А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 75
Текст из файла (страница 75)
у(!) = —. со5252! 2! < Из разложения к мк-1 со5222! (-!)222»!к ! (2Й)! и соотношении 1! ! Г (Й+ 2) (2Й вЂ” 1)112/л (2Й)!2!»л 2 — ' к -' ькй р 2 2 р 2 Й!225 2 находим о получено разложение в ряд Фурье на сегменте [О, 4) функции (О, если 4й — ! < ! < 4Й+1, ,( 2, если 4й+ 1 < С < 4Й+ 3, по косинусам кратных дуг. действительно, коэффициенты Фурье ак,оля функции 1 вычисляются по формулам Гл.
7. Метод ннтегралыная преобразований Лапласа 731 У(С) = С?2«(2ч?С), где 2„(х) = ~ (-1)~(-~ «о лева) функция 1-и? рода и-го порядка. н Подставляя в формулу для 2„(х) вместо х аргумент (?С)"+?« ((с) = ст 2„(2чС) = С ? ~ (-!)' й!Г(и+ у+ ! Принимая во ю?имание решение примера 682, имеем Г(а + й + 1) р «««? 1 — цилиндрическая (бессей!(и+ й)! 2??гС, получим ( 1)«С«ы ) -Е,,(„„,1) Следовательно, )« ? 7!1 «(И Г(С)=~ ( !) = — 2 ( — 1) — = — е У, пЕ??.о.м — Р ? «=о "' Р"+ 734.
° Г'(С) = м Воспользуемся решением предыдущего примера, полагая там и = 1. Получаем ! ! Ст,7,(2«?С) =' — е о. р? По формуле интегрирования изобрахгеиия (теорема 1О, и. 1.2) находим ? «ы Г !ту (2ч?С) г е о ?Сд 11+а ф/ — =еГ~=! — ер. / (Г? г Таким образом, ? Г(С)=,! — е У и. 4 4.
Линейные дифференциальные уравнения и системы 4.1. Интегрирование уравнений е постоянными коэффициентами. Пусть дано дифференциш?ьное уравнение 4"у 4"-'у Ау Ьу = ао — -Ьа? — „+ ... + а„-? — + а у = Г(С) «СС" АС"-' ''' " 4С и начальные условия А(р))г(р) = Р(р) + В(р), (3) где А(р) н В(р) — известные многочлены. Решая зто уравнение, найдем операторное решение Р(р) + В(р) А(р) у(О) = у„й?(О) = у, ..., Уи '(О) = у' (2) Считаем, что ао ~ О и функция г", а также решение у(С) вместе с его производными до п-«о порядка являются оригиналами.
Обозначим )'(р) Ф у(С), Р(р) ив У(С). Г!о правилу дифференцирования и свойству линейности вместо дифференциалыюго уравнения (!) с начальными условиями (2) получаем операторное уравнение (аоР '- а,Р + ... + а„) У(Р) = = Р(Р) + уо(аор" ' + а?Р" ' + " . + а.
?) + Уо(аор" ' + а?Р" ' + " . ь а -?) е " е Уо" 'ао, или 347 $4. Лияейиые дафферевииальиые урнвиеиия и системы Если уравнение (!) при начальных условиях (2) допускает решение у(!), удовлетворяющее условиям, пало,кенным на оригиналы, то это решение является оригиналом лля г (р). 4.2. Решение сметем лпнейныя дифференциальных уравнений с постояннымн ноэффнниентамн. Аналопочно применяется операционный метод к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть требуется решить систему и дифференциальных уравнений второго порядка Х, аы —,+Ьы — +с,кдк =У(!) (в=1,п) кы ( с начальными условиями 4.3. Решение уравнений с пулевыми пачаяьнымн условиями прн помощи интеграла Дюамеля. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения АУ=У'"'+а,У'" "4 ... Ч-ак,д'+акр=-~(!) с начальными условиями д(о) = у'(о) = ...
= у'" 0(о) = о. (2) Рассмотрим задачу д(0) = д'(0) = ... = ди к(0) = О, (3) где бд — левки часть уравнения (1). Поскольку операторные уравнения, соогветствуююцие задачам (1), (2) и (3), имеют вна 1 А(р))к~(р) = —, р если известно решение задачи (3), то„сот!шоно А(р)Р(Р) = Р(р) где Р ф 7, то У(р) = РУ~(р)Г(р). Таким образом формуле Дюамекш, имеем д(!) = ~ ~(т)у',(! — т) Ат о (приняли во внимание, что у,(0) = 0 согласно начальным условиям). Формула (4) принимает вид у(!) = у,(!)У(О) + ~ у,(!)У'(! — г) 4 .
(5) о Решить слелующие дифференциальные задачи. 733. у" +о'у =Ьппас; у(0) = уо, у,'(0) =)4. ° Операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид (р +а))к= +уор+уо. аЬ рк+ ак Ада(О) дк(0) = ик, = !Зк. А! Если ук(!) и 7,(!) — оригиналы, а Ук(р) и Г,(р) — их изображения, то система (1) с начальными условиями (2) заменится операторной системой (аккР Ч-Ь„ку+с„к) Ук(Р) = г,(Р) + ~ ((а,кР-> Ь„к)ах 4-а,к!ук!.
(3) к.—. ~ к.—.! Решая се как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем Ък(р), а потом и их оригиналы дк(!) Изображение Оригинал 1 р ГО,есппг < 0 ч1!) = ~ 1,', 1 > о У!д Ь 1) рьы 1» !д > -1) С, Д = СОП5! и! 1р — д) 1"с", и Е И, гг = сопь! 5!пи!, и Е К, и = сопь! р2 ! яг (р — д) 2 -1- а! 1ю(р -1- ьд)" и! ! 2 ь 2) ьч р — гг !р — а)2 -1- аг КС!Р 1-ИО)ьы и! —— ! 2 + „2)ь.» 10 ьпьгг, а Е И, а =- сппь! р р2 2,22 с!!ыг, я Е И, а = сопя 12 *)п аг —, Я ЕЖ, ы=сопы 1 гг р — — ьгсга— 2 ы дг п)г сю— рг Ьи! 252 1Япьгь(, и Е И а = ссп5! ег 2бгт( ) 222 с, ОЕй, а=сопя 15 с —, аЕРО а=соль! ч'и! ' 1 ьра+ а 16 с -д р 1 — е Тг, ОЕИ, а=соль! ьгюь 17 1 1 — ь!ив Я гь — е " ы)п игр 1 р чр 1 — соь— сгпг 21 — е ср усов ьгр 1 ч'р — длр р /а т бгт~ — ), ОЕИ, а=сапы )ьг г,)' 20 Таблица оригиналов и их изображений 5' япыг, ы Е И, д = спп52, м = сппь! 1" япы), и Е И, я Е И, дг = сопи ссьыг, и Е Рь Я = сОп5! е сщаг, ЯЕИ, а=-соль!, а=сопя ! сп5а!, и Е И, а Е И, Я =.
сдп5! Приводим таблицу изобрюкеиий для некоторых функций и соответствующие указания для пользования ею. Если требуется по заданному оригиналу найти соответствующее ему изображение, щ таблицу читают слева направо; если известно изображение и требуется найти соответствующий ему оригинал — справа царево. Таблицы более подробные, чем предложенная здесь, приводятся в специальной литературе по операционному исчислению. 349 и 4. Линейные диффереицвазииые ураииеиив и системы Решив его, находим аЬ Р Уо У(р) = +Ус + — (Рз.„аз)з Рз щ,з Из таблицы изобрщкений функций находим: Уо Р . Уо . Уо ф уосоза(, ф — з!п ай орз4аз . о ' РзЧ аз а Поскольку — т — т-г — — 2 — г — р-гт —, то по формуле 7 таблицы и теореме об интегрировании аЬ Ь 2а ! (р +а ) (р +а ) Р' оригинала имеем аЬ Ь г Ь Ф / т з!и агат = — (з|п а( — а( соа а!).
(уз+аз)з ' 2 l 2аз о Окончательно получасов Ь Ь о|па| 7 Ы'г у(Г) =- ( у'„+ - - ) — + ! Уо — — ) севан и. 2а) а г, 2а) 734. У" 4 4У'+ 4у = е а(соз | + 2 з|п |); у(0) = — 1, у (О) = 1. а Перейдем к изображениям: УФУ, у ФРУ+1, у =, 'РУ-|-р — 1, Р -|- 2 сщ( 4 2з|п| Ф 2,„| ' у(Г) = е (| — сщ! — 2з|п(). » 735. Ув т зу" + зд'+ д = 1; у(о) = У'(о) = у" (о) = о. «( Пусть у(() Ф У(р).
Переходя д взобркжег!иям, получим операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче: (р4|)'У = —. Р Ею решение— 1 1 1 1 1 У(р)— в(рщ Пз,,+1 ( Ь Пз (ощ |)з' Оригинал изображения У находим по формулам 1, 3 и 4 таблицы: у(|)=1 — е — (е — — е =1 — е 11+!+ — ). » 2 ~ 2) 736. Уи+ у = 1; у(о) = д'(о) = у"(о) = о. М Дифференциальной задаче соответствует операторное уравнение, решением которого является функция У, где 1 р(Р' + 1)' По теореме смещения получим -н Р+4 е (соз!+ 2з|пг) =; (р+ 2)з+ 1 Дифференциальной задаче соответствует опсраюрное уравнение Р У+Р— 1+ 4РУ+ 4+ 4У = г р4 4 (р -|- 2)' -|- 1 решение которого имеет вид 7 Р 4 7Р + 16Р 4 11 ((Р + 2)' + 1)(Р + 2)' 1'азлагая правую часть этого равенства на простые дроби, находим: Р44 1 У(р) = —— + (у+2)о+1 (Р42)з' Перейдем к оригиналу, воспользовавшись свойством линейности, теоремой смещения и таблицей изображений.
Имеем Гл. 7. Метод пвтпгралапых преобразований Лапласа 350 Оригинал найдем с помощью второй теоремы разложения: д(С) = 2. шз(емУ(р)). Функция У Рг имеет простые полюсы в точках р, = О, р, = — 1 и рз = 7 — — 2 —, ра = 7 + -'-2-. Вычисляя вычеты функции р еиУ(р) в указанных точках, находим 1, 1, ег е' шзе =1!шег =1, газе" У(р)= 1гш и р(рз+1) з о рг+1 ' и з -гр(р' — р+1) 3 ехд((г+ — ', )С) 2 1 Д гез ему(р) О гез ему(р) = 2 Ке — = — — е г соз — С. и и :3 3 2 Окончательно имеем е ' 2 1 гггЗ д(С) = 1 — — — — е г сгп — С, и 3 3 2 737. д'" + 2д" + д =- з!и С; д(О) = д'(О) = д" (О) = д'"(О) = О. П Решение операторного уравнения, соответствующего дифференциальной задаче, находим после перехода от функции, ее производных и правой части уравнения к изображениям. Оно имеет вид 1 У(р) = (р' о 1)' Ори~инва д(с) находим как вычет функпии р еиУ(р) в точке р = г': д(С) = Ке — ~ )' = — (3 — С')ппг — — !созе.
и г(Рг '((р+ !)') 8 8 738. д' — д' =- 8 Мп С; д(О) = д'(О) = д" (О) = д"'(О) =. О, дьч(0) = 1 П Поскольку д(С) Ф У(р), д'(С) Ф рУ(р1, д (С) ф р'У(р) — 1, з)пг ф -г —, то операторное р -1-1 ' уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид 5 8 р У вЂ” 1-РУ= —, рг!' откуда „г)9 1 (р) = р(рг — 1)(рг + 1" Оригинал будем находить с помощью второй теоремы разложения. Функция У имеет простые полюсы р, = О, ргл —— Ы и комплексно сопряженные полюсы второго порядка рк, = Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
