А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, учитывая все сказанное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 91), ь Гл. б, Устойчиаость и базовые траектории 318 666. й = х — у, у = (х — у) (х— — у+ 2). м Переходя к новой системе координат Они по формулам х = е, у = 1 — и, из данной системы получаем дифференциальное уравнение: бе 1 — е — н 2 (и ! е)з Рае. З! г к аз интегральные кривые которого уже изучены в примере 664. Следовательно, если июбраженную на рис. 89 систему координат сначала параллельно перенести вправо на единицу, а затем повернуть ее на угол 90' против хола часовой стрелки, то мы получим портрет семейства фазовых траекторий данной системы дифференциальных уравнений.
М Начертить на фазовой плоскости траектории систем 667-669, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы. ог дх 667. — = (,— П( — г), --= !. п( Ж м Почленно разделив одно уравнение на другое, получаем ~6 — = г(г — И(ю — 2). (и бр Отсюда, если 0 < г < 1, то 8 — > О, т. е.
г = г(р) монотонно возрастает при р - +со (! — ~ +со); р если 1 < г < 2, то уГ- < О, т.е. г = г(уб монотонно убывает цри 1 — +со. Далее, очевидно, г" что г = 1 есть решение уравнения (И. Следовательно, согласно и.3.3, окружность г = 1 есть устойчивый предельный цикл. рассмотрим еше одну замкнутую траекторию г = 2. Поскольку при ! < г < 2 производная й — < О, а при г > 2 будет 2 — > О, то траектории г = г()г) при ! — +со удаляются от окружнолг лг р р сти г = 2. Следовательно, замкнутая кривая г = 2 — неустойчивый предельный цикл (рис.
92). Других замкнутых траекторий данная система не имеет. ° . йг, (( 668. — = з(п г, — = 1. Ф ' сЮ М Из уравнения з(п г = 0 следует, что г = Ьг, й 6 Ж, й > О есть изолированные замкнугые траектории данной системы. Если 0 < г < х, то миг > 0 ~ 2~~ > О. Поэтому все траектории, выходяшие из достаточно малой окрестности начала координат, приближаются к окружности г = х при 1 — +со. Если лсе 319 я < г < 2в, то лг < О. Следовательно, г — я+ О при ( — + +со, т.
е. окружность г = я является дг устойчивым предельным циклом. Лалее пусть 2я < г < 3я. Тогда зг > О и при ! — +ос спирали удаляются от окружности вг г = 2а . Таким образом, цикл г=2к является неустойчивым. Аналогичным образом устанавливаем, что окружность г = зя — Устойчивый цикл. Вообше, окружности г = (2й + 1)т, й = О, сю представляют собой устойчивые, а окружности г=2йл, йЕЯ вЂ” неустойчивые циклы (рис. 93). м 1 е(о 664). — =г(! — г)з!и —, — = !.
й! 1 — г ь! М Очевидно, окружности 1 г=1 — — й4 Е! к2 ... Ьг являются изолированными траекториями данной системы. Исследуем их на устойчивость. Пусть О < г < ! — —. Тогда лг > О„значит, спирали приближаются к окружности г = 1 —— 1 дг ! изнутри. Если 1 — я < г < 1 — 2-, то 2~- < О. Следовательно, фазовые траектории навиваются 1 1 е' на зту окружность извне. Таким образом, 1 г=1 —— я — устойчивый предельный цикл. Аналогичные рассуждения показывают, что цикл ! г=1 —— 2т неусюйчив. Вообше, циклы 1 г=1— (в=О, 1,2, ...) (2н+ 1)я — устойчивые, а циклы 1 г=!— (и = О, 1, 2, ...) (2п+ 2)в — неустойчивые. Точно также находим, что циклы 1 1 1 г=1+ —, !+ —, ..., 1+ 2я' 4я' ' (2ц+ 2)я' устойчивы, а циклы 1 1 1 в=1+-, !+ —, ..., 1+ в' 3я' ' (2п+ 1)я' где и = О, 1, 2, ..., неустойчивы. Начертить фазовые траектории предоставляем читателю.
в 670. При каких условиях система йг оу — = У(г) — = 1 Й ' и! где функция у непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях этот цикл устойчив? Неустойчив? Полуустойчив? М Пусть уравнение К(г) = О имеет изолированное положительное решение г = 22, т. е. Зе > О такое, что на сегменте (22 — е, 22+ е) других решений нет. Пусть функция у определена на атом 320 Гл. 6. Устойчивость и фазааые траектарвн отрезке. Интегрируя систему, получаем у йр х=С,+ 1, 22 — с<с<Я, 7(Р) л.м =С + /~ —, Я<с<22+с. др У(р)' Отсюда видим, что если несобственные интегралы л.н — и Р 1" Р (1) ., У(р) ~' У(Р) расходятся к хсо, то при г — ~ 22+ О нли г — +  — 0 полярный угол х стремится к бесконечности определенного знака, т.е.
окружность, уравнение которой г = 22, является предельным циклом. Далее, если 7(г) < 0 при 22 < г < Л+ с и 7(г) > 0 при  — е < г < 22, то все достаточно близкие траектории при 1 — +со приближаются как изнутри, так и извне к окружности г = 22, т.е. предельный цикл будет устойчивым. Очевидно, цикл г = 22 будет неустойчивым, если функция 7 при переходе через нуль меняет знак с "-" на "+", Наконец, полуустойчивость наблюдается в том случае, когда с какой-либо стороны траектории приближаются к циклу при 1 — +ос, а с другой — удаляются. Слеловательно, должно выполняться равенство д Й збп — = 58п (а,льна!0 (л-ьл! дф т.е. в окрестности г = 21 функция 7 знака не меняет. Разбор вариантов, когда функция 7 существует только в одной из полуокрестностей точки г = В или когда только один из интегралов (1) является расходящимся, предоставляем читателю.
Ь б71. При каких значениях постоянной а система й. 2 Ф вЂ” = (г — 1)(а+5!п Р), — = 1 д( д( имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? м Разделив одно уравнение почленно на другое и проинтегрировав, получаем: ~г — 1~ = Сехр ((а+ -) (з — ) . Отсюда видим, что замкнутые кривые возможны только при С = 0 (любом а ~ — 2), а также 1 при а = — 2 (любом С).
Однако в последнем случае мы имеем семейство замкнутых, но не 1 изолированных кривых, поскольку значение параметра С можно менять непрерывно. Таким образом, окружность г = ! — единственное изолированное периодическое решение (а Ф вЂ” 2). !т Ясно, что г = г(у) — ! при Р— +со только в случае, когда а < — ч, т.е. предельный цикл 1 устойчив лишь при а < — 2. м 1 В задачах 672 — 678 установить, имеются ли предельные циклы. 672 з + З,з 1 уз хз 1 уз 1 уз ! у 4 Поскольку функции Г = 1(х, у) = хз + Зхз + уз, д = д(х, у) = аз+ уз+ уз+ у имеют непрерывные частные производные и выражение — + — =5х +9х +5у +Зу +1>О, дз ду а г 4 дх ду то согласно признаку Бендиксона на фазовой плоскости нет предельных циклов.
М 673. х = х — 2уз, у = Зх + у. м Возьмем семейство гладких замкнутых линий, покрывающих плоскость Оху, в виде е(х„у) гя Зх'+ у" = С. 321 Поскольку выражение П= — у+ — д=бх(х — 2д)+4д(Зх+д)=бх +4д >Оз де де г з зз з 4 4 дх дд то согласно признаку Пуанкаре данная система дифференпиальных уравнений прелельнык никлов не имеет. ~ 674. х = х'+д'+1, д= яд и Поскольку система не имеет особых точек, зо согласно и. 3.4 никакая односвязная область на плоскости Охд прелельных пиютов не имеет.> 675. х+2х+х'+х=О. и Переходим к системе х=д, д=-2д — д' — х и применяем признак Бендиксона: дд д з г — + — ( — 2д — д — х)= — 2 — Зд <О; дх дд значит, предельнык пиклов нет. > 676.
х+ (х' — 1)х+ х' = О. Н Пользуемся теоремой Левинсона — Смита. Здесь фузгкции 7 = 7(х) = х — 1, д = д(х) = = х' непрерывны при всех х и обеспечивают, очевидно, единственность резиения задачи Козин, непрерывно зависяшего от началызых условий. Кроме того, выполняются условия: !) хд(х) = х > 0 Юх Ф О; 2) 7, д — дифференцируемые функции; 3)х — !<Она(-1,1) их — 1)Оприф)1; 4) Р(х) = / (а — 1) г(з = ~- — х и Р(со) = со; о 5) 6(х) = / оз дз = -*~- и 6(~со) = со; о б) 6(-1) = 6(1) = д. Следовательно, согласно указанной теореме, на фазовой плоскости Охд имеется единственный устойчивый предельный цикл.
~ 677. х+х' — 4+в=О. М Применяем теорему Рейссига. Поскольку 1) 7(0) = О, где г'(д) = д' — д; 2) хд(х) > О, где д(х) = х при х ~ О; 3) д г(д) = д~ — д' = дз(д — !) < О при !д~ < 1; 4) Д(д) аап д = 1д1(д~ — 1) ~ )е > 0 при 1д) > Оз > 1; 5) шах !д' — д~ = М = — > 0; 2 Ыяз 33 б) д(х)зйпх = !х( > — ~+с при (х! > б = — -+ е; 2 7) функции 7" и д непрерывны и обеспечивают выполнение условий существования единственного и локально устойчивого решения задачи Коши, то по указанной теореме на фазовой плоскости (х, х) существует по меньшей мере один устойчивый предельный цикл.
> 678. й + Р(х) + х = О, где Р— непрерывная функция и Г(д) > 0 нри д > О, Р(д) < 0 при д < О. Н Возьмем семейство гладких замкнутых кривых е(х, д) гн х + до = С и составим выражение де де П= у — +д —, дх дд' 322 Г;ь б. Устойчивость в фазввые траектории где У = 1(х у) = у, д = д(х, у) = -х — х'(у) — правые части системы дифференциальных уравнений х= у, у= — х — Р(у). Тогда, поскольку й = — 29Р(д) < О, то согласно признаку Пуанкаре предельных циклов на фазовой плоскости нет. )ь Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на устойчивость решения уравнений и систем: 1.
х'у" — 2ху' + у = О. 2. (2х + 1) у" + З(2х т 1)у' — 4у = О. 3. х'д"' -г хд' — у = О. 4. (1+ х')у" + ху' + 29 = О. 5. , 6. , ' 7. х х — 2(у=-О, ~а+1(2х — у)=-0, ) Гх ч-Сх'хх — 9=0, у'+2(х=-О. ' ~ д' — ((х — у)=-0 1(('дч+(у' — 2х+у=О. 8. ух+29'+5у=О 9. у~я-29~'-Ь5уЯ~=О. 10.
д~~'+2уче +4учтЗд'4-29=0. И. уш ь2у"'+Зуч ь у'+ау=О. 12. х'+х+5у=О, у' — х — 9=0. 13. х' =. х + х — у, у' = х + у — з, з' = 2х — у. 14. х' = 2х — з, д' = х — у, з' =. Зх — у — з. 15. х' = Зе — Зу+ з, у' = Зх — 2у+ 2з, У = — а+ 29. Пользуясь первым методом Ляпунова, исследовать на устойчивость указанную ючку покоя следуюшнх систем. 16 х = х + д — 2х, у' = Зхз — х + Зу; (О, О) 17. х' = егн т — сов Зх, у' = ь/4+ 8х — 2е"; (О, 0). 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
