И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548)
Текст из файла
КОНТРОЛЬНЫЙ ЛИСТОКСРОКОВ ВОЗВРАТАКНИГА ДОЛЖН А БЫТЬВОЗВРАЩЕНА НЕ ПОЗЖЕУКАЗАННОГО ЗДЕСЬСРОКА.Nячит. билета.�JOi��J20 � 6/t--ЗtСрок возвратаМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАФакультет вычислительной математики и ки бернетики0/,0/.J'Jо/,ot., IЧИ.В.
Садовничая, Т.Н. ФоменкоМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ:ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИУчебное пособиедля студентов 1 курса университетовПод общей редакциейакадемика РАН В .А. Ильина1 А6.1vчоов.1 7 fпт-ры_,МОСКВА-2012ЗБн;с- 1 7'3УДК 378(075.8):517.2ББК 22.161я73С14ОГЛАВЛЕНИЕПРЕДИСЛОВИЕПечатается по решению Редакционно-издательского сов етафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ имени МВ. Ломонос оваПод общей редакцией академика РАН Ильина В.АРецензенты:доцент факультета ВМК МГУ к.ф.-м.н. Тихомиров В.В.,профессор факультета ВМК МГУ д.ф.-м.н.
Фомичёв В.В.Садовничая И.В., ФоменкоCl4Т.Н.Математический анализ. Предел и непрерывность функцииодной переменной: теория и задачи: Учеб. пособие длЯ студентовМ.: Издательский отдел факультета ВМиК1 курса университетов.МГУ им. М.В. Ломоносова {лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.);-МАКС Пресс, 2012.-80 с.ISBN 978-5-89407-471-9Издание посвящено теоретическим и пракrическим аспектам темы «Предел инепрерывность функции одной переменной», изучаемой в первом семестре в рамках программы курса математического анализа.
Оно основано на опыте чтенияавторами лекций и ведения практических занятий на факультете ВМК МГУ.Данное пособие является продоmкением учебного пособия И.В. Садовничей,Т.Н. Фоменко и Е.В. Хорошиловой <<Вещественные числа и последовательности.Теория и задачи» и содержит разделы, посвящеш1ые понятию фушщии одной переменной, понятию предела функции, непрерывности в точке и на множестве и ихлрименению в различных задачах анализа.
Для лучшего усвоения материала приводится ряд иллюстраций, а также набор задач по рассматриваемой теме, часть изкоторых излагается с полным решением, а часть дается для самостоятельной работы студентов.Цель пособия- помочь студенту в изучении теоретической части и приобретении практических навыков решения задач по теме <<Предел и непрерывностьфункции одной переменной».Для студентов университетов.
Издание может быть полезно также преподавателям, читающим лекции и ведущим лрактические заиятия по математическомуанализу и всем, кто желает самостоятельно изучить данную тему или более под _робно с ней ознакомиться.УДК 378(075.8):517.2ББК 22.161я73Научная библиотека МГУ1 1111 1 1 1111 1 111 111 1111111167067609©Факультет вычислительной математикии ки б е р н етики МГУ имени М.В. Ломоносова, 2012©Садовничая§2.§1.§2.§3.§4.§5.ISBN 978-5-317-04160-1ISBN 978-5-89407-471-9ISBN 978-5-317-04160-1§1.И.В Фомевко Т.Н., 2012..§6.§1.§2.§3.§4.§5.§ 6.§7.§8 .Глава______1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ______0405___Понятие предела функции., ____О5Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Асимптотическое сравнение функций.15Глава192.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИПонятие непрерывности.Локальные свойства непрерывныхфункций19Глобальные свойства непрерывных функций25Монотонные функции28Основные элементарные функции32Замечательные пределы46Равномерная непрерывность функции49Глава523. ЗАД АЧИОпределения предела функции52Простейшие приемы вычисления пределов56Вычисление пределов функцийспомощью I и II замечатель-ных пределов59Вычисление пределов на бесконечности63Асимптотическое сравнение функций65Выделение главного члена (главной части) функци67Отыскание и юrассификация точек разрыва графикафункции71Равномерная непрерывность функции74СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ78ПРЕДИСЛОВИЕ.Уважаемые читатели!Данное учебное пособие содержит материал по те ем«Предел и непрерывность функции одной переменной»вобъёме программы курса математического анализа длястудентов первого курса факультета ВМК, как специа листовтак и бакалавров.
Предполагается, что читатель знакомтеорией вещественных чисел и последовательностей.В пособии 3 главы. В каждой главе своя двойнаянумерация определений, всех утверждений, а также задач, суказанием номера параграфа.В первой и второй главах излагается теоретическийматериал по теме «Предел и непрерывность функции однойпеременной».Для лучшего восприятия материаламыпоместили несколько рисунков, примеров и замечаний,разъясняющих те или иные понятия и утверждения.В третьей главе помещены подборки задач по всемразделам первых двух глав.
Наряду с вычислительнымизадачами, приводится ряд задач на доказательство. Мыполагаем, что их решение является одной из наиболееэффективных форм усвоения теоретического материала. Приэтом в каждом параграфе часть задач приводится с подробнымирешениями, а остальные даются ДJIЯ самостоятельной работыстудентов. Все задачи снабжены ответами.Список литературы в конце пособия содержит учебникии задачники, которые использовались при составлении данногопособия, а также некоторые источники ДJIЯ дальнейшегознакомства с изложенными в пособии темами.Пособие предназначено, в первую очередь, ДJIЯ студентовпервого курса факультета ВМК МГУ, а также дляпервокурсниковдругихуниверситетов,изучающихматематический анализ.
Мы надеемся, что оно окажетсяполезным как С'l)'дентам, так и преподавателям при изученииили преподавании данной темы.�И.В.САДОВНИЧАЯ, Т.Н.ФОМЕНКО.4Глава 1. Предел функции.§1. Понятие предела функции.Определение 1.1. Если ·х;аждому элементу х из множестваХ � �ставится в соответствие по известномуза'х;ону f не'х;оторое {единственное) число у Е �. то говорят, что на ммжествеХ задана фун:к;ци.я у = f(х).Число х называется аргументом или (независцмой) переменной; .мно�жество ХХ1 - областью определения фун'х;чии f; число у = f(х) (ч-астным) зна'Чением фун'х;чии в точ'х;е х; множествоУ = f(X) = {f(x) 1 х Е Х} � � - обласmъ ю изменения или .мно:;1сесmвом зна'Чений фун'х;чии f(x).
Частоисполъзуются обозначения:Х = Df, У = Еf.Графи-х:о.м фун-х:ции у = f(x) назъtвается .множество точе'х; плос'х;ости, абсчиссы 'х;Оторых равны допустимым значениям аргумента х, а ординаты - соответствуюшим значениям фун'х;чии у, то ест·ь графи'/\, фун'х;чии f - это множество Г1 = {(х, f(x)) ЕХ х Yjx ЕХ} .Иначе говоря, отождествляя функцию f с ее графиком Г f, можно понимать функцию как отображение, т.е.подмножество Г f произведенияХ х �такое, что Vx Е Х:З!(х, у) Е Гf � Х х �' где у = f(x) (определение отображения см., например, в [4]).Определение 1 .2.
Пустъ а Е �� б > О. МножествоU.,(a) \ {а} = (а- б, а) U (а, а+ б) будем называтъ про-х:оолоmой д- о'К:ресmносmъю точ'х;и а и обозначатъ И б (а).Пусть функция у = f( х) определена на множестве Х,а Е �- предельная точкаХ.Опред�ление 1.3 (предел функции по Гейне) .Число Ь Е � называется пределом или пределънъtмзид'Чением фунх:чии у = f(x) в точхе а, если для любой последователъности {хп } аргументов фун'х;71,7J,и, та5'КОй, что {Xn } сходится 'К а при п+оо ' но хn --,�._r- а\fп Е N, соответствующая последовате.л:ьпосrпъ { f(x )}значений фун'Кции сходится 'К Ь.Определение 1 . 4 (предел функции по Kow )Числq Ь Е IR называется пределом или преде.лы-t �зна-чением фун'К ции у = f(x) в точ'Х:е а, если для любого числа с > О найдется б = б(с) > О та'Х:ое, что дл.ялюбого х из множества Иб ( а) nХ выполняется неравенство /J(x)- Ь/ <с.Обозначения: lim f(x)= Ь или f(x)Ь.-tn=о-tх-+ах_.аТеорема 1.1.
Определения 1.3 и 1.4 Э'Квивалентны.Доказательство. 1) Предположим, что выполненоопределение предела по Коши. Выберем произвольную последователыюсть {Xn} аргументов, такую, что {хп} сходится к а, но Xn =1- а \fn Е N. Пусть с > О - некотороевещественное число. Тогда (в силу определения по Коши) существует положительное число б = б(с) такое, чтоодля любой точки х Е Иб ( а ) nХ выполнено неравенство/ f (x)..- Ь/ <с . Так как п lim Xn= а и Xn =1- а, то найдется..�+оонатуральный номер N = N(б ) такой, что О</хп- а/ <б,ото есть х Е U5(a) nХ при всех n ;?: N. Значит, для любого n ;?: N выполняется неравенство j f(xп)- Ь/ <с, следовательно, последовательность {f(хп)} сходится к Ь. Мыпоказали, что, если выполнено определение предела функции по Коши, то выполнено и определение по Гейне.2) Предположим теперь, что определение по Коши невыполнено.
Это означает, что существует такое вещественное число с > О, что для любого б Е IR найдется точока хХб Е U5(a) nХ, для которой будет иметь местонеравенство /.f(x) - Ь/ ;?: с. Обозначим дп = 1/ n для всехn Е N. Получим, что для любого натурального n суще-ствует точка Xn Е Х такая, что О < /хп - а / < 1/ n, но=б;?: Е. Это означает, что последовательность { Xn}гументовсходится к а , но соответствующая последоваартельность {.f(xn )} значений функции не сходится к Ь. Значит, число Ь не является пределом функции и в смыслеопределения по Гейне.
ОПример 1.1. 1) Рассмотрим фун'Кцию f (x)- = х .Пустъ а Е IR. Тогда lim f ( x) = а, та-х: -х:а-х: для лю-/.f (Хп ) - Ь/х�абой последователыюсти { Хп} аргументов, та-х:ой, •тюп lim Xn = а, будет выполнено: п lim f (хп)= lim Xn = а .�+оо-+ооn�+ooВыше определен предел функции как число Ь Е IR.Определим теперь понятие бесконечного предела.Определение 1.5 (по Гейне) . Предел фун-х:цииу = f(x) в точ-х:е а Е IR равен оо(+оо или - оо), еслидля любой последовательности {хп} аргументов фун-х:чии, mшx:O'il, что {хп} сходится 'Х: а при n ---> +оо, ноXn =1- а \fn Е N, соответствующая последователъностъ{ f (хп)} значений фун'Кции стремится 'К оо (+оо или-оо)). Обозначения: lim f (x) = оо(+оо или -оо) илиf(x)х�а--->х-аоо(+оо или - оо).Определение 1 .6 (по Коши) .
Преде.л фун-х:цииу = .f(x) в точ-х:е а равен оо (+оо ·или - оо), если д.1Lялюбого чнсла с> О найдется б= б(с) >О та'Х:ое, что дляолюбого х нз множества U5(a) nХ вътолнено: /f(x)/ >с(J(x) >с нли .f(x)<-Е ) . Обозначения: lim f(x) = оо (+оох�аили - оо) или f (x)оо (+оо или - оо).--->х�аОпределениЯ 1.5 и 1.6 эквивалентны. Доказательствотогоэполностью аналогично доказательству теоремы 1. 1.Введем понятие правого (левого) предела функции. Потребуем, чтобы для любого б >О множество (а, а + б ) nХ((а - д, а ) nХ) содержало хотя бы один элемент.Определение 1.7 (по Гейне) .
Число Ь Е IR HЛ't.LЬ = оо, +оо, -оо, называется правъtм (левым} преде7лом фун:х:ции у = f(x) в то-ч.-х;е а Е IR, если дм лю бойпоследователъности {Xn} аргументов фyн-x;u,u:u., та-х;ой,-ч.то {xn} сходител -х;а и хn >а (xn<а) Vn Е N, соответствующая. последователъностъ {f(хп)} зна-ч.ений фун-х;u,ии сходител -х; Ь или, соответственно, -х; оо, +оо, -оо.Определение 1.8 ( по Коши ) . Число Ь Е ffi.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
