Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть последовательность (49) ограничена и ее верхнийпредел L = 0. Это означает, что последовательность (49) сходится и ее предел есть 0. Возьмем произвольное x ∈ R отличноеот нулю и зафиксируем его. Так как последовательность (49)сходится к нулю, то начиная с некоторого номера N все оставшиеся члены этой последовательности будут меньше, чем 1/(|x|),т.е.p1n|an | <∀n ≥ N.2|x|Отсюда получаем, чтоpnp1|x|= < 1.|an xn | = |x| n |an | <2|x|2Поэтому по теореме Коши сходимости числовых рядов степенной ряд (48) сходится абсолютно для всех x ∈ R.Доказанная теорема приводит к следующему фундаментальному утверждению.Теорема 3.2 Для каждого степенного ряда (48), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке x = 0, существует69число R > 0, R ∈ R такое, что ряд (48) сходится абсолютно длявсех x ∈ {x | |x| < R} и расходится для всех x ∈ {x | |x| > R}.При этом справедлива следующая формула:p1= lim sup n |an |.Rn→∞(50)Замечание. В случае, когдаplim sup n |an | = 0,n→∞считаем, что R = ∞, т.е.
степенной ряд сходится на всейчисловой оси.Определение. Число R называется радиусом сходимости,а интервал (−R, R) — интервалом сходимости степенного ряда (48).Задача. Найти радиус сходимости степенного ряда∞ Xn=111+nn2xn .Решение. Воспользуемся формулой (50):s 21 n11 nn= lim sup= lim 1 += e.1+n→∞Rnnn→∞Следовательно, радиус сходимости R = e−1 .Замечание. Для точек x = R или x = −R сходимостькаждого степенного ряда нужно исследовать отдельно, т.к.существуют степенные ряды как сходящиеся, так и расходящиеся в этих точках.Пример. Рассмотрим ряд1+∞Xn=170xn .Очевидно, что его радиус сходимости равен 1.
При x = 1 и приx = −1 ряд расходится.Пример. Рассмотрим ряд∞Xxnn=1n.Найдем его радиус сходимости R:rr1n 1n 1= lim sup= lim= 1.Rn n→∞ nn→∞Следовательно, R = 1. При x = −1 получим числовой ряд∞X(−1)nn=1n,который, как известно, сходится. При x = 1 получим ряд∞X1,nn=1который расходится.Пример. Рассмотрим ряд∞X1.n2n=1Очевидно, что его радиус сходимости равен 1.
По признаку сравнения при x = ±1 ряд сходится абсолютно.Задача. Определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение на концах интервала сходимости следующегоряда:∞Xxn.2nn=171Решение. Из формулы (50) следует, что радиус сходимостиравенrn 1R = lim= 2.n→∞2nПоэтому интервал (−2, 2) есть интервал сходимости. Исследуем поведение ряда в точках x = 2 и x = −2. При x = 2 получаемчисловой ряд∞X2n= 1 + 1 + ...,2nn=1который расходится. При x = −1 тоже получаем расходящийсяряд∞∞X(−2)n X=(−1)n = −1 + 1 − 1 + 1 − . .
. .2nn=1n=1В заключении параграфа приведем еще одну формулу для вычисления радиуса сходимости степенных рядов. Из теории числовых последовательностей известно, что если для некоторойпоследовательности {an } существует an ,lim(51)n→∞ an+1 то существует пределlimn→∞pn|an |и справедливо равенство an = lim p1 .lim n→∞ an+1 n→∞ n |a |nПоэтому в этом случае an .R = lim n→∞ an+1 72(52)Отметим, что если предел (51) не существует, то радиуссходимости необходимо вычислять по формуле (50).Задача.
Определить множество сходимости следующего ряда∞Xn=1(x + 1)n.2n (n + 1)(n + 2)Решение. Сделаем замену переменной y = x + 1. В результате получим степенной ряд∞Xn=1yn.2n (n + 1)(n + 2)(53)Его радиус сходимости вычислим по формуле (52): an 2n+1 (n + 2)(n + 3)2(n + 3)=R = lim = lim= 2.nn→∞ an+1n→∞ n + 12 (n + 1)(n + 2)Поэтому (−2, 2) — его интервал сходимости. Исследуем сходимость в точках y = 2 и y = −2.
При y = 2 имеем числовойряд∞X1,(n + 1)(n + 2)n=1а при y = −2 — ряд∞Xn=1(−1)n,(n + 1)(n + 2)которые сходятся. Следовательно, ряд (53) сходится на множестве −2 ≤ y ≤ 2. Поэтому исходный ряд сходится призначениях x, удовлетворяющих неравенствам −2 ≤ x + 1 ≤ 2,что равносильно −3 ≤ x ≤ 1. Таким образом, множество сходимости исходного ряда есть отрезок [−3, 1].Упражнения.733.1.1. Определить радиус сходимости и интервал сходимости следующих рядов:а)∞Xxnn=1в)n!,∞X5n xnn=1n!∞Xб)nn xn ,n=1,г)∞Xxn.4n−1n=13.1.2∗ . Определить радиус сходимости и интервал сходимости следующих рядов:а)∞Xx2n−1,(2n − 1)(2n − 1)!б)n2 3n∞ Xnxв),n+13nг)n=1∞Xn!(x − 2)nn=1n=1nn,∞X(n!)2 nx .(2n)!n=13.1.3.
Определить радиус, интервал сходимости и выяснитьповедение следующих рядов на концах интервала сходимости:а)∞Xnxn ,б)∞X√( nx)n ,n=1n=1∞Xxnв),ln n∞Xn=1г)(−3)n xn .n=13.2. Непрерывность суммы степенного рядаПокажем, что степенной ряд (48) является непрерывнойфункцией на своем интервале сходимости.Лемма.
Пусть R — радиус сходимости степенного ряда(48). Тогда для любого r такого, что 0 < r < R степенной ряд(48) сходится равномерно на множестве [−r, r].74Доказательство. В силу теоремы Коши-Адамара ряд (48) сходится абсолютно при x = r. Из теоремы Вейерштрасса следует равномерная сходимость степенного ряда (48) на отрезке [−r, r].Теорема 3.3 Сумма степенного ряда (48) является непрерывной функцией на интервале сходимости (−R, R).Доказательство. Пусть точка x0 принадлежит (−R, R). Тогда существует δ > 0 такое, что |x0 | + δ < R. Тогда в силупредыдущей леммы, степенной ряд (48) сходится равномернона отрезке [−|x0 | − δ, |x0 | + δ].Далее, так как xn — непрерывная функция на отрезе [−|x0 |−δ, |x0 | + δ] для всех натуральных n ≥ 1, то сумма степенногоряда (48) непрерывна на [−|x0 | − δ, |x0 | + δ] и, в том числе, вточке x0 . Так как точка x0 — произвольная точка интервала(−R, R), то заключаем, что сумма степенного ряда непрерывнана (−R, R).3.3.
Почленное интегрирование степенных рядовТеорема 3.4 Пусть R — радиус сходимости степенного ряда (48). Пусть x произвольная точка интервала (−R, R). Тогдаряд (48) можно почленно интегрировать на отрезке [0, x]. Приэтом полученный почленным интегрированием ряд имеет тотже радиус сходимости, что и исходный.Доказательство. Так как x принадлежит интервалу (−R, R),то найдется такое число r > 0, что |x| < r < R. Ряд (48) сходится равномерно на [−r, r] и, следовательно, сходится равномерно и на [0, x]. Тогда по теореме о почленном интегрирование функциональных рядов ряд (48) можно проинтегрироватьпочленно.
В результате этого получим степенной рядa0 x +a1 2 a2 3an n+1x + x + ... +x+ ...23n+1(54)75Найдем радиус сходимости R1 ряда (54). По формуле (50) получимr1n |an−1 |= lim sup.(55)R1nn→∞Так какlim supn→∞p1n|an | = ,Rто существует подпоследовательность {ank } такая, чтоq1|ank | = .Rnklimk→∞Имеемp|an−1 |1 .pnn−1|an−1 |n−1pn|an−1 | = Возьмем подпоследовательность номеров {nk } и рассмотримp|ank |1lim = .1pk→∞Rn +1nk|ank | knkЭто означает, чтоlim supn→∞p1n|an−1 | = .RУчитывая, чтоlimn→∞√nn = 1,из (55) окончательно получаем R1 = R.3.4.
Почленное дифференцирование степенныхрядов76Теорема 3.5 Степенной ряд (48) можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости. При этом полученный почленным дифференцированием ряд имеет тот жерадиус сходимости, что и исходный.Доказательство. Покажем, что степенной ряд удовлетворяет теореме о почленном дифференцировании функциональныхрядов. Рассмотрим ряд, составленный из производных членовряда (48):a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 + .
. . .(56)Ряд (56) — степенной ряд. Найдем его радиус сходимости:pp√11= lim sup n (n + 1)|an+1 | = lim n n + 1·lim sup n |an+1 | = .n→∞R1Rn→∞n→∞Таким образом, получили, что радиус сходимости ряда (56) совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.Пусть точка x такая, что |x| < R. Тогда существует r:|x| < r < R и ряд (56) сходится равномерно на [−r, r]. Крометого, степенной ряд (48) сходится при x = 0.
Следовательно,по теореме о почленном дифференцировании функциональныхрядов получаем, что(a0 + a1 x + . . . + an xn + . . .)0 = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 + . . . .Следствие. Степенной ряд внутри интервала сходимостиможно дифференцировать любое количество раз (в этом случаеговорят, что ряд дифференцируем бесконечное число раз).
Ряд,полученный k-кратным почленным дифференцированием имееттот же радиус сходимости, что и исходный ряд.Задача. Найти сумму ряда1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 + . . .Решение. Радиус сходимости данного ряда равенn+1= 1.n→∞ n + 2R = lim77Поэтому мы можем почленно интегрировать его на отрезке[0, x], где x ∈ (−1, 1). Обозначим через S(x) его сумму, тогдаZxZx1 · dt +S(t)dt =0Zx0Zx2tdt +0Zx23t dt + . .
. +0ntn−1 dt + . . . =0= x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . .Известно, что сумма геометрической прогрессии1 + x + x2 + x3 + . . . =1,1−xпоэтомуZxS(t)dt = x + x2 + x3 + . . . + . . . + xn + . . . =1− 1.1−x0Отсюда следует, что xZd d11S(x) =S(t)dt ==,dxdx 1 − x(1 − x)20т.е.1 + 2x + 3x3 + . .
. =1.(1 − x)2Упражнения.3.4.1. Найти суммы следующих рядов:а) x +x2 x3xn++ ... ++ ...,23n1 2x 3xnxn−1+ 2 + 3 + ... ++ ...,2222nx3x4xnx2в)+++...++ ...,2 · 5 3 · 52 4 · 53n · 5n−1г) 1 · 2 + 2 · 3x + 3 · 4x2 + . . . + n(n + 1)xn−1 + . . . ,б)д)∗ − 2x + 4x3 − 6x5 + . . . + (−1)n 2nx2n−1 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
