А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 78
Текст из файла (страница 78)
С цомошью теоремы уынолгения равенспю (1) можно ! рИО») перевести в пространство оригиналов. Гл. 7. Метод юпетральиых преобразований Лапласа 360 решить интегральные уравнения второго рода. 751. Я) = з!п ! + — ( (! — т) ~(т) Ат. 27' о М Перейдем к изображениям. Имеем ! г з г 2 7(!) — Е(р), $!п ! —,, (! — т) 7(т) Ат — Ю е Я) — — р(р). ,+1 / р' а Операторное уравнение, соответствующее интегральному, принимает вид ! 1 2 р(р) = + — — р(р), р~ + 1 2 рз откуда У(р) =- (р — 1)(р'+ 1)(рз+ р+ 1) Представим функцию Р как сумму простых дробей: А Вр+С Рр+Е (Р) ! з + Т ,з+р г !' Из тождества р = А(р + 1)(р +р+ 1)+ (Вр+ С)(р — 1) + (Рр+ Е)(р — 1)(р + 1) получаем систему уравнений А+В+Р = О, А+С вЂ Р+Е, 2А+Р— Е=О, А —  — Р+Е=О, А — С вЂ” Е=О, -1, Согласно второй теореме 1 решив которую, получим: А = 6, В = 2, С = 2, Р = — 3, Е =— ! ! 2 разложения имеем 1 ~ 1 (Р+ 1)ег ! (р+ !)ер 1 (2р+ 1)ел~ ~(!) = — е + — гез + — гез — —, — — гез 6 2; (рз+ !) 2, (рз+1) З,,гз; (рз.+р4- П 2 1 (2р+ 1)е"' — гез 3 -~-~Ъ (р'+р+ 1) 2 г багз ! ( , 1,3~ = — е + — (сот!+ з!и !) — - е з соз — ! = — ~е + 3 сот(+ 3 з!и ! — 4е т соз — г') .
м 6 2 3 2 6 ~ 2 752. ((!) = е и+ 3~с ц ''~(т) Ат. о м пусть Р(р) ~ 7(!). В правой части уравнения перейдем к изобрюкениям. получим 1 е и Ф вЂ”, 3 ! е Е "7(т)Ат =, 'ЗР(р)— ' р+2' у ' р+1 о (по теоРеме э. БоРелЯ). тогда Р(Р) = б, +~~~- 2) — — лч,— +-~) + 4~;--~, откУда находим 1 3 И) = 4 ( и+ 3 ") и 361 $5. Ивтегральвые уравиеиия типа свертев. Особые уравнения 8 г 753. У(>) = ь!п2> — — / ьЛ3(> — т)~(т)бт, зl ° ПУсп Р(Р) Ф > (>).
По таблице изобРажений ь>п 2> =; -т —, ьЛ 3> =' -т —, а по теоРеме 2 р+4' р — 9 умножения Э. Бореля 3 ьЛ 3(> — т)1(т) аьт =' Р(Р) ,г 9' о Интегральному уравнению соответствует операторное уравнение 2 8 Р(р) = — В(р), рз+ 4 рт — 9 решением которого является функция В, где Р(р) —, — + + 2(рз — 9) А В Ср+ В (ро†!)(рз+4) р — 1 р+1 рз+4 Из тождества А(р+ !Нр + 4)+ В(р — !)(р +4)+ (Ср+ В)(р — 1) = 2(р — 9) находим А = — 5, В = 5, С = О, Ю = -5-. Таким образом, 8 8 26 8 8 13 2 5(р — 1) 5(р+ 1) 5 рз+ 4 По таблице находим 8, 8, !3 >'(>) = — — е'+ — с '+ — яп2> = — (13яп 2> — !бьЛ>).
и 5 5 5 5 754. У(>) = >'+ / ь>п(Ю вЂ” тИ(т) Ат. о И Для получения операторного уравнения перейдем к изображениям: 6,, 1 Г, Г(р) у(>) Ф Р(р), > =' —, ь!и> =;, / яп(> — т)~(т)а>т =,' рао ро+ 1~ / рз+ 1~ о 6 Р(р) 6(р~+!) 6 6 р(р) = + р(р) = = — + —. >,а рз+>,ь ь „а По таблице изображений находим: >5 У(>)= +> >ь 20 Проинтегрировать уравнения Вольтерра первого рода.
755. 1 — соь> = ~ьЛ(> — т)У(т)Ат. о и Здесь ядро К(>) = ьЛ > является дифференцируемой функцией и К'(О) ~ О, поэтому уравнение имеет решение. Перейдем к изображениям: р , Р(р) 1 — соь> =, 2> ьЛ(> — т)3(т) о>т = ьй>ау(>) ~ —. з+ 1 (рт+ 1) ~ > 2 о Операторное уравнение принимает вид 1 Р(р) р(р'+ 1) рз — 1' р'-! р Р(р) = = 2 — — —. р(рз+ 1) ро+1 р' 362 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа Из таблицы июбрюкений находим; У(С) = 2сокс — 1. В» Перейдем к изображениям: сок! = С к?п(с — г)У(г)?ст = р г Г(р) —,+! l р? о У(с) Ф Г(р), Операторное уравнение принимает вид р Г(р) — — + Г(р). р?+ 1 р?+1 Отсюда Г(р) = - . Следоватеяьно, Р' У(с) = 1.
м 757. 1 — сок! = / сй(С вЂ” т)У(т)г)т. а М Поскольку сй О = 1, то, аналогично проделанному в предыдущем примере, сводим данное интегральное уравнение первого рода к уравнению второго рода к?пс = ~зб(с т)У(т)?ст+ У(с) о Решение соответствующего операторного уравнения имеет вид р? — 1 2 1 Г(р) = р?(р?+ !) р? 1 ! Р?' Следовательно, У(с) = 2к!Пс — с.
ы 758. С! = / (С вЂ” т)?У(т) Лт. о ° а Здесь К(с) = С', К(0) = К'(0) = О, Ко(0) = 2. Применив формуту (4), п.5.3, находим: 6 = 2У(с)» У(с) = 3. ы Решить системь! интегральных уравнений. х(С) = С?+ /у(т)?ст, а 759. у(с) = С+ ~ к(т) гст, о з(с) = 1 + / х(т) ?Ст. о ° 4 Пусть х(с) =; Х(р), у(с) =' Р(р), з(с) Ф Я(р).
Тогда получим: , т(Р) г, и(Р) г . «(Р) у(т) ?Ст = 1 ау(с) Ф, Г з(т)Фг = 1 ох(С)»й —, ~ х(т)?(т = ! о х(С) Ф вЂ”. 756. мпс = / сок(с — т)У(густ. о м Здесь К(О) Ф О, где К(с) = сок С. Посредствол! формулы (3), п.5.3, получаем интегральное уравнение второго рода сок! = — / к?п(с г)У(г) ?сг + У(с). о 363 ф 5. Интегральные ураввешш типа свертев. Особме уравнения Система соответствующих операторных уравнений имеет вцд 2 Р(р) ! г(И) ! Х(р) (Р) 3 с (1) 2 р ' Р Р Решая эту систему, находим /3 4 т/3 / + !'с~+ 3 3(р — 1)' 4 +' Х(Р)— 3(р — 1) 3(рс+р+1) 3 / 1!'+ 3 Л 3 4 8 у+2 Р'3(Р-!)'3 ~ Перейдем в пространство оригинагов, Получим 4, 4 с с/3 4 с . ч'3 х(С) = — е' — — е 3 соз — С вЂ” — е 1 вп — С, 3 3 2 т/3 2 4, 4 С С/3 4 с ОСЗ у(С) = -21+ — е' — — е с соз — С+ — е с мп — С, 3 3 2 т/3 2 4 , 8 с т/3 «(С) = -3 4 — е'+ — е-1 соз — С.
и 3 3 2 4(Р+ 2) х(С) = С+ ( у(т)с)т, а с у(С) =1+ ( х(т)~п 8 ио. < Пуси, хЯ Ф Х(Р), у(С) =' У(р). Тогда у(т)с(т = 1оу(С) Ф, ! х(т)с)т=! ох(С) Ф Р(Р) ', Х(Р) о Р 1 У(р) 1 Х(р) Х(р) = — 2+ —, Г(р) = — + —. Р Р Р Р 1 1 — 1=. —, Р Р Решая эту систему, получим; 2 2Р ! Х(р) =,, Р(р) = Из таблицы изобрюкений находим: х(С) = 2СЬСс у(С) = 2с)зС вЂ” 1. и г .Сот сСФ(С) 1 / С иЯ = ССС(С), и(С) = Ь , иЯ = — 1 ~ С(т) с(т + с)о — с1,/ о 761. В контур, состоящий из последовательно соединенных ицауктивности Ь, емкости С И СОПрОтИВЛЕНИя СС (РИС.
107) ВКЛЮЧастея ЭЗ,С. В. ТОК В КОНтурЕ И Заряд Сдс КОНдЕНСатОра В начальный момент времени равны нулю. Определить зависимость тока в контуре от времени. ° 4 Как известно, ток с(С) и напрюкение У(С) на концах элемента цепи, содерлсащего активное сопрошазение СС, самоиндукцию Ь или емкость С, связаны соотвегственно соопюшениями 364 Гл. 7. Метод ввтегральиых преобразований Лаиласа где о» вЂ” начальный заряд на обкладках конденсатора. На основании закона Кирхгофа имеем уравнение ! г + Е( + — ( Ц г) йг = Е 4! Сl (1) о (принято ао внимание, что у» — — 0). Пусть ((С) Ф 2(Р). Интегро-дифференциальному уравнению (1) соответствует операторное уравнение ( 1! Е «'Р+ Е+ ~ «(Р) Сру' решение которого имеет вил (2) 2(Р) = 6 (Рз и ТНР+ -Т!б.) Уравнение 2 Е 1 Р + — Р+ — =0 Ь ЬС инее~ коРни Рь« = — тг ~ — г — Т6.
Обозначим Н = о, а — = )3 Т да Р, = Н Л~ 1 и 7 з ! 46 = — о+ А Рз — — -а — )3. Тогда 1(Р) из (2) запишем в форме Е 1 .Е ! 1 Е 2(Р)— Е (Р Рд(Р Рз) «'(Р~ Рд ~Р— Р~ Р Рг) 22»9 (р — р! Р— Рз) ' Перейдя к оригиналам, получим: -и Е ((!) = — е "'(е ' — е и) = — е '«Ыу!. 2,Ы ДА (3) Если о > Т6, т.
е. Е > 2У т, то корни р„р, действительные и формула (3) пригодна лля 2 ! Ь~ вычислений. Если К < 2 Я, то корни р, и Р, комплексные. Обозначим ы = )( ~ — гг'. Тогда г 1 г )3 = (и, и принимая во внимание, что «Ц(ыс) = (з!п»«1, имеем !(!) = — е япы!. -м ый В атом случае в контуре происходит затухающий колебательный процесс с частотой ы. В критическом случае, т. е. когда,9 = О, значение ((!) можно получить из формулы (3) с помощью предельного перехода прн )У вЂ” О. Используя правила Лопиталя, нзходим: Ее ма)з)у! Е ((с) = и = — !е м.в «-» )уу, Х Решить особые интегральные уравнения.
76л. «! — йг = р(!), О < а < 1. г 1(г) l (1- )" о ° в Поскольку К(!) = !», то Х(!) ф — (т-вр2 = К(Р) (см. пример 682). Ядро Х в точке ! = 0 Р обращается в бесконечность, позтому операторное уравнение, соответствующее интегральному, определяем по формуле (1), п. 5.4: Е(Р) = Ф(р) = Ф(р). 1 ДРК(Р) Р»Г(! — а) Оригинал изображения с«(Р) найдем по теореме умножения: ! 1 з!пка г,, р(!) = Г(а)Г(! — а) *РЕ)= / ' Ф вЂ” )4 » й 5. Иатетральвме ураввеииа твва свертки.
Особме уравнения 365 (воспользовались формулой дополнения Г(а)Г(1 — а) = †" , 0 < а < 1). Палаша, что функция д дифференцируемая, накопим решение уравнения Аооеля гс»=55»- (7~.'»ч- и. (5»' '). ° о ИЗ. (-7(')" = Л а (( — т)у Ч Полагая в предыдущем примере а = у, р(Ц = яп 1, находим: 1 т Г)' 5!Пч г д!) = — ( т а сео(! — т)ат = ~( — ссо! ( — ат+япг/ дт = )( (С(1)созга-у(!)51п!), т )( т ~ 5Г2тт /от / 1 т а о а где С(!) н 3(!) — интегралы Френеля (см, пример 707).
м .Н г яп2чг!т 764. Г(!) =! -Ьл / Г(т)пт, (Л1н1, а> -1. й ч Пусть | Ф Р. Согласно решению примера 682, !' ф;тт . При решении примера 727 1 гт ! нашли, что яп25Г! =; — Г --е 5, По теореме подобия имеем — — — =' — ~-е г. Изображение яп2»Г!т . 1 = р)гр балт =. ЯР интеграла г — ~=- — г(т) 5(т найдем с помощью теоремы эфроса (см. п. 2.3), в которой следует яп 2ЪГ!т а взять Ф(р) = „, д(р) = — „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
