А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда данная система принимает вид: ~с — 2 г(~-г) -ь ( — Ф(ь ч — (). Применяя к правым частям этой системы формулу Маклорена и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: Ч 9 = -24 — 29. Корни характеристического уравнения Л,, = Т вЂ” действительны и имеют одинаковые знаки, зя ъгз поэтому особая точка — узел. Следовательно, согласно п. 2.2, точка (-2, 2) является узлом и для ланной системы. Наконец, полагая х = 1+ б, у = -1+ г), данные уравнения после аналогичных выкладок приводим к укороченным: 2 4' ПосколькУ коРни хаРактеРистического УРавнениа (Льз = — 4 — ) комплексны и неЛьз и О, то зяг )Л особая точка — фокус.
Такой же она будет и для данной системы. > Лгхг — у+2=2, х +яр=О имеет решения: х| — — О, хз — — —, хз — — 1 и у, = -2, уг — — 2, уз —— -1. Следовательно, точки (О, -2); (-2, 2); (1, — 1) — особые. Сделав замену х = С, у = -2-1. О, пРиводим Данную системУ уравнений к аиду: 4 = у(бз -9+4 — 2, О = агсгйс(-2 тс+г)). Разлагая правые части этих уравнений по формуле Маклорена и удерживая лишь линейные члены, получаем укороченную систему Гл.
6. устойчнаасть и 4азовые траекнгрии 300 646. х=1п, У=х — У . У вЂ” У+! . г 3 ч Из системы уравнений у — у — 2=0, х =у г г г находим координаты особых точек: (-1, -1); (-2, 2); (1, — 1); (2, 2). Полагая х = х(+ б„у = = -1+ г), приводим систему дифференциальных уравнений к укороченному виду: 6=-9, Ч=х2(+29. Из характеристического уравнения -' 1=' на основании п.2.2 слелует, что точка (1, -!) — фокус (Л, г — — 1 х г), а тачка (-1, -1) — седло (Л~ г — — 1 * гг3). Аналогично, положив х = х2+ (, у = 2+ г! н удержав линейные члены, из данной системы получаем укороченную: 6 = О, г! = ~46 — 40. Решив характеристическое уравнение х4 -4 — Л ~ и приняв во внимание п.2.2, заключаем, что точка (2, 2) — селла (Льг = — 2 х 2г/2), а точка (-2, 2) — вырожденный узел (Лхг = — 2 Д 0).
~ ыг. =лт-и'тз-г,д= "-'- . < Из системы уравнений у — х=1, (х — у) =1 г г находим координаты четырех особых точек (О, 1); (О, — 1); (-1, 0); (3, 2). Сделав замену х = 6, у = х) 4 О, даННЫЕ ураапсиия ИЗВЕСТНЫМ СПОСОбОМ ПРИВОЛИМ К уКОрОЧЕННЫМ: 6 = ~(6 — О), г) = е(-6 х 20). Корни характеристического уравнения дхя этой системы имеют вид: ~гг пмнтгг + +2 тгг етгг Г + Лг 2 2 ' 2 2 Поскольку Л~Лг < 0 (Лы Лг — действительные корни), то на основании п.2.2 тачки (О, 1); (О, -1) являются седлами. Аналогично, перенеся начало координат в точку (-1, 0) по формулам х = = -1 + (, у = 0 н удержав в правых частях линейные члены, получаем укороченную систему: ! 6 = — (Π— 6), О = -еф Поскольку корни 1 )с) е Льг=--*~( —-- 4 116 2 комплексны, то согласно п.
2.2 особая точка (-1, 0) — фокус. Наконец, палашя в данных уравнениях х = 3+ 6, у = 2+ 0 и используя формулу Маклорена, получаем укороченную систему: 1 6 = — (6 — О), д = е(40 — 6), 2 характеристическое уравнение которой имеет корни Лпг — — 2е+ д* ! 2е+ т ! — -2-.
Поскольку 1 г 1гг Зе корни действительные и одинаковые по знаку, то особая точка (3, 2) — узел. ~ В задачах 648-650 дать примерную картину расположения интегРальных кривых в окрестности начала координат. 648. У = — *" . х+ у ч Сначала на плоскости Оху выделяем области знакопостоянсгва производных у', у", а также кривые, на котормх эти производные либо равны нулю, либо неограничены. Решив неравенства ЗО1 ху у = ><О, х+у приходим к следуклцему результату. Если (х > О Л у > О) Ч (х > О Л х + у < 0) Ч (у > О Л х + У < О), то у'>О,а если ( о * ° о о) (* о о о) ( о ° ° о о), тоу <О. Рве. 4З Поскольку у = 0 при х = 0 или у = О, то интегральные кривые пересекают ось Оу под прямым углом, а ось Ох является инте(ральной кривой.
Далее, поскольку на прямой х + у = 0 производная у' не ограничена (точнее было бы сказать, что производная у' на прямой я+у = 0 не определена н у'- оэ при х+у — 0), то интегральные кривые подходят к этой прямой с обеих ее сторон под прямым углом к оси Ох. Таким образом, если интегральную кривую с отрицательной производной изображать наклонной чертой 1, а кривые с положительной производной — чертой вида /, то картину интегральных кривых в первом приближении можно представить так, как покиано на рис. 42.
Для установления областей определенной выпуклости интегральных кривых решаем неравен- У(у У()(У Уз) у —, <О, где 1 о у(д(х) = — ~ — х ~ Чх' - 4х') . 2 У .4З Решив эти неравенства и обозначив области, где у" > О, знаком "+"„а области, где у" < 0 — знаком "-", получаем картину, изобразкенную на рис. 43. Таким образом, на кривых у = О, у = у,(х), у = у,(х) вторая производная обращается в нуль, а на прямой х+ у = 0 она не ограничена (вернее сказать, на прямой х+ у = 0 она не определена, а в окрестности ее не ограничена). Теперь, имея такую информацию о поведении интегральных кривых, можем представить их картину во втором приближении (рис.44).
Остается вьшснить некоторые детали в поведении интегральных кривых. Поскольку функция (х, у) )-) х+"д вместе со своей частной производной по у непрерывна при х + у Х О, то через каждую точку плоскости (х+ у и' 0) проходит единственная интегральная кривая. Далее, поскольку у = 0 (х ~ 0) есть решение данного дифференциального уравнения, то ни одна инте(дальная кривая не может касаться оси Ох. Является очевидным факт, что все интегральные кривые, заходящие в угол х+ у > 0 л у < О, обязательно попадают в начало координат (вернее бьпю бы говорить об асимптотическом стремлении кривых в начало координат, поскольку при х = у = 0 правая часть данного уравнения не определена).
Отметим также, что существует интегральная кривая, расположенная между семейспюм параболообразнмх и семейством гиперболообразных интегральных кривых (см. второй квадрант) и входящая в начало координат, зог Гл. 6. Устойчивость и фазавые траектории Наконец, покажем, что ни одна интегральная кривая не входит в начало координат со стороны х > О, у > О. Предполагая противное, записываем интегральное уравнение для кривой, входящей в точку (О, 0) при х>0, у>0; 7 (У«)~ l (+у«)' В силу неравенства у(П с 4- у(П вЂ” — <) «>О, д«)>О) из последнего уравнения получаем оценку: у(х) < ~ И( = —.
г' о Рас. 4З В свою очередь, у«) у«) ( 7 Сз,а у Сг хз (+у«) Р, (+у«) (+2' У У 4+2 У 2 З, о<о< 'д- о о и т.д. Продолжая оценки, на и-ом шаге получаем ю у(х) < ( Отсюда следует, по у(х) < 0 при о сю. Пришли к противоречию. После этих замечаний строим третье приближение к истинной картине интегральных кривых (рис.
45). ~ 649. У' = — УТ. м Из неравенств Рас. 44 2ху , <>О у -~- х находим области знакопостоянства производной у'. Именно, если (х>ОЛ у>0) Ч (у+х <О Л х>0) Ч(х<0 Л у<О Л у+х >0), то у' > О. На остальной части плоскости, исключая прямые у = О, х = О, где производная равна нулю, а также параболу у = -х, где производная не определена, интегральные кривые имеют отрицательную производную. Таким образом, в первом приближении картина интегральных кривых имеет вид (рис. 46).
Далее, из выражения лля второй производной 4 Г х +у у =2У (у+ хг)з следует, что интегральные кривые при (у > О) Ч (у < 0 Л х +у < О) выпуклы вниз, а при у < 0 Л х'+ у > 0 они выпуклы вверх. Поэтому с учетом выпуклости картину, изображенную на рис. 46, можем уточнить (второе приблилгение) (рис.47). Заметим еще, что при построении кривых на рис.
47 мы принимали во внимание соотношение У=о „у+.г геометрически означающее, что интегральные кривые при удалении от начала координат по любой горизонтали распрямляются. Кроме того, при замене х на -х уравнение вида не меняет, поэтому все интегральные кривые симметричны относительно оси Ох. Наконец, выясним вопрос о том, какие из интегральных кривых стремятся в начало координат.
Ясно, что любая интегральная кривая, выходящая из обласги у+ х < О, попадает в угол (х > 0 л у < О) У (у + х > О). с другой стороны, через каждую точку (х, у), где д + хз ~ О, согласно теореме о существовании единственного решения, проходит единственная интегральная кривая. Следовательно, ни одна интегральная кривая, вышедшая из области у+ х < О, не может остановиться в указанном угле.
В силу этой же теоремы ни одна из кривых не может пересечь ось Ох, поскольку прямая у = 0 является интегральной. Далее, ни одна из интегральных кривых не может уйти вдоль оси Ох на бесконечность, поскольку в рассматриваемом угле у" < О. Итак, осгается единственная возможность, когда все указанные интегральные кривые стремятся попасть в точку (О, 0). Покажем теперь, что ни одна интегральная кривая не может попасть в начало координат со стороны у > О.
20и этого, предполагая противное, для некоторой кривой у(х) > 0 при х > 0 от дифференциального уравнения перейдем к интегральному у (д(г)а / 82+~(г)' Отсюда в силу оценки -г" — ( 1, находим (г) Г 4-д(Г) у(х) ( 2 /1 Ж = х . о Аналогично, Ряс. 48 у х д(х) < 2 ~1 пмх — й =— у о<тяп И+у 2 о и т, д.
На н-ом шаге получаем неравенспю д(х) < — „. Следовательно, у(х) ( 0 — противоречие. Учитывая все замечания, строим картину интегральных кривых в третьем приближении (рис. 48), м 650. у' = з м Аналогично предыдущим примерам из неравенств Ряс. 4Ф ху у х находим области монотонного возрастания и убывания интегральных кривых, а затем строим грубую картину повеления нх на плоскости Оху (рис. 49). Далее, из выражения юи второй производной д(д' -2х") д (д- ')' видим, что на графиках функций у = хзг'2х интегральные кривые меняют направление выпуклости. Области знакопостоянства второй производной изображены на рис.
Я. Проследим за интегральной кривой, цлущей из области х<0 Л у>0 Лу<х. 304 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории Поскольку в этой области у' > 0 и у" > О, то ордината кривой растет при увеличении х, а выпуклость кривой направлена вниз (рис. 51). Ясно, что !нп у =+ос, с сс-0 а Ряс. 53 (ах + Ьу) г(х + (тх + Ьу) г(у = 0 не является уравнением в полных дифференциалах; 2) особая точка (О, 0) этого уравнения — седло, то оно имеет непрерывный в окрестности начала координат интегрирующий множитель.
м Интегрируюпгий множитель (с = (г(х, у), удовлетворяющий в данном случае уравнению др др (пгх+ пу) — — (ах+ Ьу) — = р(Ь вЂ” т), дх ду будем искать в виде р = сг(ы), где ы = ах+ )уу, а, )5 — постоянные, поллежашие определению. Подставив значение (с в (1), получим (г (ы)((та — о!У)х + (па — Ь!5) у) = (Ь вЂ” т)(с(сг). (2) Йп у = — со, с сс+С поэтому кривая пойдет вверх и левее точки х = хс. В точке М перегиба нет, однако, как следует из рис. 5 1, кривая поменяет направление выпуклости.
Далее, в точке гсс она должна иметь перегиб, поскольку зта Рсс. 51 точка лежит на кривой перегибов интегральных кривых у = тг2х . На- г конец, поменяв еще раз направление выпуклости, интегральная кривая в силу отрицательности производной уйдет налево вверх (к +со). Теперь проследим за интегральной кривой, выходящей из точки г (О, у) и идущей в сторону * < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
