И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 13
Текст из файла (страница 13)
На рис. 2-73 показана модель Солнечной системы по Кеплеру, построенная на правильных полнэдрах. Согласно этой модели, наибольшее расстояние какой-либо планеты от Солнца находится в постоянном Рис. 2-7К Ралиолярнн из книги Геккеля [!57. Рис. 2-72. Художественное восприятие пентагонального до- декаэдра. Хорст Янссен «Кристаллический не- вольника. Воспронзводнзся с разрешения.
отношении к наименьшему расстоянию от Солнца следующей, более удаленной, планеты. Во времена Кеплера в Солнечной системе было известно шесть планет, и, чтобы описать их расстояния, необходимо было использовать пять отношений. Кеплер поместил правильные многогранники между соседними планетами таким образом, что наиболыпее расстояние от Солнца внутренней планеты соответствовало сфере, вписанной в полиэдр, а наименыпее расстояние внешней планеты соответствовало сфере, описанной вокруг него. Артур Кестлер в книге «Лунатики» [5Ц назвал планетарную модель Кеплера его всамой заметной ошибкой».
Однако зта планетарная модель, являющаяся в то же время моделью плотнейшей упаковки, символична в том смысле, что, вероятно, представляет наиболее удачную попытку Кеплера в достижении единого взгляда на астрономию и на то, что сегодня мы называем кристаллографией. Отношения расстояний планет от Солнца, измеренных Коперником, и отношения радиусов сфер, вписанных и описанных, применительно к данному полиэдру приведены в табл. 2-4, следуя Шпееру [52), цнтирующего Кеплера [502. Имеется несколько превосходных монографий, посвященных правильным фигурам; две нз них [48, 537 заслуживают особого внимания.
Рис. 2-73 Планетарная модель Кеплера, основанная на правильных полнэдрах [507. Гми' .! хь Отношение рвгстоянив от внутрен- ней планеты к расстоянию вт внешней пявнеты 1 х 1ООО) но двнныы Коперника Отношение радиуса вписанного шара к радиусу описанного шара (х 1ООО) !000 Сатурн 572 Юпитер/Сатурн 290 Марс/Юпитер 658 Земля/Марс 719 Венера/Земля 500 Меркурий/Венера 577 333 795 795 577 Куб Тетрвэлр Додекаэдр Икосвэлр Октаэлр Твблнпа 2-4. Соотношения Кеплера )согласно Шпееру [521) Все платоновы тела высоко симметричны и поэтому имеют одну общую характеристику.
Она состоит в том, что любая из осей симметрии не является единственной, а всгречается несколько раз. Пять правильных полиэдров распадаются на три класса по признаку симметрии: Тетраэдр 3/2 гл = 3Я Куб и октаэдр 3/4.гл = б/4 Додеказдр н 3/5 гл = икосаэдр = 3/!О Для класса симметрии тетраэдра сушествуют два эквивалентных способа описания: 3/2 гл или же 3/4. Наклонная линия, связываюшая две оси, показывает, что они нс ортогональны. Символ 3/2 гл обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис, 2-74.
Класс симметрии 3/2 гн эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраздра и центр его противоположной грани, Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка.
Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90х относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии.
Это доказывает эквивалентность обоих описаний. Характерные элементы симметрии куба показаны на рис. 2-74. Через центр куба, параллельно его граням, проходят три различные плоскости симметрии. Кроме того, шесть плоскостей симметрии включают ребра на противоположных концах фигуры, диагонально рассекая ее грани. Четверные оси соединяют середины противоположных граней.
Шестерные зеркально-поворотные оси совпадают с осями 3. Они соединяют противоположные вершины и направлены вдоль диагоналей куба. Символ б/4 непосредственно не означает наличия плоскостей симметрии, 1!рог~и и лоыбииирггниинию ~иил~ 'иымс~)н~и Рис. 2-74. Хврвктерньш элементы симметрии пватоновык тел. соединяющих середины противоположных ребер, оси второго порядка и центра симметрии. Всс упомянутые элементы порождены друг'ими. Так, наличие центра симметрии у куба вьнекает из того, что каждая грань и каждое ребро имеют своего собственного партнера, ориентированного параллельно.
В отличие от этого тетраэдр не имеет центра симметрии. Октаэдр находится в том же классе симметрии, что и куб. Наиболее заметна антипараллельная ориентация его граней. На рис. 2-74 показано, что его оси 4 проходят через противоположные вершины, оси 3 — через центры граней, а осн 2- через середины ребер.
Пентагональный додскаэдр и икосаэдр принадлежат к одному' классу симметрии. Оси 5, 3 и 2 пересекают центры граней„вершины и ребра додеказдра соответственно (рис. 2-74). Для икосаздра соответствующие оси псрссекают вершины, центры граней и середины ребер трис. 2-74). иьв ьх З Рве. 2-7б Некоторые полупраннльныс полнэдры. Следовательно, в пяти правильных полиэдрах просдеживнется дуалистическая связь, если рассматривать их грани и вершины.
Тетраэдр дуалистичен сам па себев (табл. 2-3). Если определение правильных многогранников не ограничивать выпуклыми фигурами, то их число возрастет с пяти до девяти. Дополнительные четыре фигуры показаны на рис. 2-75, а подробные сведения об этом можно найти, например, в книгах [48, 533. Их общее название — звездчат ые многогранники.
Шир заслуживает того, чтобы о нем упомянуть. Это одна из наиболее простых возможных фигур и в то же время это фигура с высокой и сложной симметрией. Шар имеет бесконечное число поворотных осей бесконечного порядка. Все онн совпадают с диагоналями этой фигуры, проходящими через ее центр.
Этот геометрический центр, являющийся особой точкой, есть также центр симметрии. Для описания фигуры в качестве основных элементов симметрии можно выбрать следующие; две неперпендикулярные друг другу оси бесконечного порядка и одну плоскость симметрии. Следовательно, класс симметрии шара обозначается как х,7х нь Касаясь симметрии шара, Кепес [543 цитирует Коперника: и... нз всех существующих форм сферическая наиболее совершенна и не нуждается в пояснении; шар имеет максимально возможный обьем и наиболее подходит в качестве фигуры, вписывающей в себя все остальное; все изолированные части Вселенной — я имею в виду Солнце, Луну и заезды шарообразны согласно наблю- Рнс.
2-75. Четыре пранндьных звсздчатых полнэдра. * Возможно, отмеченный луалнзм станет яснее, если ввести донатас нзанмности полнэлрон. которое поясним на примере куба н октаэдра. Если в одном нз этих многогранников соединить прямыми линиями центры соседних граней, то а Результате получается второй много~ ранннк. Взаимность додскаэдра н нкосаздра монсе очевидна, но она с>щсстаустт Если жс указанную операцию проделать с тстраздром, то получится тоже тсграэдр. Прим, перев. дгниям; все тела, которые могут оформить себя сами, стремятся быль шарообразными, как это видно по каплям воды или других жидкостей.
Таким образом, не нужно сомневаться, что сферическая форма — это лучшее, что есть в мире, и что эта форма божественнан. Кроме правильных многогранников имеются сше различные семейства полиэдров с убывающей степенью резулярности [48, 53, 553. Так называсмые полуправидьные, или архимедовы, многогранники подобны платоновым телам в том отцошенни, что все их грани правильныс многоугольники, а все их вершины совместимы. Однако не все многоугольники, образующие их грани, одинаковы. Тринадцать подобных многогранников перечислены в табл.
2-5, а некоторые из них показаны на рис. 2-76. В табл. 2-5 также приводятся их поворотные оси. Простейшие полуправильные полиэдры получаются из правильных путем симметричного усечения их вершин. Таковы усеченные правильные многогранники, помеченные в табл. 2-5 верхним индексом каа. Два из полуправильных многогранников занимают особое место и называются квазирегулярнымн; они помечены в табл. 2-5 верхним индексом «б». Оба многогранника имеют два вида граней, и каждая грань одного вида целиком окружена гранями другого вида.
Остающиеся шесть многогранников могут быть выведены из предыдущих случаев. Важными полиэдрическими семействами считаются призмы и аитипризмы. Призма построена из двух одинаковых и параллельных граней, соединенных друг с другом параллелограммами. Антипризма также имеет две одинаковые и параллельные грани, но они соединены с помощью треугольников. Сущест вует бесконечное число призм и антипризм; некоторые из них показаны на рис. 2-77. Призма или антипризма является полуправильным полиэдром, если все ее грани .
правильныс мно~ оугольники. Куб можно считать квадратной призмой, а октаэдр- треугольной антипризмой. 'сп Г.ыв> 2 Пра(>ьк и >(и('пннрааннные и!Пы спч>мс(! нп Таблица 2-5. Тринадцать полуправильных полизлров Числа паварагных асей Номер Название Число 5-га граней вери(нн ребер 4-га поряд- ка 3-га повял- «а 2-га «арап- ка парял- кв 12 18 3 4 24 36 6 4 24 36 6 4 Усеченный 8 тетраэдр' Усеченный 14 куб" Усеченный 14 актаэдр' Кубооктаздрь 14 Усеченный 26 кубооктаэдр Ромбокубо- 26 октазлр Курносый куб 38 Усеченный 32 додекаэлр' Икосоло- 32 декаэдр« Усеченный 32 икосаздр' Усеченный 62 икосодолеказлр Ромбнкосодо- 62 декаэлр Курносый 92 лодскаэдр 6 4 6 4 24 72 12 48 24 48 6 4 24 60 6 4 60 90 15 10 30 60 15 !О 0 10 60 90 15 10 120 180 15 1О 60 120 15 10 13. 60 150 15 10 ' Усеченные правильные палнэлры.
«Квазнрегулярные палнэлры Рис. 2-77. Призмы н антипризмь> Имеется еще несколько дополнительных многогранников, играющих важную роль при обсуждении геометрического строения молекул и кристаллов. Литература 1. Манн Т. Собрание сочинений. В 10 томах. -Мэ ТИХА, 1959, а) Том 3, с. 483 (перевод В. Станеннч); б) Том 4, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
