А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 23
Текст из файла (страница 23)
И пусть такая же физическая ситуация возникает в любой другой момент времени. Если она в последующие моменты времени будет развиваться относительно этого момента точно так жв, как она в первом случае развивалась относительно своего начального момента, то говорят, что время однородно. Иначе говоря, однородность времени есть одинаковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент времени зта ситуация сложилась. Из однородности пространства и времени следует, что преобразования (14А) должны быть линейными. Для доказательства рассмотрим бесконечно малое изменение ~Ь', т. е.
разность координат х' двух бесконечно близких точек. В нештрихованной системе им будут соответствовать бесконечно малые разности координат г/х, Ыу, дз и времени й. Из (14.1) можно вычислить полное изменение ггх', связанное с изменениями величин х, у, з, 1, по формуле полного дифференциала, известной из математики: Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 102 быть равен нулю и преобразования для у и г запишутся следующим образом: у' = а,х+ агу+ а,г+ а,г, г =Ь,х+Ьгу+Ьгг+Ь4$. (14.4) Ориентировка осей координат указана на рис. 26: ось у' параллельна оси у, а ось г' — оси г.
Поскольку ось х' все время совпадает с осью х, из условия у = 0 всегда следует равенство у' = О, а из условия г = 0 — равенство г' = О, т. е. должно быть О=а1х+ааг+а,г, 0= — Ь,х+ Ь,у+ Ь,г (14.5) при любых х, у, г и Т. Это возможно лишь при условии а~=аз=а4=0, Ь1=Ьг=Ь4=0. (14.6) Поэтому преобразования для у и г принимают следующий простой вид: (14.7) а'=ау, г'=аг, у= — у, г= — г. а ' а (14.8) Величина 1/а показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в нештрихованной системе больше, чем в штрихованной. Согласно принципу относительности, обе системы координат равноправны и поэтому при переходе от одной системы к другой длина масштаба должна изменяться так же, как и при обратном переходе.
Поэтому в формулах (14.7) и (14.8) должно соблюдаться равенство (1/а) = а, откуда получаем а = 1 (возможное математически решение а = 1 исключается в силу выбранной ориентации осей: положительные значения осей у, г и у', г' совпадают). Следовательно, преобразования для координат у и г имеют вид: Ф Ф у=у, г=г. (14.9) Преобразования для х и Т. Поскольку переменные у и г преобразуются отдельно, переменные х и г могут быть связаны линейным преобразованием только друг с другом. Точка начала движущейся системы координат в неподвижной имеет координату х = И, где учтено, что в силу равноправности осей у и г относительно движения коэффициенты в преобразованиях должны быть одинаковыми: уа = Ьг = а.
Коэффициента в формуле (14.7) показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в штрихованной системе координат больше, чем в нештрихованной. Перепишем (14.7) в виде 14. Преобразования Лоренца а в движущейся системе — координату х' = О. Поэтому в силу ли- нейности преобразования должно быть (14 10) х'=а(х — пг), где а — коэффициент пропорциональности, который требуется определить.
Совершенно аналогичные рассуждения можно провести, отправляясь от движущейся системы, приняв ее за покоящуюся. Тогда в ней точка начала координат нештрихованной системы имеет координату х' = — оГ', поскольку в штрихованной системе нештрихованная движется в направлении отрицательных значений оси х. Точка начала координат нештрихованной системы в нештрихованной системе характеризуется равенством х = О. Следовательно, отправляясь от штрнхованной системы, как неподвижной, приходим вместо (14.10) к преобразованию (14.11) х = а' (х'+ И'), В нештрихованной системе этот стержень движется со скоростью и. Длиной его считается расстояние между двумя точками неподвижной системы, с которыми в один н тот же момент времени совпадают начало н конец движущегося стержня.
Засечем концы его в момент го. На основании формул (14.10) получим для координат засечек х,' и х,' следующие выражения: х,'= а(хо — Ио). (14.13) х(= а(х, — Ио) Следовательно, длина движущегося стержня в неподвижной нештри- хованной системе равна х, — х, = (хз — х1)/а = 1/а. (14.14) Пусть теперь тот же стержень покоится в нештрихованной системе и имеет в ней длину 1. Следовательно, координаты начала и конца стержня различаются в этой системе на величину 1, т. е. хо — х1 — — 1. (14.15) В штрихованной системе, принятой за неподвижную, этот стержень движется со скоростью — и. Чтобы измерить его длину относительно штрихованной системы, необходимо засечь начало и конец этого где а' — коэффициент пропорциональности.
Докажем, что согласно принципу относительности а = а'. Пусть некоторый стержень покоится в штрихованной системе координат и имеет в ней длину 1. Это означает, что координаты начала и конца стержня различаются в этой системе на величину 1: хз — х( = 1. (14.12) Гл а в а 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 104 стержня в некоторый момент /б' этой системы. На основании формулы (14.11) имеем: х2 — — а' (х(+ пп), х2 = а' (х2+ 4)бэ).
(14.16) Следовательно, длина движущегося стержня в штрихованной системе, принятой за неподвижную, равна хг — х) — — (х2 — х2)/а' = 1/а'. (14.17) (14.21) (14.23) Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длина одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоростью, должна быть одинаковой. Поэтому в формулах (14.14) и (14.17) должно быть (Е/а) = (Е/а'), т. е.
а = а', что и требовалось доказать. Теперь воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Пусть в момент времени, когда начала координат совпадают и когда часы, находящиеся в началах координат, показывают время Т = Т' = = О, из них испускается световой сигнал. Распространение света в штрихованной и нештрихованной системах координат описывается равенствами: х' = сг', х = с~, (14.18) в которых учтено, что в обеих системах скорость света имеет одно и то же значение с. Эти равенства характеризуют положение светового сигнала, распространяющегося в направлении осей х, х' в любой момент времени каждой из систем координат.
Подставляя (14.18) в формулы (14.10) и (14.11) с учетом того, что а = а', находим: сг' = а~ (с — 22), ст =а1' (с+22). (14.19) Умножая левые и правые части этих равенств друг на друга и сокращая на Т'1, получаем =1))'Т: Я)". (14.20) Из равенства (14.11), используя (14.10), имеем х, х /1 п1 — — х = — — а (х — 2)2) = а))б+ х ~ — — а~) а сс ),а откуда с учетом (14.20) 4'= (1-р — *(1,— 1))= (14.22) Прообр оо о я Л~я я . Пр бр * я )14.2), )14.10) )14.22) связывают между собой координаты систем, движущихся относительно друг друга со скоростью 2). Они называются преобразованиями Лоренца.
Выпишем их здесь вще раз: 14. Преобразования Лоренца 105 Обратные преобразования согласно принципу относительности имеют такой же вид, но лишь изменяется знак скорости: х'+ ин,, г'+(и/с~) а' т=, у=у', з=г', ~= )/ 1 — ис/сс )' 1 — ис/сс (14.24) Переход от (14.23) к (14.24) можно произвести и беа использования принципа относительности. Для этого надо равенства (14.23) рассмотреть как систему уравнений относительно нештрихованных величин и решить ее. В результате получаются выражения (14.24). Рекомендуем проделать это вычисление в качестве упражнения.
Преобразования Галилея как предельный случай преобразований 'Лоренца. В предельном случае скоростей, много меньших скорости света, в преобразованиях Лоренца можно пренебречь величинами порядка (и/с) (( 1 в сравнении с единицей, т. е. все величины и/с в этих преобразованиях положить равными нулю. Тогда они сведутся к преобразованиям Галилея (12.1).
При малых скоростях различие между преобразованиями Лоренца и Галилея незначительно и поэтому неточность преобразований Галилея долго оставалась незамеченной. Глава 4 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА ха ~~о ха= г1 — и *' 15. Относительность одновременности 16.
Длина движущегося тела 17. Темп хода движущихся часов. Собственное время ! 8. Сложение скоростей и преобразование ускорений Э ксперимептальпое подтверждение следствий преобразований Лоренца является подтверждением основ специальной теории относительности. Сокращение длин и изменение формы движущихся тел реальны, потому что они приводят к наблюдаемым физическим следствиям.
15. Относительность одновременности Относительность одновременности. Два события, происшедшие в различных точках х, и х, системы координат, называются одновременными, если они происходят в один н тот же момент времени по часам этой системы координат. В каждой из точек момент события фиксируется по часам, находящимся в соответствующей точке. Будем считать, что события произошли одновременно в неподвижной системе координат в момент В движущейся системе координат эти события произошли в точках х', и х', в моменты т' ,и т'„причем т, 'и т, являются показаниями часов движущейся системы координат, расположенных соответственно в точках х, 'и х,' этой системы в те моменты, когда в каждой из точек произошло рассматриваемое событие.
Связь между штрихованными и нештрихованными величинами дается преобразованиями Лоренца (14.23): х~ — ~~о 107 (с1сз) (хт — хз) ) 1 — сз/сз (15.2) х — ш х = / 15. Относительность одновременности тс — (с(с') хт ° с — (сдз) т 1! ю Поскольку события происходят в точках на оси ж, координаты у, з в обеих системах равны нулю.
Из (15.1) видно, что в движущейся системе координат зти события происходят не одновременно (1,'+ 1,'), они разделены интервалом вре- мени Таким образом, события, одновременные в одной системе координат, оказались неодновременными в другой. Понятие одновременности не имеет абсолютного значения, независимого от системы координат. Чтобы утверждение об одновременности каких-либо событий имело определенное содержание, необходимо указать, к какой системе координат зто утверждение относится. Относительность одновременности можно продемонстрировать также следующим образом.
Показания часов неподвижной системы координат, расположенных в различных точках оси х (рис. 32), сравниваются с показаниями часов движущейся со скоростью и системы координат, расположенных в точках оси х'. На рис.32 — — — эюев1 ° Теория относительности не донаэывает принципа причинности. Она исходит из того, что он справедлив и далтон выполняться во всех системах ноординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
