А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Преобразпвавпе Лапласа. Осиоавме попятпя и свойства 335 Слеловательно, Ь(0) = С(0) = О, 8(Ч-ос) = С(вос) = 2 . Согласно теореме 9 об интегрировании 1 оригинала )(т) от =' , Р(г) Р тле Г= у. Поэтому В!!) Ф -'-рр), С(!) =; Р(р). зде Р(р) 9 ~~»~, Ф(Р) =; -'~~. При решении Р ' в'2я( ' ' в'2я( ~/рг ) ) р примеров 699, е), к), получили: Р(р) = — — = —, Ф(р) = — — =. Окончательно имеем 2/г /(Рт ) !., Г рг+ !+ Я(!) Ф г С(О Ф г 2Р,Р + ! 2Р,ГР)+ — ! Далее, поскольку / +!и"- Вт = ~~, то в1(1) = б!(!) — ~~. Следовательно а 1 1 я1 гг зг я1) в!(!) Ф вЂ” агс(б — — — — !Хтак как — 1 ф — — / . 'р р 2р х 2 ' 2р)' Представив интегральный гиперболический синус в вице за)ц(!) = Я!(з!), получим, приняв во внимание решение в случае а): 1 з з 1 з вй!(!) =; — ак(б — = — ап)з —, Р Р Р Р Лействительно, обозначив ак(й -' = за, получим: г з в!пза 1 ез(за) — = гйза =— р сшза з е((( ) р+1 вй!(!) =' — !и —.
2 р — 1 — (Иа) — е = згйа, .!. е-з(за) 1 1 1 в з з 1 йг а = —, а = апй —, — акга — = -а = — ап)) —. > Р Р Р Р Р Р Р 708. Найти изображения функций: 7 илт а) зй(!) = / - ((т (интегральный синус); т о г мпт б) в!(!) = — / — — ((т (интегральный синус); т Г в)зт в) в!з!(!) = / — з(т (интегральный гиперболический синус). т в ° Воспользуемся теоремой 10 об интегрировании изображения.
Поскольку в!п ! Ф -г —, то, ! р т! со)ласно указанной теореме, получаем; — Ф / —, = а~с(бр~ = — — агс(в р = агсгб —, ./ 9)+1 ~ 2 р Применим теорему об интегрировании оригинала. Находим: ) взпт 1 1 б!(!) = / — з(т Ф вЂ” агс!й —. т р р Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 336 709. У(1) = с < Согласно рецгению примера 699, а), имеем е яп! =; — — — г —. По теореме об инте-ы - ° ! (р+а) + ! грировании изображения получаем: ]4=+ 1 — = / —, = ясга(д+ а)~ = — — агс!8(р+ а) = ага!к / (9+а)'+1 2 р+а г яп 7! з! п 3! .
7(с) = < Сначала найдем нзобрахсение функции (с(1) = яп а( яп ]3! = 2 (соз(а — ]3)1 — соз(а+ ]3)!) . Согласно решению примера 685, в) и по свойству линейности изображения, имеем 2а]ур 2 ! г,(а,у)г „г, (а4]3)г/ 7 (г ( )( г +Л)г) В~'газ=' — г —.дьюбн- 42 (р е16)(р 6100] ровании изображения. Из представления 1 ! (г(р'+100) — (р'4-16)~ 1 (' 1 1 (Р'+ 16)(Рг+ 100) 84 1 (Рг+ 100)(Рг+ 16) г( 84 (Рг+ 1б Рг+ !00) находим: д ') 1 д~ 6 16 1 рг + 16 1 рг + 100 У(!) Ф вЂ” ! ( — — — — — ) дд = — ]п = — — 1п = — (п 2 г' 'гчг+ 16 цг+ 100/ 4 чг+ !00 4 рг+ 100 4 рг+16 'Р Р ф 2. Свертка функций.
Теоремы разложения 2.1. Определение свертки. Сеерткой р ь 7 непрерывных функций уг и 7, заданных на положительной полуоси числовой прямой и, называется интеграл зг ь 7 = / уг(1 — т)1(т)дт. о Свертка коммутативна (т. е. р * 7 = 7 * р), ассоциативна (т. е. (р е 7) ь ф = р е (7 ь ф)), аистрибутивца апюсительно операции сложения (т е, уг * (7+ ф) = р ь 7+ р * ф). 2.2. Теорема умиолгеиия (Э. Бореля). Если У =; Р, Кер > аз, р сх Ф, Кер > а„где аз и а, — показатели роста функций 7 и гу, то У е уг Ф РФ. 2.3.
Обобщениям теорема умиодгеиии (А.М. ЭФроса). Если 7 Ф Р, (о(1, т) Ф Ф(р)е таг, где Ф и д — аналитические функции, то / 7(т)уг(1, т) дт =. 'Ф(р)Р(9(р)). е ЗЗ7 Ф2. Саерт а руикц и. т оре ы ра оке ии 2.4. Формулы Дюамели Бели 1 а ус = 1 1(1)!О(! — 1) Лт =' Р(р)Ф(р), то О с 1(!)52(О) + / 1(1)рс(! — 1)Л1 Э РР(Р)Ф(Р), а или с ус(!)1(0) + ~ ус(1) 126 — 1) ЛТ Ф РПР) Ф(Р) а Левые части соотношений (2) и (3) называют интегралами Дюамеля.
711. Найзн р а 1, где 52(!) = !', 1(!) =соаас!. м Согласно определению, (2) (3) 713. Найти изображение функции 1(!) = С(!) цп! — 8(!) соз !. < Поскольку 1(!) = 1 зш(! — 1) ~-- ЛТ, то по теореме Бореля 1 1 1 1(!) =; Р(р)Ф(р), Р(р) = ='5!п(, Ф(р) = !+р' ' ',Г2р ' 222а!' Итак, 1 ! 1(!) Ф вЂ” — м ~!2Р Р1+рз 714. Найти свертку )а а 1, где ус(!) = !', 1(!) = !л, а > О, !3 > О, и ее ижгбражение. < Согласно примеру 6В2 имеем Г(а + 1) р +' ГО)+ 1) раас По теореме Борелл получаем р:с рд+с . Г(а+1) ГО)+1) 1 р +в+2 Г(а+ 1)Г03+ 1) ус а 1 = / (! — т) СО5астЛт. О Поскольку созас! ~ — 2 — т, ! ~ -2-, то по теореме Бореля получаем ас 2.
2 Р +Ос Р 2ас )а а 1 Ф РЗ(Р2 !.„,2)' 712. Найти изображение функции 1(!) = С(!) соз!+о(!) 5!и!, где С(!) и 8(!) соответственно косинус-интеграл и синус-интеграл Френела (см. пример 707). < Функция 1 имеет вид Г СО51 Г 51П1 Г 1 1(!) = соз ! / Лт -1- яо ! / — ЛТ = / соз(! — 1) — ЛТ. ъ 2агг ус2аг с/2аг а Таким обРазом, 1 = Р а ср, где сР(!) = со51, с(с(!) = ч —. По теоРеме БоРесгл 1(!) Ф Р(Р)Ф(Р), гпе ! 725! ' Р(р) = -тр — =' со51, Ф(р) = — - =' . Таким образом, р .С- ! ' ' сс2р ' Ъ'2Ф 1 р 1Н) Ф вЂ” — —.
м зсзр Р2+ 1 или /! х' (1 — х)д йх =- = В(а, !3). М д ! Г(а)2(г3) дгг Г(а + )3) о ! г! Функция егг! = — - ! е ' Лт называегси яищегролом аероящиосми. Ряд е ' = Я ( — 1)" — г равномерно ,л/ =о 'а смодящийся, воэтому еш можно лочлеиио интегрировать, Инеем г! -г! егГ ! = — 2 '( — 1)" — Лг = — 2, (-1)"— /л д =а и' чгя =а "!(2!' " 1) Очевидно, егГ(-1) = — егГ1, (ем!1) =- — е > О, егГ(О) = О, егГ(+оо) =- 2- = 1. Следовательно, 2 функция егг — исчстивя, непрерывная, возрастаю!чая.
При большим значениям аргумента ! рассматривают функцию Егт! = 1 — егг! а — ! е ' дг — — = ! е ' Лг = — ! е ' Лт. Фуикиия Егà — убывающая, непрерывная. 715. Найти изображение функции /(1) = еН( И Воспользуемся соотношениями е =' ! р /Г). — ф .~- и теоремой Бореля. Получим: ! 1 л! Р гг! — / е * дгх, ф е егГ '(чг().
м/л (р — 1) /р о ! 1 /ггг(т 2е' — — /1 е — = — /1 е г((ч/т) = Р— 1 огР ' г/лт игл а а По теореме смешения имеем егГЯ =; 71б. Найти изображение функции /(1) = ЕгГ ( /Г) . М Согласно определению, ЕгГ ( /Г) = 1 — егГ (м/1) . Следовательно, 1 1 1 ЕгГ(г/(); ' р р.,/р+! р+1+,/р+!' 717. Найти изображение функции /(1) = е ' . и Применим преобразование Лапласа. Получим: а 0 ага ~2/' в о 338 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа гаг!т.|-! )агда! 1 аа д Поскольку агату Г(а Гин-г-д' чо 7(г ~-ии —,2) Гагату)Г(р~ПГ а( ' откуда 1*1= Г(а+ 1)Г(!3+ 1),дщ + Г(а ф 13 ф 2) Полученный результат позволяет установить связь между Г- и В-функциями Эйлера.
Лействительно, согласно определению свертки, имеем Г(а+ 1)Г()3+ 1) „„„, г'(1 — т)" г(т = — 1" 'д ". 1'(а+ )3+ 2) Полагая в интеграле т = Гх, получаем йт = Гг(х, т" = 1 х', (1 — т)д == 1д(! — х)" „ ! т (1 — ) йт =1 ~ х (1 — х) Ь =1 и .,д,! / .,! .,дщ Г(а+ 1)Г(/3+1) е 'г Г(гг-г)3+2) д Г(а + 1)Г(!3+ 1) х"(! — х) г(х = Г(а + /3 ф 2) я % 3. Обратиее вреебразоваиве Лапласа 339 718.
Найти изобрюкешае ф ии г(С) = е(С. < Босполшуемся решением примера 717 и теоремой об интегрировании оригинала: если С =. Р то 7' У(т) "т ф -(Р-. Находим: Р а 2 ег( С =' — е 4 Ег( ( — ) . м 'р |2) Окончательно имеем С(С) = е — (1 + С)е . Ь 72а.н, .с и а .г,...са>- (Р 49)(Р -С-4) < Записав Г(р) в зиле р(р) = -ср — -тр — и приняв во внимание, что р +9 р -с-4 =' сот 21, по теореме Бореля получаем: с 1 Г 7(С) = / созЗ(С вЂ” т)соъ2гйт = — / (сов(5т — ЗС)+ соз(ЗС вЂ” т)) йт = 24 о а 1 уяп(5т — ЗС) )!' ' 1 /з(п21 япЗС вЂ” — яп(ЭС вЂ” т)) ~ =- — !( + — яп21+ з|пЗС) 2~, 5 !=а 2 5 5 — ту — ='созЗС, — — СР— ф и -с- 9 ' ' р -|- 4 1 = -(3 з|п ЗС -2 яп 21). я 5 721. Найти оригинал функции Р, где й(р) = -з — ! †.
Р (Р + !> < Запишем функцию р в виде Г(р) = р — г. — ! — — — р|а(р) ф(р), где р(р) = — г, ф(р) = — ! — -, 1 ! ! Р Р Р Р+! Из соотношений — т =' .б- — — С(С), =' з|пС = д(С), по формуле (2), п.2.4, получаем (записав ! Р -С- 1 ее в виде л(~1(т) Р(С вЂ” т) с(г ф р(р)Ф(р) ): о 1 й Г(С вЂ” т)' ! Г =; — у! яптйт = — у! (С вЂ” т) з|птйт = — +созС вЂ” 1. я р'(р'~Н ' лl ~./ о о 5 3. Обратное преобразование Лапласа 3.1. Формула обрацеиии Римана — Меллииа, Теореме (формула обращения Римана — Меллина). Или функция у яолиетея ориеииолои, т.
е. удовлетворяет услоишии 1), 2), 3) и. 1.1, о р слуисит ее изоброакеииеи, то в любой 719. найти оригинал функции г, гле Р(р) = 1 (Р и !)(Р -с- 2) < Разлагая функцию р на простые дроби, получаем: 1 1 ! р(р) = — — — —- р-1-1 р+ 2 (р+ 2)з Поскольку — 1 ф е — 2 =' е, то решение примера сводится к отысканию оригинала 1 аь — с 1 зь -зс Р+ ' ' Р+ функции зс(р) = — — т — — — -2 — -2.
По теореме Боре!и ! ! 1 (Р42) Р-с- Ре с ус(р)=' /е е йт=е / йт=е С. о о Гл. 7. Метод иитегравьвмх щтобразоааивй Лвпваса 340 точке ггепрерыаносеи функции у выполняется равенство ьн г (С) = — / сир(р) др, ! (1) где интеграл берется вдаль любой прямой (р Е С ! Кер = а > а) и понимается в смысле главного значении по Коши. В точках разрыва функции г' вместо г (С) н левой части формулы (1) следует взять 2(у(С+ 0) 4 у(С вЂ” О)). 3.2. Сведеппи из теории функций комплексного переменного. Напомним читателю, что функция у; С вЂ” С, диффсренцируемая в каждой точке некоторой области 2), называется аналитической (иначе, регулярной или моноггнной) в этой области. Если функция у аналитическая в кольце К = (г Е С ~ г < ,'г — го! < Л), то она может быть представлена своим рядом Лорана гг(г) = ,), сь(г — го), =- о равномерно сходящимся в любой замкнутой области, приналдежащей кольцу К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
