Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805)
Текст из файла
Е.М. РУДОЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕРЯДЫНОВОСИБИРСК 20102МИНОБРНАУКИ РОССИИГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»Е.М. РудойМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕРЯДЫУтверждено Редакционно-издательским советом НГПУв качестве учебного пособияНОВОСИБИРСК 20102УДК 517.37ББК В161.223Р835Р е ц е н з е н т ы:доктор физико-математических наук, профессорНовосибирского государственного педагогическогоуниверситетаА.Е. Мамонтов;доктор физико-математических наук, профессорНовосибирского государственного университетаВ.Н. СтаровойтовР835Рудой, Е.М.Математический анализ.
Числовые и функциональные ряды: учебное пособие / Е.М. Рудой. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 2010. – 95 с.Учебное пособие содержит теоретический и практический материал для занятий по теме «Числовые и функциональные ряды»по курсу «Математический анализ» для студентов, обучающихсяна математическом факультете Новосибирского государственногопедагогического университета по специальности «Информатика—математика».УДК 517.37ББК В161.223c Рудой Е.М., 2010c ГОУ ВПО «Новосибирский государственныйпедагогический университет», 2010Учебное пособие состоит из пяти глав, отражающих основныетеоретические и практические аспекты университетского курсаматематического анализа по теме ”Числовые и функциональные ряды”, читаемого для студентов математического факультета Новосибирского государственного педагогического университета, обучающихся по специальности «информатика-математика».Большинство задач, включенных в пособие, содержится в качестве упражнений и примеров в различных изданиях (см.
список литературы). Часть примеров и задачи для контрольных работ составлены специально для настоящего издания. Сложныезадачи помечены звездочкой.Пособие будет полезно как студентам, обучающихся на математическом факультете, так и преподавателям для проведениясеминарских занятий.1. Числовые ряды1.1.
Понятие числового рядаПри изучении числовых последовательностей мы уже сталкивались с понятием числового ряда. Кроме того, известная изшкольного курса математики бесконечная геометрическая прогрессия тоже является частным случаем числового ряда. В настоящей главе мы введем понятие числового ряда и изучим основные его свойства.Определение. Пусть задана числовая последовательность{an }.
Выражение видаa1 + a2 + . . . + an + . . . =∞Xan(1)n=1называется числовым рядом. Элементы последовательности {an }называются членами ряда (1).3Замечание. Бесконечная сумма (1) является лишь формальной записью, т.к. невозможно вычислить сумму бесконечногочисла чисел путем сложения.Определение. Сумма первых n слагаемых числового ряда(1) называется n-ой частичной суммой ряда (1) и обозначаетсяSn , т.е.S1 = a1 ,S2 = a1 + a2 ,...............,Sn = a1 + a2 + . . .
an .Таким образом, частичные суммы Sn ряда (1), где n = 1, 2, . . . ,образуют последовательность {Sn }, которая называется последовательностью частичных сумм.Задача. Дан общий член рядаan =n2.2n + 1Написать первые четыре члена ряда.Решение. Имеем a1 = 1/3, a2 = 4/5, a3 = 1, a4 = 16/17. Такимобразом, получаем, что ряд можно записать в виде1 416n2+ +1++ ...
+ n+ ...3 5172 +1Определение. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует число S — предел последовательности его частичных сумм. Этот предел называется суммой ряда. Таким образом,сумма рядаS = lim Sn .n→∞Кроме того, в этом случае пишутS=∞Xn=14an .Определение. Если последовательность частичных сумм ряда (1) не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.Замечание. Подчеркнем здесь, что введенное понятие суммы ряда является лишь одним из возможных понятий бесконечной суммы.
Существуют другие определения суммы рядов. Внастоящем курсе мы будем изучать данное как наиболее естественное.Замечание. Очевидно, что справедливы следующие равенстваa1 = S1 ,a2 = S2 − S1 ,...............an = Sn − Sn−1 .Это означает, что каждому ряду однозначно соответствует последовательность его частичных сумм и, наоборот, если заданапоследовательность частичных сумм, то всегда можно восстановить члены ряда. Таким образом, изучение сходимости числовыхрядов равносильно изучению сходимости последовательностей.Основной задачей в теории рядов является установление сходимости числового ряда. Зачастую даже не требуется находитьего сумму.Приведем примеры сходящихся и расходящихся рядов.Пример. Ряд 1 + 2 + 3 + .
. . + n + . . . является расходящимся.Действительно, n-я частичная сумма рядаSn = 1 + 2 + . . . + n =n(n + 1),2поэтомуlim Sn = ∞.n→∞Пример. Рассмотрим ряд1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)n+1 + . . . .5Составим последовательность его частичных сумм {Sn }S1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, . . . , S2k = 0, S2k+1 = 1, . . . .Как известно из теории числовых последовательностей заданнаяпоследовательность сходится тогда и только тогда, когда любаяее подпоследовательность сходится к одному и тому же числу.Подпоследовательность последовательности {Sn }, составленнаяиз четных номеров, сходится к 0, а подпоследовательность, составленная из нечетных номеров — к 1. Следовательно, ряд расходится.Пример. Исследуем сходимость ряда1 + q + q2 + .
. . + qn + . . . ,где q ∈ R. Частичная сумма Sn этого ряда — это сумма n первыхчленов геометрической прогрессии. Поэтому имеемSn =1 − q n−1.q−1Если |q| < 1, тоlim q n−1 = 0n→∞и, следовательно, сумма рядаS = lim Sn =n→∞1.1−qЕсли |q| > 1, то последовательность {Sn } расходится. При q = 1n-я частичная сумма Sn равна n, следовательно, ряд расходится.
Если q = −1, то получаем расходящийся ряд из предыдущегопримера. Таким образом, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1.Задача. По заданному общему члену рядаan =61n(n + 1)записать ряд и найти его сумму.Решение. Подставляя последовательно n = 1, 2, 3, .
. ., получим ряд∞X11111+++ ... ++ ... =.1·2 2·3 3·4n(n + 1)n(n + 1)n=1Для нахождения суммы ряда рассмотрим последовательностьего частичных сумм {Sn }, гдеnSn =X1111++ ... +=.1·2 2·3n(n + 1)k(k + 1)k=1Так как111= −,k(k + 1)k k+1то Sn можно преобразовать следующим образомSn = 1 −111 1 1+ − + ... + −.2 2 3n n+1В последней сумме всей слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего. Таким образом, получаемSn = 1 −1,n+1откуда заключаем, что сумма рядаS = lim Sn = lim 1 −n→∞n→∞1n+1= 1.Упражнения.1.1.1. По заданному общему члену ряда an найти первые четыре члены ряда и записать ряд, еслиа) an =n,−110n√б) an =n!,7n!(−1)n n,г)a=.n2nn! + 11.1.2. Найти суммы следующих рядов:в) an =∞Xа)n=11,n(n + 2)б)∞Xn=11.(2n − 1)(2n + 1)1.1.3∗ . Найти суммы следующих рядов:а)∞Xn=11,n(n + 1)(n + 2)в)∞Xn=1б)∞Xn=12n + 1,+ 1)2n2 (n1.(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)1.1.4.
Найти суммы следующих рядов или установить их расходимость:∞X√√√а)( n + 2 − 2 n + 1 + n),n=1∞X∞X1б)nq , |q| < 1, в)ln 1 − 2 ,nn=1n=1∞X1.г)ln 1 +n∗nn=11.2. Свойства числовых рядовТеорема 1.1 Пусть ряды∞Xann=1и∞Xbnn=1сходятся, а S и T — их суммы. Тогда для любых α, β ∈ R ряд∞X(αan + βbn )n=18сходится и∞X(αan + βbn ) = αS + βT.n=1Доказательство. ПустьSn =nXak ,Tn =k=1nXbk ,k=1тогда, очевидно, чтоnX(αak + βbk ) = αSn + βTn .(2)k=1Так как последовательности {Sn } и {Tn } сходятся, то∞XnX(αan + βbn ) = lim(αak + βbk ) =n→∞n=1k=1= α lim Sn + β lim Tn = αS + βT.n→∞n→∞Следствие. Пусть задана последовательность {an } такая,чтоan = bn + cn ,Пусть ряд∞Xn ∈ N.(3)bnn=1сходится, а ряд∞Xcnn=1расходится. Тогда ряд∞Xan(4)n=19расходится.Доказательство.
Предположим противное, т.е. ряд (4) сходится. Тогда из условия (3) следует, что cn = an − bn . Из теоремы 1.1следует, что ряд∞Xcnn=1сходится. Противоречие. Следовательно, ряд (4) расходится.Задача. Найти сумму ряда1 11+ + ... ++ ....3 63 · 2n−1Решение. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с показателем q = 1/2. Тогда n-ый членисходного ряда an равен 13 · q n−1 . Так как сумма ряда1+11+ . . . + n−1 + . . .
,22составленного из членов геометрической прогрессии с показателем q = 1/2, равна 2, то сумма исходного ряда равна 2/3.Задача. Исследовать на сходимость ряд∞ Xn=11(−1) + n2nРешение. Так как ряд∞X(−1)nn=1расходится, а ряд∞X12nn=1сходится, то исходный ряд расходится.10.Определение. Пусть задан ряд (1). Тогда ряд∞Xan+kk=1называется n-ым остатком ряда (1). Если n-ый остаток ряда сходится, то его сумму обозначают rn , т.е.rn =∞Xan+k ≡k=1∞Xak .k=n+1Теорема 1.2 Если числовой ряд (1) сходится, тоlim rn = 0.n→∞Доказательство. Пусть ряд (1) сходится и S — его сумма, т.е.S = lim Sn ,n→∞n —где {Sn } — последовательность частичных сумм. Пусть Smm-ая частичная сумма остатка ряда.
Очевидно, что справедливоравенствоnSn+m = Sn + Sm.(5)Зафиксируем n и перейдем к пределу в (5) при m → ∞. Поусловию теоремы ряд является сходящимся, следовательно,lim Sm+n = S.m→∞С другой стороны, по определениюnrn = lim Sm.m→∞Таким образом, получаем, что S = Sn + rn . Устремляя n к бесконечности, получаем, чтоlim rn = 0.n→∞11Теорема 1.3 (Необходимое условие сходимости ряда). Пустьчисловой ряд (1) сходится. Тогда последовательность его членов {an } стремится к нулю, т.е.lim an = 0.n→∞Доказательство. Пусть Sn — n-ая частичная сумма ряда, Sn−1— (n − 1)-ая частичная сумма ряда, S — сумма ряда.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
