Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . un+p (x)| = | lim un+1 (x)+. . .+ lim un+p (x)| ≡x→x0x→x0x→x0ε< ε.2Это означает, что для числового ряда (40) справедлив критерий Коши сходимости числовых рядов, т.е. ряд (40) сходится.Теперь возьмем произвольное ε > 0 и зафиксируем его. Таккак ряд числовой ряд∞Xbn≡ |bn+1 + . . . + bn+p | ≤n=1сходится, а функциональный∞Xun (x)n=1сходится равномерно на X, то существует натуральное числоN такое, что∞∞ X ε Xb<,u(x)kk 3k=N +1k=N +1для всех x ∈ X.Далее, в силу того, что предел конечной суммы равен суммепределов слагаемых, то существует такая окрестность U (x0 )точки x0 , чтоNN εXXuk (x) −bk < 3k=1k=1для всех x ∈ U (x0 ) ∩ X.Рассмотрим следующую цепочку равенств и неравенств: " N#∞N∞∞ XXXXX bS(x)−=u(x)−b+u(x)−bnkkkk ≤ n=158k=1k=1k=N +1k=N +1 NN∞∞X X XX ≤uk (x) −bk + uk (x) + bk < k=1k=1<k=N +1k=N +1ε ε ε+ + = ε.3 3 3Таким образом, получили, что для любого ε > 0 существуеттакая окрестность U (x0 ) точки x0 , что для всех x ∈ U (x0 ) ∩ Xвыполняется неравенство∞Xbn < ε.S(x) −n=1Это означает, что предел функции S(x) в точке x0 существует и равен сумме ряда (40).Следствие.
Пусть ряд (39) равномерно сходится на множестве X к S(x). Пусть функции un (x) непрерывны в точкеx0 ∈ Xдля каждого n ≥ 1. Тогда сумма S(x) ряда (39) непрерывна в точке x0 .Доказательство. Так как функции un (x), n ≥ 1, непрерывныв точке x0 , тоlim un (x) = u(x0 ), n ≥ 1.x→x0По теореме о предельном переходе имеемlim S(x) = limx→x0=∞Xn=1x→x0lim un (x) =x→x0∞Xun (x) =n=1∞Xun (x0 ) = S(x0 ),n=1т.е. функция S(x) непрерывна в точке x0 .59Теорема 2.7 Пусть функции un (x), n ≥ 1, непрерывны на множестве X.
Пусть ряд (39) сходится равномерно на множествеX. Тогда сумма S(x) ряда (39) непрерывна на X.Задача. Доказать, что функцияS(x) =∞Xarctg xn2 + x4n=1непрерывна на всей числовой оси.Решение. Имеем для всех x ∈ R arctg x π n2 + x4 ≤ 2n2 ,следовательно, ряд сходится равномерно на R. Кроме того, члены ряда являются непрерывными на R функциями. Таким образом, из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда заключаем, что S(x) — непрерывна на всей числовойоси.2.4.
Почленное интегрирование идифференцирование функциональных рядовВ этом параграфе сформулируем и докажем достаточныеусловия, позволяющие почленно дифференцировать и интегрировать функциональные ряды.Будем считать, что множество X есть отрезок [a, b] числовой прямой.Теорема 2.8 Пусть ряд (39) сходится равномерно на отрезке[a, b] к своей сумме S(x). Пусть функции un (x), n ≥ 1, непрерывны на [a, b].
Тогда ряд∞ ZXn=1 a60bun (t)dt(41)сходится и справедливо равенствоZbZb∞Xan=1S(t)dt ≡a!un (t) dt =∞X bZ un (t)dt .n=1(42)aДоказательство. Сначала заметим, что функция S(x) является интегрируемой на отрезке [a, b]. Действительно, т.к.функции un (x), n ≥ 1, непрерывны на [a, b], а ряд (39) сходитсяравномерно на [a, b], то сумма S(x) — непрерывная на отрезке[a, b] функция, и значит, она интегрируема на этом отрезке.Пусть Sn (x) — n-ая частичная сумма ряда (39). Так какряд (39) сходится равномерно к S(x), то для любого ε > 0 существует натуральное N такое, что для всех n ≥ N и для всехx ∈ [a, b] имеет место неравенство|Sn (x) − S(x)| <ε.2(b − a)Зафиксируем ε > 0 и оценим b bZ Z Zb Sn (x)dx − S(x)dx = Sn (x) − S(x) dx ≤ aaZb≤aε|Sn (x) − S(x)|dx ≤2(b − a)Zbdx =ε< ε.2aaТаким образом, мы показали, чтоZblimZbSn (x)dx =n→∞aт.е.∞ ZXn=1 ablim Sn (x)dx,n→∞aZb∞Xan=1un (x)dx =!un (x) dx.61Следствие.
Если функциональная последовательность {fn (x)}непрерывных на отрезке [a, b] функций сходится к функции f (x)равномерно на [a, b], тоZblimZbfn (x)dx =n→∞alim fn (x)dx.n→∞(43)aЗамечание. Условие равномерной сходимости является существенным условием. Действительно, рассмотрим следующуюпоследовательность непрерывных функций: 2 n x, x ∈ 0, n1 ,−n2 x + 2n, x ∈ n1 , n2 ,fn (x) =0, x ∈ n2 , 1определенных на отрезке [0, 1]. Для любой точки x ∈ [0, 1] имеемlim fn (x) = 0n→∞и, следовательно, интеграл от предельной функции по отрезку [0, 1] равен нулю. Но, в то же время, интеграл от fn (x) поотрезку [0, 1] равен единицы для любого натурального n ≥ 1.Поэтому равенство (43) в этом случае неверно.
Это связано стем, что последовательность {fn (x)} не сходится равномернона множестве [0, 1].Сформулируем без доказательства теоремы о почленном дифференцирование рядов и последовательностей.Теорема 2.9 Пусть функции un (x), n ≥ 1, непрерывны вместесо своими производными u0n (x) на отрезке [a, b]. Пусть ряд∞Xu0n (x)(44)n=1сходится равномерно на [a, b]. Пусть, кроме того, ряд∞Xn=162un (x)(45)сходится хотя бы в одной точке x0 ∈ [a, b]. Тогда ряд (45) сходится равномерно на отрезке [a, b], его суммаS(x) =∞Xun (x)n=1является дифференцируемой функцией и0S (x) =∞Xu0n (x),n=1т.е. справедливо равенство∞X!0un (x)=n=1∞Xu0n (x).n=1Теорема 2.10 Пусть задана последовательность непрерывнодифференцируемых на отрезке [a, b] функций fn (x).
Пусть последовательность их производных fn0 (x) сходится к некоторойфункции ϕ(x) равномерно на отрезке [a, b]. Пусть, кроме того, последовательность {fn (x)} сходится в некоторой точкеx0 ∈ [a, b]. Тогда последовательность {fn (x)} сходится равномерно на [a, b] к некоторой функции f (x) и f 0 (x) = ϕ(x) длявсех x ∈ [a, b].Пример. Рассмотрим функцию∞X1f (x) =,nxx > 1.(46)n=1Как известно из теории числовых рядов, ряд, стоящий в правойчасти равенства (46) сходится при x > 1.Составим ряд из производных−∞Xln nn=1nx(47)63и зафиксируем a > 1. Тогда по признаку Вейерштрасса получаем, что ряды (46) и (47) сходятся равномерно на [a, +∞).Следовательно, для любого x > a справедливо равенство∞X1nx!0=−n=1∞Xln nnxn=1,а поскольку a > 1 выбирается произвольно, то последнее равенство справедливо для всех x > 1.Задача.
Для ряда∞Xcos nxn2 + x2n=1проверить теорему о почленном интегрировании равномерно сходящихся рядов на отрезке [0, x].Решение. Каждый из членов данного функционального ряда является непрерывной на всей числовой оси. Кроме того, изоценки cos nx 1 n2 + x2 ≤ n2для всех x ∈ R следует его равномерная сходимость. Такимобразом, заключаем, что данный функциональный ряд можнопочленно интегрировать на отрезке [0, x], x ∈ R, т.е. справедливо равенствоZx X∞ 0 n=1cos nxn2 + x2xdx =∞ ZXn=1 0cos nxdx.n2 + x2Задача. Можно ли к ряду∞Xxarctg √n nn=1применить теорему о почленном дифференцировании?64Решение. Все члены ряда un (x) являются непрерывными функциями, и их производные√n n0un (x) = 2x + n3тоже непрерывны для всех натуральных n.
Кроме того, справедлива следующая оценка:√∞X1n n≤ 323x +nn2n=1для всех x ∈ R. Следовательно, ряд составленный из производных u0n (x) сходится равномерно на R. Наконец, исходный ряд вточке x = 0 сходится, т.к. все его члены равны нулю в этойточке.Таким образом, заключаем, что к исходному функциональному ряду применима теорема о почленном дифференцировании,и имеет место равенство∞Xxarctg √nnn=1!0√∞Xn n=x2 + n3n=1для всех x ∈ R.Упражнения.2.4.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:∞∞XX12а)e−nx , б),2n(n + x2 )n=1в)∞Xn=112n−1д)n=1·2x + 1x+2∞ Xn=1x2n,г)3x + 1+ 3x + 2∞Xn=1x,n2 + x4n.652.4.2.
Исследовать равномерную сходимость ряда на множестве E:а)∞X1, E = [0, 1],enx∞Xб)n=1∞Xв)n=1cos(nx), E = (−∞, +∞),n3∞Xг)∗n=1xn, E = [−2, 2],n2 · 2nx2 e−xn , E = [0, +∞).n=12.4.3. Исследовать непрерывность следующих функций науказанных промежутках:а)∞Xcos nxn=13n, x ∈ (−∞, +∞),б)∞ xXen=1в)∞Xn=1г)∗n!, x ∈ [−1, 1],1xcos , x ∈ (−∞, +∞)2nn∞X1xsin , x ∈ (−∞, +∞).nnn=12.4.4. Можно ли применить теорему о почленном интегрировании на промежутке [−a, a], a > 0, к указанным рядама)∞Xcosn xn=1n2в),∞Xб)xe−nx sin nx,n=1∞Xn=1n4x.+ x22.4.5. Можно ли применить теорему о почленном дифференцировании к указанным рядама)∞Xn=1662nn(x + 1) ,б)∞Xsin(nx)n=1n!.3. Степенные рядыОдним из важных частных случаев функциональных рядовявляются степенные ряды. Они используются во многих приложениях, в частности, для приближенного вычисления значений функций.3.1.
Радиус сходимости степенных рядовОпределение. Функциональный ряд видаa0 +∞Xan xn = a0 + a1 x1 + . . . + an xn + . . .(48)n=1называется степенным рядом. Числа a0 , a1 , . . . ∈ R называютсякоэффициентами степенного ряда (48).Выясним, как устроена область сходимости степенных рядов. Сразу можно заметить, что при x = 0 степенной ряд (48)сходится.Теорема 3.1 (Коши-Адамар). Рассмотрим последовательностьnpo∞n|an |.(49)n=1Справедливы следующие утверждения:1.
Если последовательность (49) неограничена, то ряд (48)сходится только при x = 0.2. Если последовательность (49) ограничена и имеет верхний предел L > 0, то ряд (48) сходится абсолютно для всехx таких, что |x| < 1/L и расходится для всех x таких, что|x| > 1/L.3. Если последовательность (49) ограничена и ее верхнийпредел равен 0, то ряд (48) сходится абсолютно для всех x ∈ R.Доказательство. 1. Возьмем число x отличное от нуля и зафиксируем его. Так как последовательность (49) неограничена,67то последовательностьo∞n p|x| n |an |n=1≡npo∞n|an xn |n=1так же будет неограничена.
В этом случае нарушается необходимое условие сходимости числовых рядов (n-ый член ряд нестремится к нулю). Следовательно, ряд (48) расходится.2. Пусть последовательность (49) ограничена и ее верхнийпредел равен L > 0. Зафиксируем x такое, что |x| < 1/L. Тогданайдется такое число δ > 0, что|x| <1.L+δВ силу свойств верхнего предела числовой последовательностисуществует N ∈ N такое, чтоpδn|an | < L +2для всех n ≥ N . Таким образом, получаем, что начиная с номера N справедливо неравенствоppL + 2δn< 1.|an xn | = |x| n |an | <L+δСледовательно, по теореме Коши о сходимости числовых рядовряд (48) будет сходится абсолютно.Пусть теперь x такое, что |x| > 1/L. Покажем, что вэтом случае ряд (48) расходится. Так как |x| > 1/L, то существует δ > 0 такое, что|x| >1> 0.L−δПо определению верхнего предела существует подпоследовательность q∞nk|ank |k=168такая, чтоlimk→∞q|ank | = L.nkСледовательно, начиная с некоторого номера K, для всех оставшихся членов подпоследовательности справедливо неравенствоqL − δ < nk |ank | < L + δ.Таким образом, получаем, что для всех k ≥ K верно неравенствоqqL−δnk= 1.|ank xnk | = |x| nk |ank | >L−δЭто означает, что не выполняется необходимое условие сходимости числовых рядов и, следовательно, степенной ряд (48)расходится.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
