И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поскольку функция четная, то J( - � ± О) =J a =t= 0). Следовательно , достаточно вычислить, наприxмер, f ( � =t= 0) . f ( � + О) = l im cos 1r = О , f ( � - О) =3Х -+ �+03li � J x J - - = О . Получили, что f( � =t= О) = О = g( i2 ) . Это2х-. 2 -оозначает, что функция непрерывна в точке х2 = � . В силучетности , g (x) непрерывна и в точке х1 = - � .Ответ: Данная функция непрерывн а на всей числовойоси.Задачи для самостоятельной работы.Найти и охарактеризовать точки разрыва функции f ( х)(если они имеются ) :1 - COS 7rX7 .6 .
f(x) =2(--1 -J 16 - x J '7 . 7. f(x)= ютtg{ хз 'f(x) =+1-+)х-31-;х-2О :::; х :::; 1 ;7. 8 .2 - х, 1 < х :::; 2.7 . 9 . f(x) = ( - 1 ) [xJ , где [х) - целая часть х .х27. 10 . f (x) l n -:-:-J (x + 2) (х - 5) J .Ответы:7. 6 . В точках х 1 = -4, х2 = 4 устранимые разрывы.f ( -4 ± О) = 1im f (x) = O, f (4 ± О) = lim f(x) = О.Х-+-4±0Х->4±07 .7. В точках Х1 = 1 , х2 = 2, х3 = 3 разрывы I рода(неустранимые) . f( 1 ± О) = f(2 ± О) = f(3 ± О) = ± � .7.8 . Точек разрыва нет. Функция непрерывна .7.9 Точки Xn n, n Е Z, являются точками разрыва I роn ЧеТIЮда ( неустранимыми ) . f( n ± О) = ± '=t= 1 , n нечетно.7. 1 0 Точки х1-2, х 2 = 5 являются точками бесконеч=х1{ 1==73'·ных разрывов (II рода) .8. 1 .
Доказать равноl\,Iерную непрерывность функцииf(x) = ijX на ( - оо ; +оо) , пользуясь ее определением, т;есть найти для любого с > О соответствующее ему д =д(с) > О.Решение. Так как f (x) = ijX является элементарной функцией, то она непрерывна на всей числовой оси, являющейся ее областью определения. В частности, по теоремеКантора, она равномерно непрерывна на сегменте [ - 2 ; 2] .Пусть задано произвольвое с > О. Тогда, в силу равномерной непрерывности на [-2; 2] , существует такое д1 =д1 (с) > О, что для любых точек х 1 , х2 Е [-2; 2] таких, чтоlx 1 - x z l < д1 , верно , что дf = lf (x1 ) - f (x2 ) 1 < с. Далее,при lxl � 1 и достаточно малом lдxl , так что 1 + �х > О,имеем : lдfl = l f(x + д х) - f(x) l = l �x + д х - ijXI =вынесем вдх 11знаменателе==122 =j (x + д х ) з + [(х + д х)х] з + х з j�х за скобку.lдxl< lд х/ < с.
Отсюда видно,Х � J (1 + �х ) � + ( 1 + �х) � + 1 jчто из неравенства j 6.x/ < д2 будет следовать неравенствоJ дfl = l f (x + д х) - f (x) l < с при любом д2 , О < д2 =д2 ( с) ::::; с . Окончательно, положим д = rniп{д1 , д2 , 1 } . Тогдадля любых точек х 1 , х 2 Е JR, j x1 х 2 / < д, будет выполненонеравенство дf = lf (xi ) - f (x2 ) / < с, так как в этих условиях или обе точки находятся на отрезке [-2; 2] , или обеони одновременно лежат либо в [1; +оо) , либо в ( -оо ; - 1] .Итак, для любого с > О указано д = д(с) > О , удовлетворяющее определению равномерной непрерывности.8.2. Исследовать функцию f (x) = x cos x на равномерную непрерывность на интервале [О; +оо) .Решение.
Покажем, что данная функция не является рав-в:ом:ерно непрерывной на указанном интервале. То есть покажем, что существует такое Е > О, что для любого д > Оможно указать такие точки х 1 , х 2 Е [О ; +оо) , что lx 1 - х 2 / <д , в:о l f (xi ) - j( x 2 ) 1 � с .
С этой целью рассмотрим последователь ности {xn}n=l,2, ... , {Уп }п= 1 ,2, . .. , где Xn = 1rn + � , Уп =JГn + � + � . Ясно, что / х п - Уп l = � ' l дfn l = Jf( xп ) - f ( Yп ) l =1 О - ( 1rn + � + � ) cos ( 1rn + � + � ) 1 = ( 1rn + � + � ) siп � =sin 1.111'-r- ( 1r + zп + п2 ) ---t 1r.
Поэтому, например, для с = :!!:2п �оо�можно указать такой номер N = N ( � ) , что для любогоn , n > N, будет 1 / дfn l - 1rl < � ' то есть � < lдfп l < з; .Таким образом, взяв Е = � ' для любого д > О любая параточек Xn , Уп с номером n > rnaxн , N ( �) } удовлетворяетусловиям: lxn - Уп l = � < д, I 6. Jп l = IJ (xn) - f ( Yп ) l > � ·Это означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на указанном интервале.8.3. Исследовать функцию f (x) = cos (x 2 ) на равномерную непрерывность на интервале [О; +оо) .Решение . Покажем, что данная функция не является равномерно непрерывной на указанном интервале.
Рассмотрим последовательности {х п }п=1,2, ... , {x� }n=1,2, ... , где Xn =/2iii , х� = )27rn + 1r. Легко видеть , что lдnl = lxn - x;t 1 =Поэто1 � - J21rn + 1r j = .J2in 7Г---t О.27Гn + )27rn + 7r n-++ooму для любого д > О при достаточно большом n будет/дп / < д .
Однако для любых n Е N имеем: l дfп l = l f (xп ) f(x�) l = l cos (xп) 2 - cos ( x�) 2 1 = 1 1 - ( - 1 ) 1 = 2 . Таким образом , взяв с = 2 , получаем, что для любого д > О имеютсяпары точек ( хщ х� ) с условием: lдn l = lxn - x� l < д, но одн овременно /дfп / = j f ( xn ) - f ( x� ) l = с = 2 . Э то означает,что что данная функция не является равномерно непрерывной на указанном интервале.8.4. Исследовать функцию f ( x) х2 - Зх + 8 на равномерную непрерывность на интервале [О; 5] . Указать дляJПобого с > О соответствующее б ( с) > О.Реш ение. Данная функция является элементарной, и по-7475§8. Равномерная непрерывность функции.(-)·=тому непрерывна на всей числовой оси, являющейся ее областью определения. Следовательно, в силу теоремы К антора, она равномерно непрерывна на [О; 5] .
Пусть заданопроизволыюе Е > О . Найдем соответствующее б = б(Е) .Рассмотрим неравенство /f (x) - f (y) / = / ( х 2 - Зх + 8)(у2 - Зу + 8) / = / (х2 - у 2 ) - З(х - у) / ::; /х2 - У2 1 + 3 / х - У / =/ х - у / ( /х + у/ + 3 ) < / х - Yi ( l x l + IYI + 3 ) ::; 1 3 / х "- у / < Е.Отсюда следует, что достаточно взять 1 х - у 1 < 1 3 , чтобыобеспечить справедливость неравенства / f (x) - f (y) / < Е.Поэтому произвольному заданному Е > О соответствует"любое б = б (Е) , удовлетворяющее неравенству: О < б ::; 1 3 .8.5. Исследовать функцию f (x) = ln x J:Ia равномернуюнепрерывность на интервале (О; 1) .Решение.
Данная функция является элементарной, и потому непрерывна на всей области определения Df = (О; + оо ) .Покажем, что она не является равномерно непрерывной на(О ; 1). Рассмотрим п оследовательности {xn }n=1,2 , ... , { x� }n=l,2, . . . ,где Xn = е- п , х� = e-(n +l ) .
Легко видеть, что / Ll п / = lxn х 'n 1 = / e- n - e- (n+l) l < e- n п � О . Поэтому для любого� +ооб > О при достаточно большом n будет / Llп / = / хп - х� / < б.Однако при этом /6 fn l = /f (хп) - f (x�) 1 = 1 ln X n - l n х� / =e- nхl ln ---..:: 1 = l ln ( n ) 1 = ln е = 1 . Таким образом, взяв, нае - +lх'nпример, Е = � , получаем , что для любого б > О имеютсяпары точек (хп , х�) с условием: / 6n l = lxn - х� / < б, ноодновременно /дfп / = / f(xn) - f(x� ) l = 1 > Е = � · Этоозначает, что что данная функция не является равномерно непрерывной на указанном интервале.З адачи для самостоятельной работы.Исследовать на равномерную непрерывность функцию!( х) на указанном промежутке:8.6.
f(x) = arctg x, - оо < х < +оо.8 . 7. j ( Х) = 2х COS �, О < Х < 1.8.8. f (x) = х + cos x, -оо < х < +оо.8.9 f (x) = cos х + sin х , -оо < х < +оо.�76g.10f( x)=2( 1 + sin x) ctg x , О <х<�·от:ветнепрерывна. Любому Е > о софункдия равн омер нооряющееg. б .т нап рим ер, всякое б = б(Е) , удовлетвответствуе '.
7Г Е( 7Г2 - 4 ) .,4}у: О < б( с) ::; mш { -2 'ствннера.вено непр еры внои .фун кци я не явля ется равномерьi :uывн а. Лю бом у Е > О соб(с) , удовлетворяющеерерВ · 1·Ф нкция рав ном ерн о неп8· 8 · уоевсяк б =ответствует, напр имер"'авенству: О < б ::; З ·на. Любому Е > О сон р Ф нкция равн омер но непрерыв; �с вует, например, всякое б = б(Е) , удовлетворяющеенеравен ству: О < б (Е) ::; Jz ·рерывна.8 . 10 Функция равномерно непе�: ;77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
