А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда получается ограничение на значение снороствй, с которыми могут передаваться физичесние воэдействин. Часы неподвижной системы координат, расположенные в разных точках, в которых одновременно произошли некоторые события, показывают момент совершения события в одно и то же время. В движущейся системе координат соответствующие часы показывают разное время в момент совершения событий, т. е.
там события не одновременны Глава 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 108 изображено время в различных точках движущейся системы координат в момент т = 0 неподвижной системы. Относительность одновременности н причинность. Из формулы (15.2) видно, что если х, ) хв, то в системе координат, движущейся в направлении положительных значений оси х (в) О), имеет место неравенство 1', ' в т',, а в системе координат, движущейся в противоположном направлении (и ( О), т,' ( т',. Таким образом, последовательность одних и тех же событий в различных системах координат различна.
Спрашивается, не может ли случиться так, что в одной системе координат причина предшествует следствию, а в другой, наоборот, следствие предшествует причине? Ясно, что такая ситуация не может быть допущена в теории, которая признает объективную роль причинно-следственной связи в мире: от перемены точки зрения на события следствие и причина не могут меняться местами. Чтобы причинно-следственная связь имела объективный характер и не зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо, чтобы никакие материальные воздейдействия, осуществляющие Физическую связь событий, происходящих в различных точках, не могли передаваться со скоростью, большей скорости света. Для доказательства рассмотрим два события в покоящейся системе координат.
Пусть событие в точке х„происшедшее в момент ~, будет причиной события в точке х, ) х„происшедшего в момент г, ) г,. Скорость передачи «влияния» от точки х, к точке х, обозначим через и,л. Очевидно, по определению скорости, имеем хв — х1 ввл «5.З) Св — Ю1 — (в/св) (хв — х1) Св — Юв ( „л с2 с1— — Ввл (15.4) где в последнем равенстве величина х, — х, исключена с помощью (15.3), Формула (15.4) показывает, что если 1 — в вал~0~ (15.5) то в движущейся системе координат следствие наступает раньше причины.
Но это невозможно. Поэтому всегда должно быть 1 — (и>вл!св) > О, или с пвл ~ в (15.6) В движущейся системе координат эти события произошли в неко- торых точках т, 'и х.', в моменты 1,' и й.,'. По формуле (14.22) можно написать 15. Относительность одновременности Так как преобразования Лоренца допускают для н значения, сколь угодно близкие к скорости света, но не превосходящие ее (тогда преобразования перестают быть вещественными), то требование (15.6) должно быть записано следующим образом: (15.7) гт = (х, — хд)т+ (у, — уд) ~+ (гт — зд)т — ст (Е, — Кд)т. (15.8) Эта величина имеет во всех системах координат одно н то же зна- чение, т. е.
является инвариантом преобразований Лоренца. Чтобы в этом убедиться, преобразуем выражение (15.8) в штрихованную систему координат по формулам (14.4). Имеем х„' — т', + е (д, '— д',) х,— х,= )/ ( 2/С2 ут — уд = у2 — у1> У зт — зд = $2 — зд, 8'. — д', + (д/сд) (х, '— х,') (~-(~= 1 г' ( — и~/сз Таким образом, передача физического влияния из одной точки в другую не меняет происходить со скоростью, большей скорости света.
При этом условии причинная связь событий носит абсолютный характер: не существует системы координат, в которой причина и следствие меняются местами. Инвариантность интервала. В $12 было охарактеризовано значение инвариантов преобразований для теории. Инвариантами преобразования Галилея являются длина тел и промежуток времени между событиями.
Именно поэтому понятия длины и промежутка времени играют такую большую роль в классической физике. Однако ни длина тел, ни промежутки времени между событиями не являются инварнантами преобразований Лоренца. Это означает, что они зависят от системы координат. В следующих параграфах этот вопрос будет более подробно рассмотрен. Здесь же лишь отметим это обстоятельство, чтобы перейтн к анализу важного инварианта преобразований Лоренца, который называется пространственно- временным интервалом или просто интервалом. Пусть события произошли в точке х„у„гд в момент (д и в точке х, у, з в момент (,. Интервалом между этими событиями, или, как говорят короче, интервалом между точками хдудгд(, и хту,г,т„называется величина з, квадрат которой определяется формулой Гл а в а 4.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИ1 ЛОРЕНЦА Подставляя эти выражения в (15.8), находим гд= (хд — хд) +(уд — уд)'+(зд — зд)' — с (8,— 1д) = =(ха — хд) +(уа — Уд) +(зз — зд) — г'(дз — 1д)'=г' . (15.9) Это доказывает, что квадрат интервала является инвариантом: гз = г"д = дддч, Если рассматриваемые точки расположены бесконечно близко, то равенство (15.9) доказывает инвариантность квадрата дифференциала интервала: (15.10) Пространственноподобные и времениподобные интервалы. Обозначим пространственное расстояние между событиями через а промежуток времени между ними — через 1. Квадрат интервала гз = дд — с'дд между этими событиями является инвариантом. Пусть в некоторой системе координат события не могут быть связаны причинно.
Тогда для них 1) сд и, следовательно, г') О. Из инвариантности интервала следует, что и во всех других системах координат эти события не могут быть соединены причинной связью. Справедливо, конечно, и обратное утверждение: если в некоторой системе координат события могут в принципе находиться в причинной связи (1 ( с1, г'- ( 0), то они в принципе могут находиться в причинной связи и во всех других системах координат. Интервал, для которого г~ О, называется пространственноподобным, а для которого гд~ О, (15 11) (15.12) — времениподобным, Если интервал пространственноподобен, то можно выбрать такую систему координат, в которой два события происходят одновременно в разных пространственных точках (г' = д' ) О, 1 = 0), и не существует такой системы координат, в которой эти два события происходили бы в одной и той же точке (тогда должно было бы быть 1 = О, т.
е. г' = — с'дз <- О, что противоречит условию гз > 0). Если интервал времениподобен, то можно выбрать такудо систему координат, в которой два события происходят в одной и той же точке пространства, но в разные моменты времени (1 = О, гз = = — с'д' ~ 0), и не существует такой системы координат, в которой эти два события происходили бы одновременно (тогда должно было бы быть 1 = О, т. е.
г' = Р) О, что противоречит условию г'( 0). 16. Длина движущегося тела Таким образом, для событий, которые в принципе могут находиться в причинной связи, можно всегда выбрать такую систему координат, в которой зти события происходят в одной в той же точке пространства в последовательные промежутки времени. Является ли интервал между событиями времениподобным или пространственноподобным, не зависит от системы координат. Это есть инвариантное свойство самих событий. 16. Длина движущегося тела Определение длины движущегося тела. Длиной движущегося стержня называется расстояние между точками покоящейся системы координат, с которыми совпадают начало и конец движущегося стержня в некоторый момент времени по часам покоящейся системы координат.
Таким образом, концы движущегося стержня засекаются одновременно в покоящейся системе координат. Часы движущейся системы координат, совпадающие с концами стержня в момент засечек, будут показывать разное время, как это видно непосредственно на рис. 32, т. е. засечка концов происходит не одновременно в движущейся системе координат. Это приводит к тому, что длина стержня не является инвариантом преобразований Лоренца и имеет разные значения в различных системах координат.
Формула сокращения длины движущегося тела. Пусть стержень длиной 1 покоится в штрихованной системе координат, будучи расположенным вдоль оси х'. Заметим, что когда говорится о теле такой-то длины, то имеется. в виду длина покоящегося тела. Координаты концов рассматриваемого стержня обозначим через х, 'и х,', причем, по определению, х,' — х,' = 1. Величина 1 написана здесь без штриха, потому что она обозначает длину стержня в той системе координат, в которой он покоится, т.
е. длину покоящегося стержня. Отметим положение концов стержня, движущегося со скоростью и в пештрихованной системе координат, в момент го. По формулам преобразования Лоренца можно написать: х(= —, х2= х1 — сСо ~ хо — сСо ( ) 16.1 У1 — со/со ) 1 — ио/со Отсюда следует, что с=х,' — х, '— (16.2) )/ 1 — го/со )/ 1 — ио/с" где Г = (х, — х,) — длина движущегося стержня. Переписав равенство (16.2) в виде (16.3) замечаем, что длина движущегося стержня, расположенного в направлении движения, меньше длины покоящегося. Конечно, если 112 Гл а в а 4. СЛЕДСТВИЯ КЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА все зти рассуждения провести с точки зрения штрихованной системы координат, принятой за неподвижную, то получится та же формула (16.3) уменьшения длины движущегося стержня, как зто и требуется принципом относительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
