И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ф....иногда я просто смотрю перел собой и нн о чем нс лумаю. эб Глава 2 прямой линии, проходящей через пего. Такой обмен положениями называется инверсией. Инверсию можно также представить как последовательное применение двух простых элементов симметрии: оси второго порядка с зеркальным отражением в плоскости или наоборот. Для молекулы, изображенной на рис. 2-46, зто можно было бы сделать, например, следующим обра ом: а) повернуть молекулу на !80"', воспользовавшись связью С вЂ” С как осью вращения, и б) применить отражение в плоскости, перпендикулярно проходящей через середину связи С вЂ” С; или же а) применить поворот вокруг оси второго порядка, проходящей перпендикулярно плоскости С1ССС! через середину связи С вЂ” С, а затем б) использовать плоскость С1ССС1 в качестве плоскости симметрии.
Эти операции схематически показаны на рнс. 2-46, и в обоих случаях результаты инвариантны к порядку проведения указанных операций. Параллелепипед, изображенный на рис. 2-47, — типичный пример тела, обладающего центром симметрии. Каждая вершина, грань, каждое ребро имеют свои аналоги, расположенные по другую сторону от центра инверсии. Если задано некоторое направление в виде линии или имеется выделенная часть некоторой грани, то центр симметрии меняет все н а с! Вт с! - "Я' -' ' 7-!7-' С! й С! Вг Рис. 2-46.
Молекула 1,2-дибром-!,2-дихлорэтана. Центр ее симметрии находится в середине связи С .С. Инверсия эквивалентна пссяедоватсяьному прнмененню операции повороэа вокруг осн второго порядка я отражения в няоскосэн Проюмс н комбинированные тнпм симмс рнн Рис.
2-47. Параллслепипел пример тела с центром сим- метрии направления на противоположные (инвертирует), и именно таким образом возникает линия-партнер нли же часть грани. Шар -это аысокосимметрнчное тело, обладающее центром симметрии. Сопряженные области, расположенные на поверхности шара, связаны друг с другом операцией инверсии в центре симметрии. Географические следствия такой инверсии можно проиллюстрировать с помощью газетной статьи о Новой Зеландии, написанной Джеймсом Ресзоном («Письма из Веллингтона. Там, где кончается радуган) !26); «...
Ничто здесь не напоминает то, к чему мы привыкли. Лето здесь с декабря по март. Оно теплее на Северном и холоднее на 1Ожном острове. Вместо правосторонней системы движения здесь используется левосторонняя. Даже небо здесь другое — темно-синий бархат с созвездием Южный Крест, а рыбы обожают рыболовные крючки...» Столица Испании, Мадрид, приблизительно соответствует инверсии Веллингтона в Новой Зеландии. Центр симметрии или инверсии обозначается в виде !.
Соответствующее комбинированное применение поворотной оси второго порядка вместе с плоскостью симметрии можно представить одним, более сложным, преобразованием симметрии. Такой элемент симметрии называется зеркально-поворотной осью второго порядка и обозначается как кЯ. Таким образом, 1 ж ч, Литературный пример инверсии заимствован павии из рассказа венгерского писателя Фридьеша Каринтн под названием «То же самое в человеке» [27). Приводимый ниже текст отредактирован: в оригинале два отрывка идут один за другим, а нами они сопоставлены параллельно, В рассказе ивтеются три действующих лица: Фокс служащий конторы, Белла -возлюбленная Шандора, начальника Фокса.
Ниже следуют тексты разговоров Беллы с Шандором и Шандора-начальника с Фоксом. Обозначения, Белла = Б, Фокс = Ф, Шандор!Начальник = = Ш,'Н. Прося ыс и кочбппнровзнпыс ~ниь~ сп .~ос~рви ( ллвл ' гч Ш/Н Белла! Если бы только Вы знали, как Вы прекрасно выразили свое состояние... .и это все на мои деньги? Вам лучше обраппься в сумасшедший дом, где имеют дело со случаями, подобными Вашему... Ф. Иногда у меня возникает желание очутиться где-нибудь в другом месте, не там, где я, Я не знаю, где точно, но где-нибудь там, где я никогда не был.
(страстно) Неуклюжая? О нет, Белла, поверьте мне, в этом движении было так много от Вас, от Вашей задумчивости. Я любовался Вами в это время. (Целует ей руку.) Б. Иногда у меня возникает желание очутиться где-нибудь в другом месте, не там, где я. Я не знаю, где точно, но где-нибудь там, где я никогда не была. Белла, как это верно н как это замечательно. Как это Вы сказали? Я постараюсь запечатлеть это в моей памяти... Ф. Господин, я лумаю, что люди родились нс для того, чем им приходится заниматься впоследствии. Б. Я думаю, что люди родились не лля того, чем им приходится заниматься впоследствии.
Белла! Как это верно! И как изыс- канио сказано! Б. (пытается наигранно вздохнузь). Ф. Кто знает? Я и сам не знаю. Ф. (нервно отступая назад, сгалкивает вторую статуэтку). Белла, ... скажите мне, почему Вы вздохнули? Б. Кто знает? Я и сама не знаю. 11 Но я знаю, Белла, ...
это был ответ на мой вопрос. После этого ответа для меня в наших отношениях все совершенно ясно. Я больше Вас не буду спрашивать. Я чувствую, что я Вас понимаю, и я восхищаюсь Вами. Я не хочу от Вас ничего. (Подходит все ближе и ближе к ней.) Б. (пятясь назад, она сталкивает одну из статуэток). О боке! Как я испугалась! Какая я неуклюжая! Ш/Н Сумасшедший дом, сумасшедший дом-вот куда Вам надо. Ш/Н Вы так лумаете? Какую еше ерунлу Вы мне хотите сказать? И не стыдно Вам, взрослому человеку. говорить обо всем этом, вместо того чтобы извиниться за свою тупость? Ф. (вздыхает). Ш/Н Что Вы там распыхтелись? Может быть, хотите меня сдунуть с места? Ш/Н (вставая) Кто знает? Вы сами не знаете? И Вы имеезе наглость сказать все это мне прямо в лицо? Ну, хорошо, скоро Вы все узнаете. это Вам я говорю! (Он приближается, угрожающе размахивая скоросшивателем.) Ш/Н Идиот! Неуклю:кий идиот! Разве Вы не видите? Разве Вам мало, что Вы ничего не сделали по работе, твк Вы еше разбили вещь? Позвольте мне уведомить Вас, что Вы уволены с первого числа следуюгцего месяца.
Убирайтесь отсюда! (Бросает вслед Фоксу скоросшиватель.) Посылают же сюда таких глупцов, чтобы выводить меня из терпения! Зеркально-поворотная ось второго порядка-простейшая из осей такого рода. Предмет, показанный на рис. 2-48,а, имеет зеркально- поворотную ось четвертого порядка. Его можно сделать из куска материала квадратной формы с вписанным наискосок квадратом.
Образуемые в результате этого уголки отогнуты поочередно вверх и вниз, Получающийся таким образом интересный предмет имеет ось 2, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр. Далее, поворот его на 90 относительно оси вращения с последующим отражением в плоскости квадрата приводит к самосовмещению. Эта сложная операция определяется как четверная зеркально-поворотная ось и обозначается как 4. Обобщая все выше сказанное, можно сделать вывол, что зеркально-поворотная ось 2л-го порялка эквивалентна следующим операциям; повороту на угол (Збб/2п)' и отражению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Еще один пример-шестерной зеркально-поворотной оси, 6, - ггоказана на рис. 2-48, б. Следует отметить„ что у предметов, изображенных на рнс. 2-48, могут быть зеркально-поворотные оси только четного порядка (2п). Симметрия снежинки включает этот вид зеркально-поворотной оси. Очевидно, что снежинка обладает центром симметрии. Класс симметрии Рис. 2-48. а пример зеркально-поворотной симметрии четвертого порялка; б — пример зеркально-поворотной симметрии шестого порядка. ьп Глввв 2 61 гн 6:е содержит центр симметрии, возникающий в месте пересечения оси 6 и перпендикулярной ей плоскости симметрии. В общем случае для класса и н: гн с четным и точка пересечения поворотной оси н-го порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии является всегда центром симметрии.
В том же классе симметрии, но с нечетным и, центр симметрии отсутствуе~. 2.5. Особая точка и Г)эансляционная симмсч рия Центр квадрата — это единственная в своем роде точка, не имеющая себе эквивалента. Такая точка называется особой (сингулярной) точкой. Угловая точка (вершина) того же самого квадрата уже не является особой, так как операция симметрии воспроизводит ее, н в целом имеются четыре эквивалентных угла в квадрате. На рис 2-49 показан цилиндр. Его центр — особая точка, а все остальные точки, лежащие на оси вращения бесконечного порядка.
не отличаются единственностью. Плоскость симметрии, перпендикулярная оси вращения, удваивает все точки, лежащие на оси, за исключением ее центра. Если в квадрате произвольно выбрать одну точку, то у нее будет 7 эквивалентных партнеров вследствие операций симметрии, проделанных с квадратом и показанных на рис.
2-50. В целом окажется 8 эквивалентных точек. Если же выбранная точка совпадает с одной из вершин квадрата, то число эквивалентных позиций равно четырем. Ход рассуждений не меняется, если выбранная точка попадает на одну из осей симметрии квадрата. Кратность угловой точки в квадрате, а также любой точки, лежащей на оси симметрии, равна двум. Произведение числа эквивалентных точек н их кратности постоянно (например.
для квадрата оно равно 8). Наконеп, если выбранная точка совпадает с центром квадрата, |о число эквивалентных позиций равно единице, а кратность — восьми. В асимметричной фигуре каждая точка является особой с кратностью, равной единице. Классы симметрии, характеризующие геометрические фигуры или предметы. которые именят хотя бы одну особую точку, называются Рис. 2-49. Центр аиияилрв явняезся особой точкой. Нроссыс н комбинированные ~ниы синие~рви Рис 2-50. Особая точка и кратность точек в квадрате. точечными группами.
Точечная группа рисунка Эшера, воспроизводимого на рис. 2-5),а, соответствует классу симметрии З.нь На рисунке изображены ангелы и летучие мыши, размеры которых постепенно меняются. В центре находится особая точка. Другая работа Эшера показана на рис. 2-51.6. На нем тоже изображены ангелы и летучие мыши, но размеры их одинаковы. Если допустить, что этот фрагмент является только частью бесконечно продолжающегося рисунка, то на нем нет особой точки. Допущение о бесконечной длине рисунка выглядит достаточно естественным ввиду его периодичности. В отличие от этого предыдущий рисунок ограничен окружностью. Отсутствие особой точки приводит к закономерности, выражающейся в бесконечной повторяемости, которая характерна для трансляционной симметрии. Данный вид симметрии не совместим с существованием особой точки, но уживается с наличием особой линии или плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
