Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Используя различные признаки сходимости, исследовать сходимость знакоположительных рядов:∞X10n,2n + 5а)б)n=1в)∞X10nn!n=1∞Xд)n=1г)2n + 3 n,4n + 5 n,5n − 4n,∞Xn3 + 1n ,4 + n1n=1к)∞Xn −n2(−1),n=1∞X4 · 7 · 13 · . . . · (3n + 4)n=13 · 7 · 11 · . . . · (4n + 3)∞X1 + n1м)enn2,н)n=1о)∞X3n − 2nn=1з)n +n2(−1)е)n=1л)√ n ,n+1−n=11√,nnnn=1∞Xn=1∞X√∞Xж)и),∞Xn!,nn∞X(n!)2n=12∞X3n −1√ ,2n2 nn=1п),2n2∞Xln ln nn=2n ln n,.1.5. Абсолютно и условно сходящиеся рядыВ этом параграфе изучим ряды, члены которых могут бытьлюбого знака.Определение. Ряд∞Xan(23)n=137называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд∞X|an |.(24)n=1Замечание. В определении абсолютно сходящегося ряда несказано, что он должен сходится. Тем не менее, справедлива следующая теорема.Теорема 1.13 Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.Доказательство. Нам надо доказать, что из сходимости ряда(24) следует сходимость ряда (23).
Действительно, в силу критерия Коши имеем: для любого ε > 0 существует номер N такой,что для всех n ≥ N и для всех p ≥ 0 справедливо неравенствоn+pX|ak | < ε.k=n+1Из неравенства n+pn+p XXa≤|ak |kk=n+1k=n+1следует, что критерий Коши справедлив и для ряда (23).Определение. Ряд (23) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (24) расходится.Задача. Показать, что ряд∞Xsin nnαn=1сходится абсолютно при α > 1.Решение.
Из неравенства sin n 1 nα ≤ nα ,38∀n ≥ 1,и признака сравнения следует, что ряд∞ X sin n nα n=1сходится. Следовательно, исходный ряд∞Xsin nnαn=1будет сходиться абсолютно.Задача. Доказать, что ряд∞X(−1)n+1n=1(25)nсходится условно.Решение. Заметим, что ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, совпадает с гармоническим рядом,который, как известно, расходится. Следовательно, ряд (25) несходится абсолютно. Покажем, что он сходится. Действительно,по формуле Маклорена для функции ln (1 + x) имеемln (1 + x) = x −x2 x3xn++ . . . + (−1)n+1+ Rn+1 (x),23nгде Rn+1 (x) — остаточный член. В форме ЛагранжаRn+1 (x) = (−1)nxn,(n + 1)(1 + θx)n+1θ ∈ (0, 1).Отсюда следует, что для всех x ∈ [0, 1] имеет место оценкаRn+1 (x) ≤1.n+1Таким образом, получаем|Sn − ln 2| ≤1,n+139где Sn — n-я частичная сумма ряда (25). Это означает, что ряд(25) сходится, а его сумма равна ln 2. Мы показали, что ряд (25)сходится условно.Определение.
Пусть задана последовательность {pn }, у которой pn ≥ 0 для всех n ∈ N. Ряд видаp1 − p2 + p3 − p4 + . . . =∞X(−1)n+1 pn(26)n=1называется знакочередующимся рядом.Установим достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов.Теорема 1.14 (Лейбниц). Если последовательность {pn } монотонно стремится к нулю, то ряд (26) сходится.Доказательство. Пусть {Sn } — n-я частичная сумма ряда (26).Рассмотрим подпоследовательность S2k .
Сгруппируем слагаемыев S2k следующим образомS2k = (p1 − p2 ) + (p3 − p4 ) + . . . + (p2k−1 − p2k ).В силу монотонности последовательности {pn } каждое из слагаемых в последнем равенстве неотрицательно. Следовательно,последовательность {S2k } неубывающая.С другой стороны, имеемS2k = p1 − (p2 − p3 ) − (p4 − p5 ) − . . . − (p2k−2 − p2k−1 ) − p2k ≤ p1 .Таким образом, получаем, что последовательность {S2k } не убывает и ограничена сверху.
Следовательно, она имеем предел. Обозначим его через S. Далее, имеем S2k−1 = S2k − p2k . Так какp2k → 0 при k → ∞, то S2k−1 → S при k → ∞. Отсюда следует,что последовательность {Sn } сходится к S, т.е. ряд (26) сходится.40Задача. Используя признак Лейбница, доказать, что ряд∞X(−1)n+1√nn=1сходится.Решение. Проверим, что данный ряд удовлетворяет условиямтеоремы Лейбница. Действительно, ряд является знакочередующимся, составленным из последовательности {pn }, где1pn = √ ,nкоторая монотонно стремится к нулю.Задача. Исследовать следующий ряд на абсолютную и условную сходимости:∞X(−1)n+1.n − ln nn=1Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда∞ ∞X (−1)n+1 X1= n − ln n n − ln nn=1n=1и сравним его с гармоническим рядом, воспользовавшись признаком сравнения в предельной форме.
Итак, имеем1n−ln n1n→∞nlim= limn→∞1=11 − lnnnоткуда следует, что ряд не сходится абсолютно.Исследуем ряд на сходимость. Покажем, что последовательность {pn }, где1pn =n − ln nмонотонно убывает. Для этого рассмотрим функциюf (x) =1,x − ln x41определенную на полуинтервале [1, +∞) и найдем ее производную:11x−10f (x) = −· 1−=−.2(x − ln x)x(x − ln x)Видно, что f 0 (x) < 0 для всех x > 1. Следовательно, функцияf (x) монотонно убывает. Поэтому последовательность pn тожеубывает. По признаку Лейбница ряд сходится.
Таким образом,ряд сходится условно.В заключение сформулируем две теоремы, характеризующиеотличие условно и абсолютно сходящихся рядов.Теорема 1.15 (Коши). Если данный ряд сходится абсолютно,то любой ряд, составленный из членов исходного, взятых в любом порядке, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный.Теорема 1.16 (Риман). Если данный ряд сходится условно, тодля любого действительного числа S можно переставить члены исходного ряда так, что сумма полученного ряда будет равна S.Теорема Римана показывает, что одно из основных свойствдействительных чисел — коммутативность конечного числа слагаемых — не переносится на бесконечные суммы, т.е. на ряды.С другой стороны, теорема Коши показывает, что среди рядов можно выделить отдельный класс — абсолютно сходящиесяряды, для которых справедлив коммутативный закон сложения.И, наконец, отметим, что ассоциативный закон сложения справедлив для любых сходящихся рядов.
Если же ряд расходится,то это утверждение не верно. Например, ряд1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)n + . . .расходится, а ряды(1 − 1) + (1 − 1) + . . . + (1 − 1) + . . . ,1 − (1 − 1) − (1 − 1) − . . . − (1 − 1) − . . . ,42полученные из исходного путем расставления скобок, сходятся.При этом сумма первого равна 0, а второго 1.Упражнения.1.5.1.
Используя признак сходимости Лейбница, доказать сходимость следующих рядов:а)∞X(−1)n+1 (n + 1)n=1в)n2 + n + 1∞X(−1)n+1 ln nnn=1,,б)∞X(−1)n+1,ln(n + 1)n=1∞Xг)n=1(−1)n+1.ln(n2 − n + 1)1.5.2. Исследовать на абсолютную и условную сходимостиследующие ряды:а)∞X(−1)n+1,ln(n2 + 1)б)n=1г)∞X(−1)n+1n=1∞Xе)n=1∞X(−1)n+1n=12n + 1,n(n + 10)(−1)n+1 nn3 − sin2 n,ж),n2∞Xд)в)∞X(−1)n+1 n,n=1(−1)n+1√ne−1 ,n=1∞Xn+1(−1)n=1n2n + 1n.2. Функциональные рядыВ этой главе мы изучим функциональные последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а некоторыефункции, определенные на некотором фиксированном множестве.2.1.
Функциональные последовательностиПусть X — некоторое числовое множество, т.е. X ⊂ R. Длякаждого натурального n поставим в соответствие некоторую функ43цию fn (x), определенную на множестве X. В результате получимфункциональную последовательность{fn (x)}.(27)При этомf1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . .называются элементами функциональной последовательности, амножество X — ее областью определения.Пример. 1) fn (x) = xn , x ∈ [0, 1]; 2) fn (x) = arctg nx, x ∈ R.Определение. Пусть точка x0 принадлежит множеству области определения функциональной последовательности (27). Говорят, что функциональная последовательность (27) сходится вточке x0 , если числовая последовательность {f (x0 )} сходится.Определение.
Множество точек x0 ∈ X, в которых сходится данная функциональная последовательность, называется областью сходимости этой последовательности.Замечание. Область сходимости может не совпадать с областью определения функциональной последовательности.
Действительно, рассмотрим fn (x) = xn , x ∈ [−1, 1]. Для любой точкиx0 ∈ (−1, 1] числовая последовательность {xn0 } сходится. В точкеx0 = −1 последовательность {(−1)n } расходится. Значит, областью сходимости будет полуинтервал (−1, 1].Далее будем рассматривать функциональные последовательности, у которых область сходимости и область определения совпадают.Определение. Функция f (x), определенная на множествеX называется пределом (или поточечным пределом) последовательности (27), еслиf (x0 ) = lim fn (x0 )n→∞для всех x0 ∈ X.Пример. 1.
Пусть fn (x) = xn , x ∈ [0, 1]. Тогда при n → ∞0, x ∈ [0, 1),fn (x) → f (x) =1, x = 1.442. Пустьfn (x) =nx2, x ∈ R,1 + n2 x2тогда при n → ∞fn (x) → f (x) = 0для всех x ∈ R.3. Пустьfn (x) =1 − nx, x ∈ [0, n1 ],0, x ∈ ( n1 , 1].Тогда при n → ∞fn (x) → f (x) =1, x = 0,0, x ∈ (0, 1].Заметим, что в рассмотренных примерах все функции fn (x)— непрерывны, а предельная функция может оказаться и разрывной (в 1 и 3 случаях). В дальнейшем мы установим ряддостаточных условий, при которых предельные функции последовательностей и рядов будут сохранять свои свойства: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Для этого мывведем новое понятие — понятие равномерной сходимости.Определение.
Функциональная последовательность {fn (x)}называется равномерно сходящейся к функции f (x) на множестве X, если для любого ε > 0 существует такой номер N , чтодля всех точек x ∈ X и для всех номеров n ≥ N выполняетсянеравенство|fn (x) − f (x)| < ε.Если последовательность {fn (x)} сходится к f (x) равномернона множестве X, то в этом случае пишутXfn ⇒ fпри n → ∞.Замечание. Если последовательность {fn (x)} сходится равномерно к функции f (x) на множестве X, то она сходится и поточечно для каждой точки x из X.
Обратное в общем случае45не верно, т.е. из сходимости последовательности функций в длякаждой точки x ∈ X не следует равномерная сходимость последовательности. Действительно, как известно, последовательность {fn (x)}, гдеfn (x) = xn , x ∈ [0, 1]сходится кf (x) =0, x ∈ [0, 1),1, x = 1в каждой точке отрезка [0, 1]. Покажем, что равномерной сходимости нет. Для этого укажем число ε0 > 0 такое, что для всехN можно найти такой номер n ≥ N и такую точку x ∈ [0, 1], чтобудет выполняться неравенство|fn (x) − f (x)| ≥ ε0 .Действительно, если взять ε0 = 1/4 и для любого натуральногоN положить n = N и взять точку xN = 1 − 1/N ∈ [0, 1], то будемиметь1 N|fN (xN ) − f (xN )| = 1 −.NИзвестно, что числовая последовательность( )1 N1−Nявляется возрастающей, следовательно,1 2 11 N1−≥ 1−=N24для всех натуральных N ≥ 2.Запишем определения поточечной и равномерной сходимостипоследовательности функций в символической форме:поточечная сходимость: fn → f∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N : |fn (x) − f (x)| < ε;46Xравномерная сходимость: fn ⇒ f∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀x ∈ X : |fn (x) − f (x)| < ε.Таким образом, если последовательность функций сходитсяпоточечно на множестве X, то для каждой точки x из X существует, вообще говоря, свой номер N = N (ε, x) (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
