И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Этот знак имеет поворотную симметрию второго порядка, которая состоит и том, что поворот на !80 вокруг оси, проходящей через Пентр рисунка перпендикулярно ему, возвращает фигуру в первоначальное положение. Эта ось вращения называется осью симметрии. Геометрический мотив торговой эмблемы, показанной на рис.
2-20,б, 'также имеет поворотную симметрию второго порядка, которая слегка нарушена волнообразной линией в центре. Тайваньская почтовая марка, изображенная па рис. 2-20,», иллюс!рируст тот же тип симметрии на примере двух рыбок„ расположение которых напоминает знак Йинь — Янь. !торлдок поворотной оси указывает на то, сколько раз фигура самосовмещается при полном обороте»». Э,темелтирньц) угол . наимень- " лтот знак использовался в классической китайской философии для отэозначения понятий тьмы и света !солнца).
Более полно он изображ»ется слелу~ащим образом. волнистая линия разделяет двв одинаковых по пяошвдн пояя черного н белого цвета, на каждом поле имеется небольшой кружок, окраска которого контрастирует с окраской ноля, ~ .е. круг белого цвети на черном поле и наоборот Более широкое толкование этого символа, необходимое лля правильного понимания цитгпы, приводимой в подразл.
2.3.3.1, соотнстствует лиалсктичсской борьбе протиноположностей У!Рпл лер»». * В соответствии с системой. принятой в кристяллохимии, при переводе мы будем обозначать поворотную ось л-го порядка просто символом л, з.е. выражение «ось 2» надо понимать как поворозиуш ось 2-го порядка.
Ир»и л»ре». !.ыял 2 )))5ос~ыс и ьочоииираялил лс ~ш ы сп 5че|рии Рис. 2-20. и -контур знака йинь Ян5ь лежащий в основе гербов Южной Кореи; б. эмблсча венгерской кампании по произволству стиральных машин НАЛП/ЯАОг! !РАКМОЧЕК; ы- тайваньская почтовая марка. ший угол поворота, необходимый для того, чтобы фигура совместилась сама с собой. Так, для оси 2 порядок равен 2, а элементарный угол — 180". Соответствующие характеристики оси 3 таковы: порядок равен 3, а элементарный угол-120". Рис.
2-21 демонстрирует оси 2 и 3 на примере скульптур переплетающихся рыб. Скульптурная группа из трех рыб в Праге подобна скульптуре из двух рыб в Вашингтоне. На рис. 2-22 показаны два дополнительных примера с осями 3. Вертушка, известная детская игрушка (рис. 2-23, и), обладает осью 4.
Та же самая симметрия и у свастики-знака, ко~орый использовался в орнаментах с доисторических врелген, но у нас ассоциируется с позорным периодом нацизма и третьего рейха в Германии. Антинапистский плакат Джона Хартфилда (1934 5,) т!13 иллюстрирует этот тип симметрии (рис. 2-23, б). Розетка на регалиях первого веш ерского короля (рис. 2-23,в) и украшение американских индейцев (рис. 2-23,г) также и.плюстрируют ось 4.
Американские вышивки дают обильньгй материал по всем типам симметрии. Отдельно прсдставленныс разновидности поворотной симметрии обычно редки, но они часто встречаются в вышивках так называемых символов дружбы, которые служили для обмена в кругу друзей. На рис. 2-23, г) показан вышитый венок из листьев дуба, имеющий ось 4; он служил главным образом для украшения жилища мужчины, поскольку считался символом силы, благородсгва и вместе с тем простоты [13!. Медуза и цветок, показанные на рис. 2-24, -примеры наличия оси 4 в живом мире. Рис.
2-2!. и — поворотная ось симметрии второго порядка в скулыпуре двух переплетаю- щихся рыб (Вашингпон). Фата авторов; б -поворотная ось симчегрии ~ретье~о порядка в скульптуре трех переплетающихся рыб (Прага). Фото авторов. Рис. 2-22. и- трехлопасзный пропеллер; б оконное украшение с осью симметрии третьего порядка в ан5ичном игальянском городе. Фото авторов з Рис. 2-23. и летская вертушка; б - плакат Джона Хартфилгга иКровь н железо», !934 [! Ц.
Воспроизводится с разрешения Ъ'сг)ак дсг Капа!, (Эгезбеп; в -розетка на регалиях первого венгерско~о короля; г украшение американских индейцев (Южные Аппалачи) [!2); д символ лружбы вьнпитый венок из листьсн дуба [)3). а б Рис. 2-24. а медуза (дите!га (лги(гнг(а), имеющая ось симметрии четвертого порялка [6): б цветок (Инга налог) с осью симметрии четвертого порядка. Фото авгоров. Простые и комбзнннрованпыс тгппа снм л~стрии В живом мире крайне редки случаи проявления гпотгькгз поворотной симметрии [63.
Примером может служить вышеупомянутая медуза. Ее исключительно поворотная симметрия может быть слсдсгвием предпочтительности вращжгст ного движения в процессе захвата пищи. Лепестки цветов наподобие лопастей вентилягора обусловливают наличие поворотной симметрии, это явление-не редкость в мире цветов. Правда, происхождение некоторых из таких разновидностей можс! быть связано с генетическими мутациями цветов с более высокой симметрией.
На рис. 2-25 показаны фотографии каменных обломков, найденных на древней Аппиевой доро! е в Риме, с изображением двух цветков: один из них имеет тозгько поворотную симметрию, а другой более высокую симметрию. Поворотная симметрия с осью 5 пидна на цвеыгх, показанных па рис 2-26, а ось б характерна для звезды царя Давида и шестилопастного колеса ветряной мельницы (рис. 2-27) Порядок оси вращения (л) может быть любым целым числом аг единицы до бесконечности, ), 2, 3, ..., со.
Порядок ! означает. что необходимо сделат ь полный оборот для самосовмещения фи! уры; гаким образом, симметрия полностью отсутствует, т.е. имеет место асим)метрия. Ось ! является оператором идентичности, оставляющим фигуру на месте. Противоположная крайность это ось симметрии бесконечного порядка. Наличие ее означает, что любое, даже бесконечно малое вращение приводит к совмещению. Круге!ни пластинка не может быть полностью удовлетворительным примером, так как она дополнительно к оси вращения бесконечного порядка имес! плоскости симметрии Если же ее привести во вращение (рис. 2-28), то она гсряет плоскости симметрии, а остается только ось симметрии бесконечного порядка*.
Серия розеток, имеющих только поворотную симметрию, показана на рис. 2-29. (!оворотная симметрия в чистом виде часто нсгречасгся в декоративном народном искусстве. Наличия многих плоскостей симметрии удастся избежать путем переплетении мотивов. Опубликован [(43 подробный анализ симметрии для орнаментов, выполненных на гончарных изделиях индейских племен Пуэбло (шт. Ныо-Мексико и Аризона, США). Отмечено обилие рисунков, содержащих только поворотную симметрию (рис.
2-30). Для покоящейся круглой пластинки любая лерпснлнкулярная плоскость. содержащая поворотную ось, будет однонремснно и плоскостью симметрии. Если же пластинка вравшстся то отражение в такой плоскости должно изменгг~ь ггллреегеггне вращения иа противоположное, т.е. враща~опзаяся пластинка лингаегск плоскостей симметрии. Таким образом, появление у предмета ноных физических кгчсств (н данном случае тго движение) способно повлиять на сто симмст(зню. — Ггркзь нерее. Рис. 2-25.
Цветы (резьба по камню) иа каменных обломках, найденных вдо.п, Аппиевой доро~и в Риме. древнси Левый пветок имеет только поворотную ось четвертого порядка, в правый -сочетание иоворогной оси с проходящими уерез нее плоскостями симметрии Фото авторов. Рис. 2-27. и-звезда даря Давида (г)сш 'т'огк, 5 Аксппе апт) 'учг 65 бггеег). Фото авторов 6-шсстилопастное колесо ветряной мельнипы Рис. 2-28. Вращающаяся круглая пластинка обладает поворотной осью бесконечного порядка.
Если останови~ь вращение, то бесконечное число плоскостей симметрии, проходящих через ось вращения. становится очевидным. с Рис 2-26 м 2 2й мг б Цветы, обладающие только осью симметрии пятого порядка о — Юота ьнвог )Венгрия). Фо~о авторов, й-йгакцшаш (Р)гвв па срогуоагеа) )Гавайи). С разрешения )овв твс)гег. ткпвюввг)с Рного сьь, !984 Рис.
2-29. Розетки с поворотными осями симметрии. Они нарисованы Балаткем Харгнттаи т)980 г) с помощью детской игрушки-спирографа. 1лаьа ' Рис. 2-30. Орнаменты на гончарных иэделиях внлейехих племен Пуэбло, облав«миг«с только поворотной симметрией 1!4]. Восггроиэвол«гся с Разрешения. Сс) 1977 1гу гйе Ргемдепг апг) Рейожх о1 Иаггагд Со!1елс. !1р«ь ~ ы. и,.гмгб«г«г!эгг~ггньыс г««ьг .«мое ~ !г«« "г ЕОМ!)1!!!И])г)ВИ!!г!ЫС ТИПЫ СИММСТРИИ Плоскость симметрии н поворотная ось являются элемен гамп симметрии. Если фигура имеет элемент симмез рни, то она симметрична. Если же в ней нет элемен) ов симметрии, то она асимметрична, Но даже асимметричная фигура обладает осью симметрии 1-го порядка илн, точнее, имеет бесконечное число таких осей.
Применение того или иного элемента симметрии есть операция симметрии. В соответствии с этим элементы симметрии также называют операторами симметрии. Результатом операции симметрии является симметрическое преобразование. Строгие определения относятся к геометрической симметрии, но они нам понадобятся только в качестве путеводной нити. В пашем рассмотрении главным образом не! еометрических видов симметрии мы будем следовать этим определениям на качественном уровне, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
