Е.М. Рудой - Математический анализ. Числовые и функциональные ряды (1111805), страница 5
Текст из файла (страница 5)
N зависит иот ε, и от x) такой, что начиная с него, выполняется неравенство|fn (x) − f (x)| < ε.(28)Если же последовательность сходится равномерно на множестве X, то номер N , начиная с которого выполняется неравенство (28) не зависит от выбора точки x ∈ X, т.е. неравенство (28)выполняется для всех x ∈ X и для всех n ≥ N .Теорема 2.1 Последовательность {fn (x)} сходится равномерно на множестве X к функции f (x) тогда и только тогда, когдаlim sup |fn (x) − f (x)| = 0.(29)n→∞ x∈XДоказательство. Пусть последовательность {fn (x)} сходитсяравномерно к f (x) на множестве X, тогдаε∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀x ∈ X : |fn (x) − f (x)| < .2Положимαn = sup |fn (x) − f (x)|.x∈XТогда из свойств точной верхней грани следует, чтоαn ≤ε< ε.2Таким образом, получили, что для любого ε > 0 можно найти такой номер N , начиная с которого выполняется неравенство47αn < ε, где n ≥ N .
Это означает, что числовая последовательность {αn } стремится к нулю.Пусть теперь выполнено (29), т.е.∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N : αn < ε.Так какαn = sup |fn (x) − f (x)|,x∈Xто|fn (x) − f (x)| ≤ αn ∀x ∈ X.Таком образом, получили∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≤ αn < ε,то есть последовательность {fn (x)} сходится равномерно к f (x)на множестве X.Следствие. Пусть|fn (x) − f (x)| ≤ an(30)lim an = 0.(31)для всех x ∈ X иn→∞Тогда последовательность {fn (x)} сходится равномерно к f (x)на множестве X.Доказательство.
Так как неравенство (30) выполняется длявсех x ∈ X, тоsup |fn (x) − f (x)| ≤ an .x∈XТогда из условия (31) следует, чтоlim sup |fn (x) − f (x)| = 0.n→∞ x∈X48Пример. Рассмотрим функциональную последовательность{fn (x)}, гдеnx2fn (x) =, x ∈ R.1 + n2 x2Для каждого фиксированного x0 ∈ X числовая последовательность {fn (x0 )} сходится к нулю.
Покажем, что {fn (x)} сходитсяк f (x) = 0 равномерно на R. Действительно, имеем2 nx2 < nx = 1 → 0|fn (x) − f (x)| = 1 + n2 x2 n2 x2nпри n → ∞.В заключение параграфа докажем критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей.Теорема 2.2 (критерий Коши). Функциональная последовательность {fn (x)} сходится равномерно на множестве X к некоторой функции тогда и только тогда, когда для любого ε > 0можно найти такой номер N , что для всех x ∈ X, для всехn ≥ N и для всех p = 1, 2 .
. . выполняется неравенство|fn+p (x) − fn (x)| < ε.Кратко последние условие можно записать так:∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀n ≥ N ∀p ≥ 1 : |fn+p (x) − fn (x)| < ε. (32)Доказательство. Докажем необходимость. Пусть последовательность {fn (x)} сходится равномерно к f (x), т.е. для любого ε > 0можно найти номер N такой, что для всех n ≥ N и для всехx ∈ X выполненоε|fn (x) − f (x)| < .2Так как n + p > n при p ≥ 1, то для всех x ∈ X, для всех n ≥ Nи для всех p ≥ 1 имеемε|fn+p (x) − f (x)| < .249В результате получим, что для всех ε > 0 существует номер Nтакой, что для всех x ∈ X, для всех n ≥ N и для всех p ≥ 1выполнено|fn+p (x) − fn (x)| = |fn+p (x) − f (x) − (fn (x) − f (x))| ≤ε ε≤ |fn+p (x) − f (x)| + |(fn (x) − f (x))| < + = ε.2 2Теперь докажем достаточность. Пусть выполнено условие (32).Возьмем произвольную точку x0 ∈ X. Тогда получаем, что числовая последовательность {fn (x0 )} удовлетворяет условию Коши, а значит имеет предел.
Обозначим его через f (x0 ) и покажем, что функция f (x) есть равномерный предел функциональной последовательности {fn (x)}. Неравенство|fn+p (x) − fn (x)| < εсправедливо для всех p ≥ 1 и для всех x ∈ X. Устремив p к ∞ вэтом неравенстве, получим|f (x) − fn (x)| ≤ ε ∀x ∈ X.Таким образом, получаем, что для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех n ≥ N и для всех x ∈ X выполняетсянеравенство|fn (x) − f (x)| ≤ ε,что и означает равномерную сходимость на множестве X последовательности {fn (x)} .2.2.
Функциональные рядыОпределение. Пусть на множестве X задана функциональная последовательность {un (x)}, x ∈ X. Пусть x0 ∈ X — произвольная фиксированная точка. Тогда мы можем составить числовой ряд∞Xun (x0 ).n=150Совокупность всех таких рядов называется функциональным рядом, определенным на множестве X, и обозначается∞Xun (x).(33)n=1Функции un (x), n = 1, 2, . . . называются членами функционального ряда (33).Определение.
ФункцияSn (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) =nXuk (x), x ∈ X(34)k=1называется n-ой частичной суммой функционального ряда (33).Определение. Ряд (33) называется сходящимся поточечнона множестве X, если функциональная последовательность егочастичных сумм Sn (x) сходится в каждой точке множества X. Вэтом случае будем писатьS(x) =∞Xun (x),x ∈ X.n=1Определение. Множество всех точек x ∈ X называется областью сходимости функционального ряда (33).Замечание. Область сходимости может не совпадать со множество X, на котором определены функции un (x) – члены функционального ряда.Пример.
Рассмотрим ряд∞X(−x)n .n=1Функции un (x) = (−x)n определены на всей числовой прямойR, но, как известно, ряд составленный из членов геометрическойсходится тогда и только тогда, когда |x| < 1.51Задача. Найти область сходимости функционального ряда∞Xe−nx .n=1Решение.
Для всех x ∈ R имеем un (x) > 0, поэтому можновоспользоваться признаком Коши сходимости числовых рядов.Зафиксируем точку x и рассмотрим√nlim e−nx = e−x .n→∞При x > 0 значение предела строго меньше 1; при x < 0 — строгобольше 1. Следовательно, для всех x > 0 ряд сходится; для всехx < 0 — расходится. Рассмотрим точку x = 0. В результатеполучим ряд1 + 1 + ... + 1 + ...,который расходится.
Таким образом, область сходимости функционального ряда есть интервал (0, +∞).Задача. Найти область сходимости функционального ряда∞ X1−x n.1+xn=1Решение. Во-первых, заметим, что при x = −1 функции —члены функционального ряда не определены. Обозначимy=тогда ряд1−x,1+x∞Xynn=1представляет собой ряд, составленный из членов геометрическойпрогрессии, про который известно, что он сходится только при|y| < 1. Решая неравенство1 − x 1 + x < 1,52заключаем, что область сходимости исходного функциональногоряда есть интервал (0, +∞).Определение.
Функциональный ряд (33) называется равномерно сходящимся на множестве X к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм {Sn (x)} сходится равномерно кS(x) на множестве X.Задача. Исследовать на равномерную сходимость ряд∞Xxnn=0на множествах: а) [−1/2, 1/2]; б) (−1, 1).Решение. Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда :Sn (x) = |1 + x + x2 + . . .
+ xn | =1 − xn+1.1−xДля каждого фиксированного x ∈ (−1, 1) (и, тем более, для x ∈[−1/2, 1/2]) последовательность {Sn (x)} сходится кS(x) =1.1−xРассмотрим 1 − xn+11 |x|n+1−=.|Sn (x) − S(x)| = 1−x1 − x1−xВ случае а) будем иметь|Sn (x) − S(x)| ≤1.2nСледовательно,limsupn→∞ x∈[−1/2,1/2]1= 0.n→∞ 2n|Sn (x) − S(x)| ≤ lim53Это означает, что последовательность частичных сумм ряда сходится равномерно на множестве [−1/2, 1/2], т.е. ряд сходитсяравномерно к S(x) на отрезке [−1/2, 1/2].В случае б) имеем|x|n+1= +∞,x→1−0 1 − xlimследовательно,sup |Sn (x) − S(x)| = +∞.x∈(−1,1)Поэтому последовательность частичных сумм {Sn (x)} не сходится равномерно на интервале (−1, 1), т.е. исходный ряд не сходится равномерно на (−1, 1).Теорема 2.3 (Критерий Коши равномерной сходимости ряда).Ряд (33) сходится равномерно на множестве X тогда и толькотогда, когда для любого ε > 0 найдется такой номер N , чтодля всех n ≥ N , для всех натуральных p ≥ 1 и для всех x ∈ Xвыполняется неравенство n+p Xuk (x) < ε.(35)k=n+1Доказательство.
Пусть Sn (x) — частичные суммы ряда (33).Тогда критерий Коши равномерной сходимости ряда следует изравенстваun+1 (x) + . . . + un+p (x) = Sn+p (x) − Sn (x)и критерия Коши равномерной сходимости последовательностей.Теорема 2.4 (Необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если функциональный ряд (33) равномерно сходится на множестве X, то последовательной его членов равномерно сходится к u(x) = 0, x ∈ X.54Доказательство. Действительно, имеемun (x) = Sn (x) − Sn−1 (x),где {Sn (x)} — последовательность частичных сумм ряда (33).Пусть последовательность частичных сумм {Sn (x)} равномерно сходится к S(x) на множестве X. Тогда и последовательность {Sn−1 (x)} равномерно сходится к S(x) на множестве X.Отсюда получаем, что un сходится к u(x) равномерно на X.Теорема 2.5 (Признак Вейерштрасса). Пусть числовой ряд∞Xan ≥ 0,an ,(36)n=1сходится.
Пусть для всех x ∈ X и для всех n ∈ N выполняетсянеравенство|un (x)| ≤ an .(37)Тогда функциональный ряд (33) сходится равномерно на множестве X.Доказательство. Так как числовой ряд (36) сходится, то длянего справедлив критерий Коши сходимости числовых рядов:для любого ε > 0 существует такой номер N , что для всехn ≥ N и для всех p ∈ N выполняется неравенствоn+pXak < ε.(38)k=n+1Из (37) и следующей цепочки неравенств: n+pn+pn+p XXX|uk | ≤ak < ε,uk (x) ≤k=n+1k=n+1k=n+1справедливой для всех x ∈ X, в силу критерия Коши равномерной сходимости рядов следует равномерная сходимость ряда (33).55Замечание.
Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функциональных рядов.Задача. Доказать, что ряд∞Xn=1n31+ x2сходится равномерно на всей числовой оси.Решение. Для всех x ∈ R имеем11≤ 3.n3 + x2nВ силу того, что числовой ряд∞X1n3n=1сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится равномерно на R.Задача. Исследовать на равномерную сходимость ряд∞Xsin nx, x ∈ R.n2 + x2n=1Решение. Имеют место следующие оценки:x |x|11sin,≤≤nnn2 + x2n|x|для всех x ∈ R \ {0}.
Следовательно, sin nx 1 n2 + x2 ≤ n2 ∀x ∈ R,поэтому исходный функциональный ряд сходится равномернона R.562.3. Непрерывность суммы равномерно сходящихсярядовПусть дан функциональный ряд∞Xun (x), x ∈ X ⊂ R.(39)n=1Теорема 2.6 Пусть ряд (39) равномерно сходится на множестве X к S(x). Пусть для каждого n ≥ 1 существует пределlim un (x) = bn ,x→x0где x0 — предельная точка множества X. Тогда функция S(x)имеет предел в точке x0 иlim S(x) =x→x0∞Xbn .n=1Замечание. Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком суммы:limx→x0∞Xun (x) =n=1∞Xn=1lim un (x),x→x0т.е.
«предел суммы равен сумме пределов».Доказательство. Прежде всего докажем, что числовой ряд∞Xbn(40)n=1сходится, т.к. в условиях теоремы об этом ничего не сказано. Применим признак Коши к функциональному ряду (39): длялюбого ε > 0 существует натуральное число N , что для всехнатуральных n ≥ N , для всех натуральных p ≥ 1 и для всехx ∈ X выполняется неравенствоε|un+1 (x) + . . . un+p (x)| < .257Так как в последнем неравенстве под знаком модуля стоит конечная сумма, то мы можем перейти к пределу при x → x0 :lim |un+1 (x)+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
