ïðè j < i1 ;aj ∈ L(ai1 , . . . , ail ) ïðè il < j < il+1 ,l = 1, . . . , r − 1;aj ∈ L(ai1 , . . . , air ) ïðè ir < j .Íàéäåì QR-ðàçëîæåíèå[ai1 , . . . , air ] = [qi1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
