А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 72
Текст из файла (страница 72)
а) !'(С) = з(п(ыС вЂ” ре); б) 7(С) = зй(ы( — ре); в) 7(С) = соз(ыг — 121); г) г(С) = сЛ(ыг — уге); д) г(С) = (аС вЂ” Ь)'. < Применим теоремы подобия и запаздывагня дпя нахаждсина ИЗОбражения оригинала вида 7(аг — Се), Гдс Се ) 0 и а — комплексное число. Пусть 7 Ф Р„тогда по теореме подобия ,7(аС) Ф а!" („) . По теореме запатдывания имеем 1 ~(ог — Се) = «(а(С вЂ” ад)) =; — Р ~-) е а, а) Воспользуемся решением примера 687, а) и формулой (1), Подучим Свг ю Яп(ы( — угг) =; е р2,1 ы2 51.
Преобразованяе Лапласа. Освовнме вошпня н саойспа 329 б) Аналогично, принимая во внимание решение примера 687, б), имеем ящ м зй(мт — Ре) Ф е Р— ьг в) Согласно 687, в), созм( Ф -гр — т. По формуле (1) накопим: -~- Ю сгл соз(м( — ра) Ф е р' т ьз' г) Воспользуемсзг решением 687, г) и формулой (!). Получим Рта Р сй(м( — уа) = е Р О2 д) Пршгнмая во внимание формулу (1) нз примера 682, а также формулу (1) из настояшего примера, имеем ! Г(а+ П 2 о'Г(а+ 1) аз (Ш вЂ” Ь) =' — — „„е е о (г)" Р "' (а! бп0 у(1) = О(1 — (е) '= ( О' 1 ' — обобшеннач единичная функция Хевисайда.
( 1, 1>(м О, 1<(е и Согласно решению примера 679 и формуле (1) из примера 689, получаем; -рв О(1 — (о) Ф— р 691 1' а, если 0(1( т, О, если 1( Оияи(> т. и Представззм функцию зг в виде т'(1) = (О(() — О(1 — т))а. 'Тогда 7(т) зг! е' ') 1 — е' 1'(1) Фа~ — — — ( =ар Р Р ( 1 — 2а, если 2а <1< о+Ь, б9о. 7(1) = ~ 2Ь вЂ” 1, если е+Ь <1< 2Ь, (рис.96).
О, если 1) 2Ь или 1(2а О 2и и Поскольку функцию У можно нрелставить в виде 1'(1) = (1 — 2е)О(1 — 2а) — (( — 2о)г)(1 — а — Ь) + (2Ь вЂ” 1)г)(1 — о — Ь) + (1 — 2Ь)зр(1 — 2Ь) = = (1 — 2а)О(1 — 2а) — 2(1 — а — Ь)О(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)О(1 — 2Ь), -2ат 2е-нзит -зьР ( — Р -зт)2 И): + Рз Рз Рз 2 (см. решение примера 689,д)). > И Записав функцию 7 в виде Я) = О(1 — 1) — О(1 — 2) + 29(1 — 2) — 2О(( — 3) + 39(1 — 3)— — 3т((1 — ч)+... +(и — 1)г)(1-(и-1)) — (и — 1)О(1-и)+пО(1 — и)+ ...
= = Ч(1 — 1) 4- г)(1 — 2)+ П(1 — 3)+ ... +О(1 — и)+ ..., О 1 2 3 получаем 1 " ь ! /(1) =' — ~ е ' р,, р(ет 1)' Гл. 7. Метод ивтмрааьвых преобразований Лапласа ЗЗО если В < а, если ! Ъ а (рис. 98). / можно представить в виде — е ) 9(! — а). б94. /(!) = ~,', и, .? ! О, М Очевидно, что функцию У(!) = (! Следовательно, ег' ее' бег' /(!) =; — — — = . а р р+ь р(р+ь)' 0 а Р .РВ (рис. 99). пЕУо Найти изображения периодических оригиналов.
® / яп(, если 2пгг <! < (2п+1)а, ) О, если (2п+1)а <! ((2п92)л, М Воспользуемся следствием из теорелгм 5 и. 1.2: если / яш?яется Т-г?ериодической функцией, то г Р(р) = — Я)е Р Ж. 1 — е Ртl 1 о В рассматриваемом случае получаем: ? 0 Е(р) = — / е " яп ! 2(! = / е ~ з)п! ?й = е-2РР / 1-е-гч / й о 1 ! 2 Ро л е Р(соз(+рып!) ! 1 — е "Р ./ (! — е "Р)(р'+1) о 1+е "" 1 (1 — е-г Р)(рг О Н (р'+ Н(1 — ег чо) )л а л а Таким образом, 1 Я) ф —— (рг "!. 1)(1 — е РР) 696.
/(!) = )Р?паЦ (рис.100). М Функции / — — -периодическая, следовательно о Р Е(р) = —,/ е "в!па(г(! =, 1пг / е~ Р г(!— — — .иа? 1 — е РР 1 — е Ро о 1 о 1 е Рг(асовав+ро!па!) рг+ а' -Р- — Е о а 1+Е РР а ЕР?о+Е Рго а к р2+а2 1 -?- р?+а2 2 -Р Р2 ! а2 г сгйр л а ?à — )о!па!!ф с?йр —. и 2а' рг+ аг 2а з!п! / 1, если 2пя < ! ( (2п+ 1)а, 697. Р(!) = ~ЯпЦ ! -1„если(2п+1)Я <! < (2п+2)Я, ибро(Рис 101) О, если!<О и Сужение функции / на положительную полуось есть 2?г-периодическая функция, поэтому 2Р 2 Р(р) = / е " аап(в!и!) 2(! = ~ / е Р йт — / е М и! 1 —.-"/ 1- е-?.Р,/ о о !/,о,г1 1 (1-ег)2 1 — е' ег — е г 1 ря —.-2Ь вЂ”.
Р 2 ~Р ~ / 1 — е4 Р(1 — е-?Р ) Р(1+ е-2 ) р еет + е"7) р $ !. Преобразование Лапласа. Осыовиые попятив и свойства ЗЗ1 Следовательно, топ С 1 рог — = — СЛ вЂ”. М !2)пЦ ' р г' О 2а 4а ба 8а гоо. цц тьи. Сег — — 422, если 4па < С < (4п+ 1)а, — „— + 4п+ 2, ес22и (4п+ 1)а < С < (4п+ 2)а, 698. У(С) = 7(С + 4а) = п Е Уо если (4п+ 2)а < С < (4п+ 4)а, С < О, О, (рис. 102). <о Функция 7 4а-периодическая, и ее изображение найдем по форм)ле Р(р) = / е " У(С) 2(С = 1 1 — е аар 1 а 2» '-.4'-'"")" (--') "> = о + 2 р2 о р р' р , арз(! — е »ар) (1 — е 'Р)' 1 еао ар'(1 — е зр)(1+е "Р) арз(1+е 'Р)(1+е "Р) арз(1+е ' Р) Таким образом, (Л -"8 У(С) . ар2(1+ е-2ар) ' -оо Ь2 е о(пьРС =; (р + а)' -1- ьа' б) ойь21 =; — го — т т (см.
пример б87, б)). Следовательно, Р— »2 -»2 а2 е оймС вЂ”. Пользуясь теоремой смещения, найти изображения функций. 699. а) 1(С) = е "' з(пь21; б) 1'(С) = е "2 оЛ»21; в) у(С) = е "сох ь21; С» г) ЯС) = е "спор!; д) 7(С) = С ео'1 е) 7(С) = С'о!п))С; ж) 7(С) = „ео бпаС; з) 1(С) = -„-гопаС; и) Я) = -„тегазйа(; к) ЯС) = С'соо(ЗС; л) 1(С) = -„-те"'сора(; м) 1(С) = -пт оп а(; н) Я) = -„-тел' сЛ аС. и В случаях а)-д) можно непосредственно применять теорему смещения. В общем же случае, если требуется найти изображение функции (о, следует, если зто возможно, представить ее в виде у2(С) = е""РГ(С), ро — — сопи и применить теорему смещения.
Тогда 72 ф 2Р(р — ро) где ар — изображение функции 2(2. имеем: а) цп ьРС ф -т-И вЂ” т т (см. пример 687, а)). По теореме смещения 12 +Ю 222 Гл. 7. Метод иатевральимх ареобразоааиий Лапласи я) совы! Ф вЂ” ~-Е-т (см. пример 687, в)). Тогда р .~ав р+а е совы! =; + а)в+,„в' г) сйы! Ф -т-г-т (см. пример 687, г)). По теореме смещения р — ав р+а е ' сЬав! Ф "---.— -- —— (р+ а)в — ыв л) ! Ф вЂ”;тт — (см.
пример 682). Тогда , гьх+ !> р" Г(а+ И ! ел =' ()в >у)ав! ' В частности, !" ещ Ф вЂ” и 1„-а; ' (р — >т>"+ ' е) решение сводится к случаю д). действительно, !" х!и >М =- 27(!'ем — !'е вл'). Г(а+ 1)((р+Дв) +' — (р — дв)'ю) ! Мп!М Ф 2в(рв 1 >)2)а.~.! Если а = и, то !" „.„,, 1 ()'+Д()"" — (р->)в)ам и! 2в (р'+в)в)а+в Если а = -2, то 1 ввп>У! в/Я т/Р+ Дв — в/Р >Ув / ' 2в /рт+ >Ф в1п ! В частности, — Ф 2 2р ! хс) Решение свалится к случаю е).
Имеем 1 (р — !>+ а!)ам — (р — Д вЂ” ав)аю — ел йпа! —; —,- и! ' 2в ((р — /))в+ ав)ам з) Предо!алим функцию / л виде /(!) = 2 ! ате — -яте ! и воспользуемся счучаем ж). 1/!" в ва -П Получим !а 1 '1 (р + а)"+' — (р — а)"+ — вл а! —;— вв! ' 2 (,(р — а)"+' (р+ а)"+'/ 2(рв ав)ав в н) Воспользуемся решением з) и теоремой смещения. Имеем п( ' 2((р )))2 ав)а+! к) из представления функции /(!) = т ((левш+ !'е ш ), решения д) и теоремы смещения находим: 1 / Г(а+1) Г(а+1) > Г(а+1) (р+в)3)~~ +(р — в>3)'+ !' сов)у! Ф вЂ” ~ 2 в,(р — в>у) "' (р+ в>у) м/ 2 (рв+>ув)а+в +в "+'+ — в )"+' в Ч~ 'ь!+р / в В частности, -т соз/М вЂ” ' (Š— '-~)-~ — -(Геа ат~ —, ~~~- — ' 2(р +р )"+ 2х( 2 рв -~- ! л) Поскольку, согласно д), -т сохаь Ф „+, то по теореме смещения имеем ва +Ва)а+в+( ва)а+в 2 +а )"+ !" Лв, (р — >9+ ва)""' + (р — >у — ва)"+' —, ел соваФ вЂ” ' 333 Ф 1 Преобразование Лапласа.
Основные пошпия и свойства м) Таккак -тс>за! = ч (-те + -те ) и согласно д), ! е =' — "-„-~, то !ь ! /!в ! !" ОП ы . ш и. (и. и. (р — а)"+ с" (р ! а)л+ ! (р а)аы — с>з а! — ' — + и! ' 2 ~(р — а)ьн (р+а)"г!/ 2(р! — а')иы ц) Воспользуемся решением м) и теоремой смещения. Находим: Л! (Р— Д+ а)"ь' + (Р— >3 — а)оы — е с(з а! — ' и! ' 2((р — (3)! — а')иы Найти изображения дифференциальных выражений. 700. Ту = уа(!) — 5у "(!) — 4у"(!) + 2у'(!) — у(!) + 8 при условиях у(0) = 5, у'(0) = О, у"(0) = — 1, у'"(0) = 2. и Пусть у(!) Ф У(р).
Тогла по теореме 7, п. 1.2, получаем, принимая во внимание начальные условия: у (!) =' рУ(р) — 5; у (!) Ф р У(р) - 5р; у"'(!) =', р У(р) — 5р + 1; у'"(!) Ф р У(р) - 5р +р — 2. Применим свойство линейности преобразования Лаш)аса. Имеем Ьу Фу~У(р) — 5р +р — 2 — 5 (р'У(р) — 5рз+ 1) — 4 ~р~У(р) — 5р) + 2(рУ(р) — 5) — У(р) + — = р = (р~ — 5рз — 4рз + 2р — 1) У(р) — 5р О 25р + 2!р — 17 + †. М р 701. Ьу = уа(!) — 2у"(!)+ Зу'(!) — у(!) при условиях у'(0) = у(0) = О, у"(0) = 1 и у(!) Ф у(р).
я Действуем по той же схеме, что н лри решении предыдущего примера. Получаем: у (!) =: рУ(р> — д(0> = рУ(р> уи(!) ф р'У(р> — д(0>р — у'(О> = р'У(р>; у 0) ~ р У(р> — у(0>р — ру'(0> — у"(0) = р > (р) — !.
Следовательно, Ху ф р'У(р) — 1 — 2р 1'(р) + ЗрУ(р) — У(р) = ~р~ — 2р + Зр — 1) 1'(р) — 1, М 702. Найти изображение производной функции у(!) = ц2. м Имеем ~,73) У(!) ф 3 р! р! 2рт Функция Т'(!) = = существует т! > 0 и не существует при ! = О. Изображение таких фуцк! гя! ций находим по теореме дифференцирования оригинала, в которой предполагается, что Тм!(!) существует ч! > О, а при ! = 0 Т!"'(!) вообще может не существовать. Таким образом, У'(!) Ф р — з — у(0) = —, (так как Т(0) = 0). и зг'я з/я 2р! 2р! 703. Ту =у +гу! +4у, у(О> = у'(О> =у"(О> = О, у"'(О> = у' (0> = — !.
< Принимая во внимание начальные условия, получаем: у"О) ф р'У(р)+р+ 1, у'"(!) Рр'1'(р>+ 1, т,у =, (р'+ гр'+4) у(р)+р+ 3. в ЗЗ4 Гл. 7. Метод иатеграаьиык преобразований Лапласа С помошью теоремы о дифференцировании изобрюкенил найти изображении функций. 704. а) /(С) = Сяпас; б) /(С) = Ссозас; в) /(С) Ф со(гас; г) 70) = ссйаС.
Я а) Согласно теоРеме 8, и. 1.2, Р'(Р) Ф -С/(С). ПосколькУ Яп ас гй -т-а — т, то !2 +а — Сз1па! =; — =:( а ) 2 2ра 2ра — — Сяпас =; 2 1 4 22 (р2.1 422)2 ' (рг 1 422)2' 2 2 2 б) Так как сова! =; — ГР— т и -С сова! Ф ( — 2-с — т) = — — ~ — — "2-7, то и 4-а ' р +а (р аа) = р'-" Ссооа( = ( г+аг)2 '2 в) В примере 687, б) получили, гго з)2 а! =; — 2 — а — г. Тогда (-2 — а — т) = — — т=-~~ту, р — а (р — а (р -а) 2ра Со)за( =; (р2 а2)2 ' 2 „2 Г) ПОСКОЛЬКУ Сна( ф -2-К вЂ” т И ' ! = — — Рт — 2-7, тО и — а 4, — и 7 (р — а) р -1-а Сей а! гр ' (рг — 4„2)2' 2 ( Р р 2 2ра2 япа(зйас =' —— (рг + (1 2)2а2 р2 1 (! 1 С)газ/ р4 + 4ао' Согласно теореме 8, п.1.2, имеем: -Сяпа! ой а( =; ~ ~! ~ 2 ~ ~ ! ~ 2 Д ~ ~ ~ ~ ~ 2 р 4 ~ 4 2ра 1 2аг(4ао — 3ро) 2а2(зро — 4а4) р4+ 4,44/ (р4+ 4а4)2 (р4 + 4а4)2 Таким образом, 2аг(зр4 4 4) ( 4 + 4 „4)г сапа(ойа( 706. /(С) = с' соо' ас.
я По теореме 8, п. 1.2, Ео(р) =; С~/(с), где Р ф /. При решении примера 688, а) получили, что соз ас =; — 2 — ~. Следовательно, о ь2а р(р +4а ) р +2а 4~ р +24рао+32а С соо аС Ф р(р2 1 4а2)/ рг(,рг 1 4422)2 ~ ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ т ~ ~ 2 ~ ~ ! ! ~ б 2 4 б 707. Найти изображения функций: а) Я(С) = Й"-е- лх — синус-интеграл Френеля; б) С(с) = !-свох 4(х — косинус-интег)лш Френеля. 4 чих 7 222хх о о я Произведя замену и = и', получаем: 8(с) =С~ — ~япи~гси, С(С) = ~( — / созигоси. о о Как известно из курса математического анализа, +Ф 4Ф япи 4(и = / соои 4(и = — (интегралы Френеля). 2 С г 705. /(С).= Сз!пасойас. ч из представления /(с) = — ояпоасяпас = — ~т(соо(1 — 2)ас — соо(1+ с)ас) и решения примера 687, в), получаем: й 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
