Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805), страница 8
Текст из файла (страница 8)
.784. Ряды ТейлораВозможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов в области определения, а также их относительная простота делают степенные ряды незаменимымикак в теоретических, так и в практических исследованиях.4.1.
Разложение функций в степенной рядОпределение. Говорят, что функция f (x) может бытьразложена в степенной ряд на множестве X, если существуетстепенной ряд, сходящийся в каждой точке x множества X кf (x).Замечание. Если функция может быть разложена в степенной ряд, то эта функция бесконечно дифференцируема. Этоутверждение непосредственно следует из теоремы о дифференцируемости степенного ряда.Теорема 4.1 Если функция f (x) может быть разложена в степенной ряд, то такое разложение единственно.Доказательство. Пусть функция f (x) может быть разложена в степенной ряд на некотором интервале (−R, R), т.е.f (x) = a0 + a1 x + .
. . + an xn + . . . ,∀x ∈ (−R, R).(57)Степенной ряд, стоящий в правой части (57) дифференцируем бесконечное число раз. Следовательно, дифференцируя равенство (57) n раз, получимf (n) (x) = n! an +(n + 1)!(n + 2)! 2x+x + ....1!2!Отсюда при x = 0 найдемf (n) (0) = n! anилиan =f (n) (0).n!(58)79Следовательно, коэффициенты степенного ряда (57) однозначноопределяются по формуле (58).Определение. Степенной ряд видаf (0) +f 0 (0)f 00 (0) 2f (n) (0) nx+x + ...
+x + ...1!2!n!называется рядом Тейлора функции f (x).Замечание. Из последней теоремы непосредственно следует, что если функция f (x) может быть разложена в степенной ряд на интервале (−R, R), то этот ряд является рядомТейлора.В заключении параграфа приведем пример бесконечно дифференцируемой функции в точке x = 0, которая не может бытьразложена в ряд Тейлора ни в одной окрестности точки x = 0.Пример. Пусть(− 12x ,ex 6= 0,f (x) =0, x = 0.Вычислим производные функции f (x) в произвольной точкеx отличной от нуля:12 − 1264000xf (x) = 2 e, f (x) = − 4 + 6 e− x2 .xxxНе сложно показать по индукции, что 11(n)f (x) = Pne− x2 ,x(59)где Pn (t) — некоторый многочлен (n — его порядковый номер, ане степень). Найдем теперь производные функции f (x) в точкеx = 0.
Имеем,−1f (∆x) − f (0)e (∆x)2f (0) = lim= lim= 0,∆x→0∆x→0∆x∆x080f 00 (0) = lim∆x→0f 0 (∆x)−∆xf 0 (0)= lim6− (∆x)4 +∆x→04(∆x)6∆x−e1(∆x)2= 0.Из (59) по индукции заключаем, что f (n) (0) = 0.Таким образом, ряд Тейлора функции f (x) равен0 + 0 + ... + 0 + ...,но функция f (x) не равна нулю при x 6= 0. Следовательно, функция f (x) не может быть разложена в ряд Тейлора ни в какойокрестности точки x = 0.Напомним следующую теорему.Теорема 4.2 Если функция f (x) непрерывно дифференцируема(n+1) раз на интервале (−R, R), R > 0, то справедлива формулаМаклорена:nXf (n) (0)f (x) =+ rn (x),n!n=0где rn (x) остаточный член, который можно записать в следующем виде:f (n+1) (ξ) n+1rn (x) =x,(n + 1)!где точка ξ лежит между x и 0.Из данного утверждения легко следует необходимое и достаточное условие, когда функция может быть разложена вряд Тейлора.Теорема 4.3 Функция f (x) может быть разложена в ряд Тейлора на интервале (−R, R) тогда и только тогда, когда она бесконечно дифференцируема на этом интервале и остаточныйчлен в формуле Маклорена стремится к нулю в любой точкеx ∈ (−R, R).Следствие.
Если функция f (x) имеет все производные наинтервале (−R, R), которые ограничены на этом интервале,81то функция раскладывается в ряд Тейлора в точке x = 0 на(−R, R).Задача. Разложить в ряд Маклорена функциюf (x) = sin2 x.Решение. Найдем производные функции f (x):f 0 (x) = 2 sin x cos x = sin 2x,πf 00 (x) = 2 cos 2x = 2 sin 2x +,2π,f 000 (x) = −22 sin 2x = 22 sin 2x + 2 ·2πf IV (x) = −23 cos 2x = 23 sin 2x + 3 ·,2....................................,πf (n) (x) = 2n−1 sin 2x + (n − 1).2Найдем значение функции f (x) и ее производных в точке x = 0:f (0) = 0, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 2, f 000 (0) = 0, f IV (0) = −23 , .
. .π(n − 1).2Выпишем остаточный член в формуле Маклорена для функции sin2 x:f (n+1) (ξ) n+1 2n sin 2ξ + πn2x=xn+1 =rn (x) =(n + 1)!(n + 1)!(2x)nπn =sin 2ξ +.2(n + 1)!2f (n) (0) = 2n−1 sinДля каждого фиксированного x ∈ R остаточный член rn (x)стремится к нулю при n → ∞. Таким образом, справедливаформула22325sin2 x = x2 − x4 + x6 + . . .2!4!6!82Упражнения.4.1.1. Разложить в ряды по степеням x следующие функцииа) f (x) = 7x ,б) f (x) = e−2x ,г) ln(x + 2),д) tg x,в) cos2 x,е) cos2 x2 .4.1.2. Разложить в ряд Тейлора следующие функции в окрестности точки x0 :а) f (x) =1, x0 = 1,xв) f (x) = sin x, x0 =б) f (x) = ln x, x0 = 1,π,2г) f (x) = ex , x0 = 1.4.2. Разложение элементарных функций в рядТейлораРазложение f (x) = ex . В силу того, что f (n) (x) = ex длявсех x ∈ R и n ∈ N, то для фиксированного a > 0 и для всехx ∈ (−a, a) выполняется неравенство0 < f (n) (x) < ea .Следовательно, функция ex разлагается в ряд Тейлора на интервале (−a, a), а в силу произвольности a — и на всей числовойоси.
Поскольку f (n) (0) = 1, то∞ex = 1 + x +X xnx2xn+ ... ++ ... =, ∀x ∈ R.2!n!n!n=0Разложение f (x) = sin x. По индукции легко показать, что= sin x + πn2 , n ∈ N. Следовательно, все производныеограничена на числовой оси. Поэтомуf (n) (x)∞X (−1)n x2n+1x3 x5sin x = x −++ ... =, ∀x ∈ R.3!5!(2n + 1)!n=083Разложение f (x) = cos x.
Аналогичные рассуждения для f (x) =cos x приводят к формуле∞X (−1)n x2nx2 x4cos x = 1 −++ ... =, ∀x ∈ R.2!4!(2n)!n=0Разложение f (x) = ln (1 + x). Так какf (n) (x) =(−1)n+1 (n − 1)!,(1 + x)nто остаточный член rn (x) в формуле Маклорена будет иметьвид(−1)n xn+1rn (x) =,(n + 1)(1 + ξ)n+1где ξ лежит между 0 и x.
Если x ∈ [0, 1], то0<1≤ 1.1+ξПоэтому |rn (x)| ≤ 1/(n + 1) для всех x ∈ [0, 1]. Пусть теперьx ∈ (−1, 0). Тогда точка ξ ∈ [x, 0] и, следовательно, 1 11 1 + ξ = 1 − |ξ| < 1 − |x| .Поэтому|rn (x)| =1|x|n+1<→0(n + 1)(1 + ξ)(n + 1)(1 − |x|)при n → ∞ для всех x ∈ (−1, 0). Таким образом, получаем∞ln (1 + x) = x −X (−1)n+1 xnx2 x3+− ... =23n∀x ∈ (−1, 1].n=1Разложение бинома f (x) = (1 + x)α . Формула Маклорена длябинома имеет следующий вид(1 + x)α = 1 + αx +84α(α − 1) 2x + ...2!α(α − 1) .
. . (α − n + 1) nx + rn (x).n!Можно показать, что для всех x ∈ (−1, 1) остаточный членrn (x) стремится к нулю при n → ∞ (мы этого делать не будет,заметим лишь, что в случае, когда n — натуральное число, этоочевидно, т.к. f (k) (x) = 0 для всех k ≥ n + 1). Таким образом,ряд Тейлора для бинома... +(1 + x)α = 1 +∞Xα(α − 1) . . . (α − n + 1)n!n=1xn .Разложение f (x) = arctg x.
Разложение f (x) можно искать, используя формулу Маклорена, но в данном случае значительно проще это сделать, основываясь на свойствах степенных рядов.Имеем1f 0 (x) =.1 + x2В свою очередь, используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем∞X1=(−1)n x2n .1 + x2(60)n=0Радиус сходимости степенного ряда, стоящего в (60) равен 1.Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке[0, x], содержащемся в интервале (−1, 1): x!Zx XZ∞∞∞XXx2n+1(−1)n t2n dt =(−1)n(−1)n t2n dt =.2n + 10n=0n=00n=0Следовательно,Zxarctg x =0∞2n+1Xdtn x=(−1)1 + t22n + 1∀x ∈ (−1, 1).n=0852Задача.
Разложить ex в ряд по степеням x.Решение. В разложенииex = 1 +xx2 x3+++ ...1!2!3!заменим x на x2 . В результате получим формулу2ex = 1 +x2 x4 x6+++ ...,1!2!3!которая справедлива для всех x ∈ R.Задача. Вычислить2ex − 2 − 2x − x2.x→0x − sin xI = limРешение. Воспользуемся разложением ex и sin x в степеннойряд в окрестности точки x = 0. В результате получимx2x321+x+++...− 2 − 2x − x2x22!3!2e − 2 − 2x − x==35x − sin xx − x − x + x − ...3!=2x33!x33!+−2x44! + .
. .x55! + . . .=23!13!+−5!2x4!x25!+ ...+ ....Таким образом,23!x→0 13!I = lim+−2x4!x25!+ ...+ ...= 2.Задача. Разложить в ряд Тейлора функциюZxf (x) =sin tdtt0в окрестности точки x = 0 и найти радиус сходимости полученного ряда.86Решение. Воспользуемся разложениемsin t = t −t3 t5 t7+ − + ....3! 5! 7!Отсюда следует, чтоt2 t4 t6sin t= 1 − + − + ....t3! 5! 7!Очевидно, что радиус сходимости последнего ряда равен бесконечности. Следовательно, ряд можно почленно интегрироватьна отрезке [0, x] для всех x ∈ R. После интегрирования будемиметьZxf (x) =sin tdt =t0ZxZxdt −0t2dt +3!0Zxt4dt −5!0Zxt6dt + .
. . =7!0x3x5x7+−+ ....3 · 3! 5 · 5! 7 · 7!При этом радиус сходимости полученного ряда тоже равен бесконечности.=x−Упражнения.4.2.1. Используя разложения функций в ряд, вычислить следующие пределы:а) limx→0sin x − arctg xx3limx→0x − arctg x,x3x cos x − sin x1 − cos x, lim.xx→0 xex − x − x2x→0 e − 1 − x4.2.2. Разложить в ряд Тейлора следующие функции в окрестности точки x = 0 и найти радиусы сходимости полученныхрядов:ZxZx2 −t2а) f (x) = t e dt, б)cos t2 dt,б) lim0087Zxв)arcsin tdt,tZx p1 + t5 dt.г)005. Примеры контрольных работ5.1. Контрольная работа №11. По определению исследовать сходимость числового рядаи, в случае сходимости, найти его сумму:∞X1.1.n=3∞X1.2.n=11,n(n − 2)1,n(n + 3)∞X√√( n + 1 − n),1.3.n=11.4.∗∞Xn=21.5.∗∞Xn=11,ln 1 −n1.(2n + 1)(2n + 2)2.
Исследовать сходимость ряда:2.1.∞X0, 01n − 100n=12.2.∞ X1n=188100n + 11− 2n n,,∞X2.3.(−1)npn0, 1,n=1∗2.4.∞X1(−1)n cos ,nn=1∞X(−1)n√2.5..nnn=1∗3. Пользуясь признаком сравнения, исследовать сходимостьряда:∞X(−1)n + 13.1.,n2n=13.2.∞Xn2 + 3n + 10n4 + 3n2 + 1n=1,∞ √Xn−1√3.3.,n n+1n=13.4.∗∞X11sin ,nnn=1∞X113.5.ln 1 +.nn∗n=14. Пользуясь признаками Даламбера или Коши, исследоватьсходимость ряда: 2∞ X1 n4.1.1−,nn=14.2.∞Xn=1(5 − (−1)n )n,7nn∞ X2n4.3.,3n − 1n=189∞X∗4.4.n=12n1+1n+1∞X1 + n14.5.3n∗n2 ,n2.n=15. Исследовать на абсолютную и условную сходимости ряд:∞X(−1)n+15.1.n3n=15.2.,∞X(−1)n+1 nn+1n=15.3.∞X(−1)n+1n=1n ln n,,∞X(−1)n+1,n − sin n5.4.∗n=1∞X(−1)n+15.5..n + cos n∗n=15.2.
Контрольная работа №21. Найти множество сходимости ряда:1.1.∞Xn=11.2.x,n+x∞X1,xnn=11.3.∞Xn=1901,x + 2n∗1.4.∞Xln nn=11.5.∗∞Xnx,xn.1 + x2nn=12. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость ряда на множестве X:∞Xsin nx√ , X=Rnnn=12.1.∞Xcos 2x2.2.n2n=12.3.∞ −nxXen=12.4.∗n3, X = R,, X = [0, +∞),∞ πXsin nx,X=0,,n + n2 x22n=1∗2.5.∞Xn=1ln 1 + nx, X = (0, +∞).n + x23. Найти радиус сходимости степенного ряда и исследоватьего сходимость в концах интервала сходимости:3.1.∞Xn=13.2.xn,2n + 3 n∞Xnxnn=13.3.∞Xn=13n,xn,5n − 2n91∞X∗3.4.25n xn ,n=1∗3.5.2∞Xxnn=13n.4.
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точкиx = 0:4.1. f (x) = ln(1 − x2 ),4.2. f (x) = ex−1 ,4.3. f (x) = x sin x2 ,4.4.∗ f (x) = x sin(x − 1),4.5.∗ f (x) = x cos(x + 1).92Список литературы1. Ильин, В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин,Э.Г. Позняк. — М.: Наука, 1973. Ч. 2. 448 с.2. Кудрявцев, Л.Д.
Краткий курс математического анализа.Дифференциальное и интегральное исчисление функций многихпеременных. Гармонический анализ: Учебник. / Л.Д. Кудрявцев.— М.: Физматлит, 2002. Т. 2. 400 с.3. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович.— М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «ИздательствоАСТ», 2005. 558 с.4. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
