А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Поскольку у' < 0 при у > х, то ордината кривой будет возрастать (рис. 52). Однако, в силу того, по парабола у = Тх является решением данного дифференциальною урав- 3 г пения, наблюдаемая нами интегральная кривая не может ее пересечь, а значит, и уйти из области у > эх . 3 Х Следовательно, пространство межау параболами — г у=.2 и у=- 2 у будет заполнено гиперболообразными кривыми, одна из ко( торых рассмотрена выше. Парабола же у = ч х служит раз- 3 г делителем указанных кривых. Далее, поскольку при фиксированном у < хг будет ху !пп =О, г ! Х то все интегральные кривые в области у < х приближаются к оси Ох и ее не пересекают (в силу того, гго у = 0 есть решение и при у = * выполншотся условия теоремы о един- г ! ственности интегральной кривой).
При у < -чг2х' все ин! тегральные кривые выпуклы вниз, поэтому попасть в точку (О, 0) не могут. Таким образом, в начало координат заходит только две интегральные кривые: Рсс. 53 у=О и у= хг. 7 Итак, принимая во внимание проведенное исследование, строим окончательную картину интегральных кривых (рис. 53), м 651. Доказать, что если !) уравнение 305 Положим (гаа — а)3)х+ (иа — ЬВ)у = Л(ах+ )уу), где Л вЂ” некоторая постоянная.
Тогда из последнего тождества найдем: (ги — Л)а — ар = 0 иа -(Ь4Л)13 = О. 1 (3) Поскольку а ф 0 л Д Ф О, то в силу однородности системы (3) приходим к условию: пь — Л -а ! / = 0 ~ Л, з = — ~т — Ь х (га — Ь) — 4(аи — Ьги)) . и — Ь вЂ” Л 2 ~, Далее, так как особая точка (О, 0) — седла, то корни Ли Лз действительные. Следовательно, числа а, 1) также действительны, н мы имеем, вообще говоря, два интегрирующих множителя, получающихся путем интегрирования уравнения (2): ь- р~ = С,)в,! ц, рз — — Сз!ыз! "2, (4) где ы, = а,я+ фу, и, = азх+ 1)зу, С„Сз — постоянные интегрирования.
Заметим, что так как Ь Ф ги (это следует из условия 1) теоремы), то множители (4) отличны от постоянных. Поскольку Л,Лз < О, то независимо от знака Ь вЂ” ги один из показателей в (4) является положительным. Последнее означает, что один из множителей непрерывен. м $ 3. Фазовая плоскость 3.1. Основные понятия. Система дифференциальных уравнений йхг йг — = уг(х„хн ..., х„), ь = 1, и, в которую переменная Г (время) явно не входит, а функции у, непрерывно дифференцируемы в некоторой области, называется авгвааамиай.
Каждому решению хг — — р,(1), г = 1, и системы (1) поставим в соответствие движение точки в и-мерном пространстве (х„х„..., х„). Кривая, описываемая точкой в процессе движения, называется юравхюаривй. Таким образом, х; = р;(1), 1 = 1, и суть параметрические уравнения этой траектории. Пространство размерности и, в котором решения системы (1) изображаются в виде траекторий, называется фазовых прастраастваи. В частности, если и = 2, то фазовое пространство называется фазавай плоскостью.
Вектор у = (~и Уп..., у„) называется фазавай скарасюью. Положения равновесия автономной системы находятся из условия У = О, т.е. как решения системы конечных уравнений: Д(хи хз, ...,х„) = О, 1 = 1, и. 3.2. Построение фазового портрета. Для того, чтобы начертить на фазовой плоскости картину траекторий автономной системы х= У(х, у), у=д(х, у), (2) нужно, во-первых, исследовать особые точки этой системы, а во-вторых, с помощью производных ую у~~г изучить поведение интегральных кривых уравнения йу д(х, у) йх у(х, у) (заметим, что иногда решения этого уравнения находятся в замкнутом вице). В том случае, когда требуется построить траектории уравнения У = д(х, х), нужно ввести переменную у = х и от этого уравнения перейти к системе х= у, у=д(х, у), которая юишется частным слу шем системы (2).
306 Гл. 6. Уетойчивоегь и фвэовме траектории 3.4. Признаки отсутствия предельиык циклов. Признак бендиксана. Если правые части уравнений(2) имеют непрерывные частные првизводныв первою порядка в односвнзнай области Р и выражение д/ дд — +— (3) дх дд нигде нг меняет знак и нв равно тозкдгстввиному пума„тв в области Р нет предельных циклов. Признак Пуанкаре. Пусть о(х, 9) = С вЂ” семейства гладких замкнутых кривых, покрывающих плоскость Охд. Тогда всви выражение дв до 1+ 9 дх дд в некоторой области Р сохраняет постоянный знак, то в нгй нгт предельных циклов. Односвязная область Р на плоскости Оху не содержит предельных циклов„если в этой области нет особых точек системы (2). (4) 3.5.
Призяаки наличия пределъвык циклов. Теорема Левинсона — Смажи. Пусть в дифференциальном уравнении х+ ху(х) + 9(х) = О, (5) функции Г' и д непрерывны при есвх х и обеспечивают единственное решение задачи Коши, непрерывно зависящее от начальных условий. Пусть, кроме того, выполняются следующие условия: 1) хд(х)>0 дчн хФО; 2) Т, д — дифференцируемые функции; 3) Г (х) < 0 на ( — х„хг), где хг, хг полахситвльны, Г (х) > 0 двя всех остальных значений х, причем Р(ос) = со, гдв Р(х) = ~Г (в) двг в 4) О(~со) = оо; 5) 6( хг) = 6(хг), где О(х) = /9(в) йв.
о Тогда уравнение (5) имеет едшгственный устойчивый предельный цикл на фзювой плоскости (х, х). Теорема Рейссига. Рассмотрии уравнение х+ ((х) + д(х) = О, (6) где у, д — непрерывные функции, у(0) = О, хд(х) > 0 при х ф О. Пусть функции У, д дгя всех их аргументов непрерывны и обеспечивают существование единственного решения уравнения (6), удовлетворяющего заданным пачавъным усвовиям и непрерывно зависящею от этих условий. Пусть, кроме 3.3. Предельиые циклы, Предельным циклом системы (1) называется ззмкггутая изолированная траектория этой системы, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, по которым фазовая точка неограниченно приближается к этой замкнутой кривой при ( -+ +ос или при à — -оо. Если траектории системы (1) приближаются к предельному циклу только при б — +ос, то последний называется устойчивым.
Если же траектории системы (!) приближаются к предельному циклу только при ( — оо, то он называется неустойчивым. В случае и = 2 (фазанья плоскость) рассматривают так называемые полуустойчивые предельные циклы. Именно, предельный цикл на фаэовой плоскости называется погуустойчивым, если траектории системы (2) с одной стороны приближаются к нему при ( - +со, а с другой — при 1 — -со. Следовательно, возможны полуустойчивые циклы двух типов. Теорема.
Пусть К вЂ” предельный цикл система (2), правая часть которой непрерывна вместе со своими частными производнььяи по х и по у. Тогда всв внутренние травюнарии, начинающиеся вблизи К, наматываются на него, как спиравц либо при Г +со, либо при à — ос. Высказанное утагрждение справедливо и сля внешних относительно предельного цикла траекторий. 302 в 3. Фазоаая нлвскветь 1) УЗ(У) < 0 пРи (У( < Ог, гй > 0; 2) 1(у)ндпу > в > 0 пуи (У( > Ог > г),; 3) гпах Т'(у) = М > 0; ь!ят 4) у(х) звп х > М -1- е при (х( > д > О.
Тогда на фазовой плоскости система *=У У= У(х) Т(У) сущесгпвует по меньшей мере один устойчивый предельный ишт. В задачах 652 — ббб для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. 652. х — х+ х' = о. м Полагая х = у, переходим к системе у =х — х, х=у, из которой почленным делением ее уравнений получаем ду х — х з дх (ч) нли (при у ~ 0) уду = (х — х ) дх. Обцгий иггтеграл уравнения (*) имеет вид: 3(у хз)+2х С Поскольку при замене у на -у интегральные кривые вида своих уравнений не меняют, то все они симметричны относительно оси Ох.
Давая параметру С конкретные значения и используя обычные средсгна математического анализа, строим картину траекторий на фазовой плоскости (рис. 54). Заметим, что кривым, охватывающим точку (1, О), соответствугот значения С, уловлетворяющие неравенству — 1 < С < О. Далее, уравнение (*) имеет две особые точки: (О, 0) и (1, 0), Отбрасывая х' а указанном уравнении, получаем укороченное уравнение ду и с(х у — Л 1 1 Поскольку его характеристическое уравнение ~ ! Л ~ = Л вЂ” 1 = 0 имеет корни с отличными от нуля действитедьными частями, то со~ласно и.
2.2, особая точка (О, 0), являющаяся седлом для укороченного уравнения, будет седлолг и для уравнения (*). Д.и исследования особой точки (1, 0), как обычно, сначала перенесем начюю системы координат в зту точку: х = 1 4 д, и = О. Отбрасывая в полученном уравнении нелинейные члены, приходим к укороченному уравнению до дб 0' лля которого особая точка (О, 0) являезся центром. Таким образом, точка (1, 0) для исходной системы может быть фокусом или центром. В силу симметрии интегральных кривых относительно оси Ох (см. п.2.2), точка (1, 0) — центр. М 653.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
