А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Лвиейвые лифйюреиииальвые уравиещщ и системы 355 т(р'+оо~)Х(р) = а~ ( е о'бП вЂ” Йт)г)!. Поскольку ) б(з — Йг) бз -ро г)(! — Йт) ф — ' —, то р = 0(! — Йт), т.е. 0'(! — Йт) = б(1 — Йт), а по свойству оригинала -ры о!(1-Йт)фр — =е" р б(! — Йт) = ои Следовательно, ~ е "б(à — Йт) Ж = е ""', 2. е го' = (1 — е ' ) ', в силу чего окончательно о=о находим Х(р) = по(р" +ыз)(1 — е о ) Совершив восстановление оригинала х(!) ф Х(р), получим решение задачи. Для воссгановления оригинала применим вторую теорему разложения.
Функция х мероморфная, она имеет полюсы в точках р, о = х!ы и ро = — "„" (Й Е Уо). Если т не является целым кратным т, = — ' (что и предполагается), то все полюсы простые, и. найдя вычеты, получим согласно второй теореме разложения .а )1 ы т/ х(П = — ~- —, хт совы'(!+ -) — ч созЙ вЂ” ы! шыз ) т 2з!п хут- ( 2) ~:, тз — Йзтз т Решить системы линейных дифференциачьных уравнений с постоянными коэффициентами. ((2хо — х'+9х) — (уо+у'+ Зр) = О, 746.
(2 о+ *'+ 7х) — (ро — ро Ь 50) = О, х(0) = х'(0) = 1, д(0) = р'(0) = О. М Операторная система, соотаештвующая поставленной задаче, имеет вид (гр' - р+ 9)Х вЂ” (рч+ р+ З)У = гр+ 1, (2р' + р+ 7)Х вЂ” (р' — р+ 5)У = 2р+ 3, где Х(р) ф х(1), У(р) ф р(!). Взяв сумму и разность этих уравнений, получим р+1 2Х вЂ” У=2, Х+У= —, 2 .!.
4 ' р — 1' откуда 2р 2 1 Зр 2 2 З(р — !) З(рз + 4) 3(рз + 4) ' 3(р — 1) 3(рз + 4) 3(рз + 4) Перейдем к оригиналам. Имеем х(!) = — (е +2сом2Г+яп2$), р(!) = -(2е — 2соз2з — зш2!). м 1 1 3 3 745. г'очечная масса гп совершает прямолинейные колебания, причем сопротивлением сре- ды пренебрегаем, а восстанавливающая сила иоызх пропорциональна смещению. В моменты времени го — — Йт (Й Е Жо) массе сообщаются импульсы величины а.
Найти движение частицы, если начальное отклонение и начальная скорость равны нулю. < Положение равновесия точки принимаем за начало координат. Согласно второму закону Ньютона уравнение колебаний точки имеет вид шй+ тйю х = о~б(! — Йт), «=о где б — импульсная функция или функция Дирака. Применив к этому уравнению интегрзльное преобразование Лапласа, получим уравнение от- носительно изображения Х(р) =' х(!) 356 Гл.
7. Метод виш»рад»выл вреабразававий Лапласа хо †«+«=О, 747. х+У -У+«=0» х+у+«о — «=О, х(0) = 1, у(0) = «(0) = х'(0) = у'(0) = «'(0) = О. и Пуси х(Е) Ф Х(р), у(Е) = У(р), «(Е) = Я(р). Операторная система, соответствующая дифференциатьной, имеет вид (р' — ПХ + У+ Х = р, Х + (р' — !)У+ Х = О, Х+ У+(р — 1)Я = О. Решая зту систему по формулам Крамера, получим Х= Р У=У=— р — ! т + !Ир' — г)' (рз + 1)(р' — 2)' По второй теореме разложения находим оригиналы 2 1 1 1 х(О = — сЛ(Е»Е2) + — созЕ, у(Е) = «(е) = — — сЛ(СЯ) + — со»Е. и 3 3 ' 3 3 748.
хо = -ахо х» — ах» — — ах», (й = 1, и); хо(0) = 1, х»(0) = 0 (й = 1, и). и Пусть х„(Е) =' Х(р), х,(Е) Ф Х,(р) (й = 1, и). Операторная система, соответствующая дифференциальной, имеет вил (р+ а)Хо — — 1, (р+ а)Х» — аХ», = О, откуда Х»= ' (у=О,й). (р -1- а)»+' Оригиналы находим по формуле 4 таблицы: 1 х»(Е) = — (аС) е '. а. й! х +х+у — у=е, 749.
х'+2« — у'+ у=е ', х(0) = У(0) = У'(О) = О, х'(0) = 1. м Пусть х(Е) 4 Х(р), у(Е) Ф 1'(р). Поскольку выполняются соотношения 1 х'(Е) ФрХ, хо(Е)влр Х вЂ” 1, е'4 —, у'(С) =;РУ„У»(Е) Фр У, е 'Ф вЂ”, ' р — !' ' " ' ' р+1' то операторная система, соответствующая дифференциальной, имеет вид р'Х-1+рХ+р'У - У = рХ+2Х-рУ+У= —,7, ! р+ решив которую, получим: 2р — 1 1 3 Зр Х(р)— + У(р) = 2(р 1)(р.!.!)т 8(р 1) 4(р+ 1)» 8(р+ 1)' 2(р» Цт Из соотношений — т-à —— ,' е, -т — — — »Л Е по теореме дифференцирования изображений находим 1 . » 1 о э или Окончательно получаем ( — ) 4 -Ее и ( — ) =; -СзЛЕ, 1, 2р =:Се и ф Сз!»Е.
(р+!)т („т И» 1 3 3 х(Е) = — ьЛС+ — Ее», у(С) = — СзЛС. В 4 4 ' 4 357 $5. Иитегральиые уравнения типа свертки. Особые уравнения 750, Три одинаковые точечные массы гл закреплены на струне так„что расстояния межлу ними и расстояния от крайних масс до закрепленных концов струны равны !. В начальный момент все массы находятся в положении равновесия, причем средней массе сообщается скорость еь. Найти движение системы (рис. (Об).
т Диффереззциальные уравнения движения системы найлем с помощью уравнений Лагранжа, которые для ма- ~ою лых свободных колебаний имеют вид д /дТЛ дП вЂ” — — -о — — — — о- — — — -о — — -— ! ! д! Ьдь1 ддь ! где Т вЂ” кинетическая, П вЂ” потенциальная энергия систе- М ° ° М (х ) мы, з)ь — обобщенные координаты, а точка означает произ- ззхзз водную во времени. Если х,(!), хг(!), хз(!) — отклонения масс от положения равновесия, то / ° 7 ° з ° зз ! / 2 з 2 Т = (х! + хз + хз) з П =- (х! + хз + хз хзхз хзхз) ! тле Р— натяжение струны. Уравнения движения нмезот вид: аз + Л(2хз — хз) = О, хз+ Л(2хз — хз — хз) = О, хз+Л(2хз — хз) = О, где Л = — О.
Принимая во внимание начальные условия х,(0) = хз(0) = хз(0) = хз(0) = хз(0) = О Р а,(0) = с„, получаем операторные уравнения (р + 2Л)Х, — ЛХ, = О, -ЛХ~+ (р + 2Л)Хз — ЛХз = оь, -ЛХз + (р + 2Л)Хз = О, гле Хз(Р) Ф хзП) Хз(р) Ф хз(!), Хз(р) Ф хз(г]. Решив эту систему, имеем (рз+ 2Л)з — 2Лз ' з (рз + 2Л)з 2Лз ь.
Применив вторузо теорему разложения, находим: оь з'ззпыз! япызгд еь уз!пыз! ззпыз!) гз(!) = хз(!) = — — ( — ), хз(!) = — ( + 2зГ2 ы, ыз У' 2 з, ыз ыз где ы, = Л/(2 + ~/2)Л, ыз = ф2 — ъ'2)Л. и. ф й). Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения 5.1.
Интегральные уравнения типа свертки. Уравнение вида р аг(!) = уз(!)+Л~К(г, т)г(т)дт, а < ! <))з (!) где у — неизвестная функция, р и К вЂ” заданные функции, а, Л, а, )У вЂ” постоянные, называется линейным интегральным уравнен»ем Фредгольма первого рода, если о = О, или второго рода, если о~О. Функция к, определенная в квадрате г)» = )((, т) е )и ! и < ! < )г, и < т < )у(, называется ядром интегрального уравнения.
Если Зз(!) = О, то уравнение называется однородным. Гл. 7. Метод ивтегральимл преобразований Лапшов 550 Уравнение 5.2. Интегральные уравнения второго рода. Если интеграл 1 е К«) в У«)йг ь абсолютно сходится, то преобразование Лапласа переводит свертку по теореме умножения 3. Бо- реля в произведение изображений, т. е. к«)*у«) =.к(р)р(р), где К(р) =' К«). Поэтому уравнение (4), п. 5.), после перехода к изображениям У«) =; Р(р), р«) =' Ф(р), К(Г) Ф К(р), перейдет в операторное уравнение аР(р) =- Ф(р) + ЛК(р)Р(р), откуда .р(р) = Ф(р) а — ЛК(р) Р(р) = — Ф(р) + — — Ф(р).
К(р) а а а — ЛК(р) или Обозначим — — — = Ф(р), и пусть Ф(р) Ф т)(Г). Тогда равенству Кш) в — ЛК(р) ! Л Р(р) = - Ф(р) + — Ф(р)Ф(р) соответствует а классе оригиналов решение аг (С) = р(Г) + Лт)(й) ь у«). В частноспз, если Функция К есп многочлен К(Г) = 2' аь(», то ее изображение К(р) приз=а нимает вна — ае а~ и! К(р) = — + — + ... + а —. 3 ''' роы Тогда К(р) а,р" + а р" ' + ... + и!а„ а — ЛК(р) арми — Лавр" — Ла ~р" з — ° ° ° Лава! Функция Ф является дробно-рашюнальной и ее оригинал гй можно найти по второй теореме разложения.
Таким образом, решение Р(р) опершорного уравнения, соответствующего интегральному уравнению второго рода типа свертки, всегда можно преобразовать в простРанство оригиналов. аЯ) т р(Г)+Л/ К«, )У(т)йт (2) а называется линейным интегральным уравнением Вольтеруо первого рода, если а = 0, или второго рода, если а Ф О. Если ядро уравнения К зависит только от разности ( — т, т. е.
К(Г, г) = К(Г -т), то интеграл К« — т)((т) г(т = КВВ ь 7(О ь является сверткой Функпий К и У. В этом случае уравнение Вольтерра а/(Г) = р(г) + Л / К(г, т) У(т) Ют (4) будет уравнением типа свертки, и его решение можно найти операционным методом, пользуясь теоремой умножения Э. Бореля. $5. Ивтегввльиые уравнения типа снертаи. Особые уравнения 5.3.
Интегральные уравнения первого рода. Интегральному уравнению первого рода уг(1) = Л / К(1 — т) Г(т) дт о соответствует операторное уравнение й(р) = лк(р)р(р), решение которого 359 ! 1 р(р) = — = Ф(р) (2) Л К(р) нельзя перевесги при помаши теоремы умножения в пространство ори~иналов, так как функция — не яшшетсн изобрахгением, поскольку необходимым условием существования изображенин 1 К является выполнение соотношения 1цп(К(р)) ' = О. Однако, в некоторых случаях решение существует.
если функции к и ч» дифференцируемы и к(0) ~ О, то, продифференцировав уравнение (1), получим интегральное уравнение 2-го рода у»'(1) = Л / К'(1 — т)У(т) дт -1- К(0)У(1), (3) о решение которого существует Если К(0) = К'(0) = ...
= Кт п(0) = О, а Коо(0) ~ О, то после (и+ 1)-кратного дифференцирования уравнения (1) получим интегральное уравнение второго рода (ат'п(1) = Л ~ Ко"'(1 — )У( ) 4~+ К'т(О)У(1). о 5.4. Особые интегральные ураввевия. Ивтегрвльвое уравнение Абеля. Интегральные уравнения (1) и (2), п.5.1, называются особыми, если ядро К(1, т) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках сегмента (а, Д, либо один или оба предела интегрирования а и р бесконечны. Примером особога интегрального уравнения Вальтерра 1-го рода служит интегральное ураанение Абеля дт = у»(1)» О < а < 1.
у(т) (1 — т) о Уравнение получено Абелем для случая а = 2 при решении задачи а таутахране; найти 1 кривую, сколшя вдаль которой без тренин, тяжелая частица достигает своего самого низкого положенил за одно и то же время, независимо от ее начального положения.
Пусть ядро К уравнения (1), п. 5.3, при 1 = 0 обращается в бесконечность и не имеет произ! водных. Рассмотрим свертку У(г) о! = ~У(т) дт = а(1). по свойству интегрирования оригинала о имеем ! д(1) =; а(р) = - Р(р) Р и равенспю (2), п. 5.3, принимает вид Ж) = — б(р). 1 (1) Лрк(р) Согласно теореме 11, п. 1.2, йп рК(р) =!!шК(1) = са, следовательно, йш — = О. Поэтому 1 'Р го т»ь рИ(р) функшш — является изображением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
