А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 71
Текст из файла (страница 71)
х' = )п(Зе' — 2 созе), у' = 2е' — т)г8+129; (О, О). 19. х' =ый(а — д) — -~-х, у' = 1/9 + 2х — 3, У = --3-у; (О, О, 0). Исследовать на устойчивость указанную точку покоя систем: 20. х" = 2х — )у+ ау, у" = х — 2у+ х'+у'; (О, 0). 21. х" = ет — И у" = )п(1+я); (О, 0). 22.
х" + Зу' — х + соз у = О, х' + Зу — ем + 1 = 0; (1, 0). 23. х" — 2У" + е" — 1 + з)д(х — ЗУ) = О, 4У" — 2х" — Яп х + 2х/) - За т 5У вЂ” 2 = 0; (О, О). 24. х" = -4ъ/) -2х — мну+4, у" = )п(1+а); (О, О). 25. х" = х — у, у' = е™ вЂ” е"; (О, О). Используя вюрой метол Ляпунова, исследовать на устойчивость нулевую точку покоя слелующих систем: 26. х' = д — Зх — х', у' = бх — 2у.
27. х' = -ху, у' = -х~. 28. х' = -у — ху~, у' = 2х — у — у . 29. х' = 29 — х', у'= 2х — у~. 30. х' = Зу' — х', у'= -Зх' — д'. 31. х" = — у',у" = х' . 32. х' = уз, у' = -х' . ЗЗ. х' = -х + Зу + х, у" = -у — у — Зх. 34.х~~=-хз-уч-х~-х, у'=х" +9~+9.35.х'=-д'-х-ху'~ у"=х-у-у'. 36. х'=-х-ху, уе=-у~+я~.37. хч=-х'-у-х-хд', д'=-у+х'-у'. Глава 7 Метод интегральных преобразований Лапласа решения линейных дифференциальных уравнений При построении решения задачи Коши для определения соответствуюших произвольных постовшых необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений.
Этопз можно избежать, если лля построения решения указанной задачи применить могол интеграяьных преобразований Лапласа. Тогда получим решение задачи, не используя общею решения уравнения. Этот метод, который получил название операционного нли символического исчисления, широко применяется для решеш я многих классов линейных дифференцначьных уравнений, как обыкновенных, так и в частных произаолных, а также линейных и1пегро-дифференциальных уравнений типа свертки.
К стим классам уравнений приводят многие задачи электротехники, радиотехники, теории автоматическою регулирования н ряда других обласшй науки н техники. $1. Преобразование Лапласа. Основные понятии и свойства 1.1. Оригинал и изображение. Фуикцлей-орлгавалом будем называть любую функцию у; )(1 -г С, определенную на всей числовой прямой х( и удовлетворяющую следующим условиям: 1) 1 — непрерывна» или кусочно-непрерывная функция вместе со своими производными и-го порядка на всей числовой прямой; 2) 'г( < 0 Х(1) = О; 3) сузцествуют такие постоянные И > 0 и а > О, что Уг > 0 справедлива оценка ~ч(1)/ < Ме" .
Показателем роста функции у" называется число а = шЦа). Для ограниченных функций считаем„что а = О. Условия 1) и 3) выполняются шш большинства функций у, описываюших физические процессы. С физической точки зрения условие 2) вполне естественное, поскольку для физики безразлично, как ведут себя искомые функции до начального момента времени, который всегда можно принять за момент 1 = О.
Операционный метод приспособлен к решению дифференциальных уравнений с начальными условиями, о чем упоминалось выше. Простейшей функцией-оригиналом является функция Хевисайдл О, где ( О, если 1 < О, 1, если Г>0. Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 324 Если функция ор удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет условию 2), то произведение О, если 1(0, о( р«), если 1> 0 удовлетворяет условию 2), т. е. будет оригиналом.
В дальнейшем множитель 0 будем опускать в записи функций, очная их равными нулю при 1 < О. Определение. Изобрахсением функции 5 по Лапласу называют функцию комплексного переменного р = о + (а, определяемую соотношением Г(р> = ~ У«>е-" дй (1) о Связь между функциями 5 и Г символически обозначается знаком ф, т. е, 7 Ф Г. Смысл этого обозначения состоит в том, оригиназу 7' сопоставлено изобрюкение Г, а изображение Г имеет своим оригиналом у. Если функция У вЂ” оригинал с показателем роста а, то функция Г существует в полуплоскости Р = (р Е С ~ Ке р > а) и является в ней аналитической функцией.
12. Свойства преобразования Лапласа. Теорема 7 (свойство однородности). Если У ф Г и а б С, то а5 =' аГ. Теорема 2 (свойство линейности). Есин Д, =' Г,, Кср > и! (7' = 1, и), гпа (г, Тг Ф > (ггГы Кс р > лбах а>, од><о где р, — заданные посгпояшоые чита, дебстоитепьлые или комплаконыа, и, — показатели роста функций Д,. Теорема 5 (свойство подобия) . Пусть 1 ф Г, Кер > а, Тогда )Г!3 > 0 ,у(171>=: >Г®. Теорема 4 (заназдывания). Если 5 =' Г и г > О, то 5« — т) кэ е г Г(р). Смысл этого соотношения состоит в том, что смешению аргулгснта в классе оригиналов соответствует операция умножения на экспоненту в классе изображений. Теорема 5 (опережения).
Если у ф Г и т > О, то го )о."(гпп-(. 'лов). о Следстаие. Есои 5 — Т-периодическая функция, гпа г Г(р> = „ / У«) "'дй о Теарелоа б (смещения). Если Г Ф Г, ро б С, та 'Г =: Г(р - ро>. Теорема 1(о дифференцировании оригинала). Есои У =; Г и функции >ого(й = 1, и) являются оригиналами, та У'«> =. рГ(р> — У(0>; У~ 1«) =. р Г(р) — ру(0) — Т (0); уоы«> =;р"Г(р> — р" 'ио> — р" 'Г'(о> — ... — уы О(о>, где Ги'(0) = !пи гон!«) (>о = О, и — О а оби(ем случае.
Ф 1. Преобразоаовве Лапласа. Основные понятия в свойсгва 325 Теорема р(о лифференцировании изображения). Если Р Ф 1, Кер > а, то Г (р) Ф -11(1); Р'в(р) =; 1'1(1); Роо(р) Ф (-1)"1" У(1). Теорема 9(об интегрировании оригинала), Если г =' Р, Кер > а, то / Т(т)дт ф Г(р) р Теорелго И (об интегрировании изображения). Если ( Ф Р, Кср > а и ингнегугл Г(д) дд сгодится в нолуклоскоссни Р = (р б С ! Кср > а, > а), то . У(1) Р(д) дд = Р Теорема 11 (о предельных соотношениях). Если ( является оуигинолои аяесте со своей' производной Т' и Р Ф (, то йш рр(р) = 1(0), где р л со внутри уто !агрр! < г — д и л 1(0) = 11га 1(г) Если, кроле о~ого, существует !!ш ((1) = У(+со), гно йш рГ(р) = ((+со).
с-. л ил р-л Найти изображения функций. 671). йзуггюниг хеаисайда г). ° Ф Согласно формуле (! ), и. 1.1, имеем Г(р) = / г!(1)е " д( = 1нп /е л дг = !ип в о Если Кср > О, то йш е 'г' = О. Следовательно, рс ыл 1 Кер> О. М ' р' -сл — и е е "' '"д( = 1!и *-.н р — а в Таким образом ас, е =', Кер> Кеа. в. р — а' 681.
1(1) = а (а > О). т Представим функцию 1 в виде а' = ен"' и воспользуемся решением предыдущего примера. Получим а Ф 1 Кер > 1па. м ' р — !па' 680. г(1) = е". а Согласно определению, получаем: Г(р)= /еае яд(= /е О !д(= йа в а 1 е О ! ! 1 Игп — — — / = —, если Кер > Кеа. (р — а р — а / р-а Гл. 7. Метод ввтмральимх преобразований Лапласа 326 682.
2(() = 1", а > — 1. и По опрелелению изображения имеем Е(р) = (' 1 е ой Полагая р( = т, получим а Г(р) = — / е т г(т, — р.+ / Рье. 94 где у — луч с направлением ~ агй р~ < ~2 (рис. 94). функция т ~-~ е 'т' аналитическая в полушюскости Т = (г Е С ~ йет > О). рассмотрим замкнутый контур Ь, составленный из упорядоченного набора (Т„ул, Т ) ориентированных частей (см. рис. 95). По теореме Коши лля аналитических функций имеем е т йт=/е "т г)т+/е т от+(е т от=О, тн откуда е "т йг= ((е 1 4И+/ е 'т 4)т 7! 7Я е 'т'лт = — /е 'т"от и что т = ! на 11). Поскольку 1пп е 'т~ = и( У4 (принимая во внимание, что = О, то !!гл ) е 'т"4(т = О.
Следовательно, л-т: .! за е 'т'от= / е '1"~й=Г(а+1), а+1)О, 7 О где à — гамма-Функция Эйлера. Таким образом, 1" ф,, а> — 1, йер>О. Г(а+ 1) (1) Полученный результат можно распространить и на случай, ко~да а < — ! л а ~ -и, и Е И, и > 1, Для этого воспользуемся известным свойством Г-функции, вырюкенным формулой: Г(и+а) =(и+а — !)(п+а — 2) ... аГ(а), а > О, которая позволяет продолжить ее на отрицательную полуось с вмброшенными точками х„= -и (и Е РВ, полагая Г(и+ а) Г(а) = — и < а < -и+!.
а(а + 1) ... (а + и — 1) ' Дл» рассматриваемого случая а < — ! Л а эь — и, и Е !(, и > 1, имеем Г(п + а 4- 1) 4 ф ' (а+1)(а+2)" (а+и)1 " В последнем случае оригинал и изображение будем называть обобнгеннмии. и 683. Г(1) =("'з и В соответствии с формулой (1) из примера бе2, имеем Г(+3) Воспользуемся известными свойствами Г-функции: (2и — 1)й (2и)! Г(а+1) =аГ(а), Г(и+ ч) = з/я= — з„ъlю (2) 327 и 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства Пол>чаем Г(п+ 2) = (п+ — ) Г(п+ 2~) =, „, гт С вЂ” „„г ' З ! > (2п+ 1)! „(2п+ 1)!ъгв В частности, ггС =: 2 т .
Ь. м Рг 684. С(с) = —,. м Применим формулу (2) из примера 682. Поя>чим 1 Г(2) ( 1)" >гя2" 3 ! ( и ч .2) ( и+ з),, ( ! )р "" (2п — !)лр' "'г В частности, — =' '-'. Ь ч'С ' Ч Р ' если О<С<а, 685. С(С) = 2а — С, если а < С < 2а, О, если С>2а,С<0. М Применим формулу (1), и. 1.1.
Получив>, интегрируя по частям.' 2 Р(р) = / Р(С)е 2'2(С = ) Се ~ 2(С + /(2а — С)е г~гСС = о Таким образом, (-1)" >/я 2'"п! г (2п)!р ' — е '2 = — (1 — е '") 2 Р2 1 Р(С)=: —,( — е") . 686. а) )(С) = йпС; б) ~(С) = з)21; в) С(С) =сов!; г) 1(С) =с)>С. ° В Воспачьзуемся решением примера 680: е" =', если Кар > Ке а. 1 р — а а) ми С = —, (е' — е ' ! Ф вЂ” ~ — — ) = 22 22 (р — 2 РЬС) !>г+!' в) созС = — (е' + е ) =; — ( + —.) = 2 ' 2 (~р — 2 р+г) р'+1' )у ! ! > р г) с)>С = — (е -Ь е ) Ф вЂ” ~ — Ч- — ~ = 2 2(,р-1 Р+1) р -1 При решении примера применяли свойство линейности преобразования Лапласа.
Ь 687. а) С(С) = з(па!; б) у(С) = з)2 а!; в) у(С) = сова!; г) С(С) = с)2 а!. м Воспользуемся теоремой подобия и предыдушим примером. Имеем 1 1 а а) ппаС =;— а дг+1 р'+аг га а б) гзйа( = з)п(аС =;,, айаС =' 2 ! (а)2' 2 22* Р р 2 (к)2 2 1„22' г) сиаС = соз(аС =',, с)гаС =; Р . Р . Ь ' рг+(Са)' Рг — аг Гл. 7.
Метод иитяральиых преобразований Лапласа 328 688. а) 7(С) = сов'аС; б) 7(С = сЛ'аС; в) 7(С) =яп'аС; г) у(С) =зЛ'аг; д) 3(С) = япа(соз)3С; е) 3(С) = япйгсЛ131; ж) С(С) = соя агзЛ)3С. и а) представим функцию у в виде 7(с) = т(1+ соз2ос) и воспользуемся изображениями 1 функций ~1(С) = 1 (см. пример 679), функции 72(С) = сот 2аС (в примере 687, в) вместо а берем 2а), а также свойством яинейности преобразояания Лапласа. Получим: 1 (! р ) р'+2а' соз аг =' — — + 2 ',р рг+ «йг/ р(рг+ 4а') б) Запишем функцию 7 в виде Я) = соз'гй( и воспользуемся решением примера а). Находим р'+ 2(га) рг — 2а сЛ а(ф ' р(рг+ 4((а)2) р(рг 4аг) ' в) Поскольку згп йг = 2(1 — воз 2й(), то 1 г .
1/1 Р 2 (,р р'+«аг/ р(р'+ 4а') г) Воспользуемся равенством 1 зЛ аг =яп гаг и решением примера в) Имеем 2 2 2 ° 2 2 2 гд П) й 2 21" 2 г 2 2 2 11Л аг=яп гага =1, 5Л йггр . Р()гг ««(га)2) р(р' — 4аг)' ' р(рг — 4аг)' д) Представим функцию !' в виде 7(С) = 2 (з!п(а —,3)С «-яп(а+)3)С) и воспользуемся решением примера 687, а). Получим 1 ( а — (3 а-Ь;3 ) й(Р +а — р) 2 (Рг+(а — 23)2 Р','-(а+23)2./ (р'+(а — С))2) (Р'+(а+)3)2) е) запишем функцию 7 в виде япа( ел(31 = яп а( сов гсзс.
тогда, согласно д), имеем а (р'+ а'+ 23) а (р'+ а'+)3) 5!пй(сЛ/31 ф (рг+ (а — 1)3)2) (рг + (а + 1(3)г) (112 1. а2 )32) 1 «йг)32 ж) представим функцию 7 в виде созасзл)гс = -гяпссуссозас. Решение примера сводится к случаю д). Получаем 1( 1)3 — а 1С)+ а сова(зЛ)3С ф — — + ) г р 2 + ( 1 р + а ) г у 1 ( д + Са )3 — га '1 (3(р' — а' — 23') 2 (,рг + аг — (32 — 12аг3 рг «аг — 232 + 12а)3! (рг + аг — )32) + «аг(32 689.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
