И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548), страница 9
Текст из файла (страница 9)
limх----> +0( оо - 00 ) = ( t=�)хJ! vГ!_-;; - г;-:rf,J! VГ!_-;; - � J; {f!+ХХ--> + 0!+Х=Ххlimt ----> + oo+(t +--____;_t + �t) V�(t -+2.12 limх-++ оо)t + vt + � + Vt - vt + ��) +�)на � и пеt -->lim+ oo . j./V t + Jt + � + у t - Jt + �рейдем к хJXV1 += 2 l im= 1.х----> +0 j/y 1 + Vx + vY + y 1 - Vx + vY/x + )x + JX2. 8 . Вычислить lim У.х----> + оо00JX+}JXх + Jх +ратимсокJXРеше ние . l im=нах---->+оо JX+1)t +( Vt +=( сократим=(V582.1 з( 00 ))_)1)."�'=2=2x===-;=-V..:::. _V,.2x'- ffxxJ5x - 1( � - N- � н)-.О т веты:1202.9.; 2. 1 0 } . 2. 1 1 . , 2.
12 · vf!_.5' 2 . 13 . J5 - V3 .3'32v/()22о�Jt + � )_xs - 2 5!_х - y -;; + V -;;+.2. 1 1 l im --=---3 .х--.2 х З - 2о2.7. Найти !im+0) = 1З адачи для с амостоятельной р аботы.===. V1 + Jx -1 + Vx=3 - ( - 1l1mх --7х-++ооJ1 + х-1§ 3 . В ычисление пределов функций с помощьюI и II замечат ельныех предел ов.В следующих пример ах используется непреры вностьэлементарных функций, прием замены перемен ной а также I и II замечательные пределы и следствия из н �х.3.1 .
В ычисл Ить предел limх---> 01 + sin х - cos х.1 + SШ 5х - COS 5х=(Q)0.решение. Используя тригонометриче ские преобра зованияи I замечательный предел, получаем:2(sin � ) 2 + 2 sin :Е2 cos :Е2.l1mх--. 0 1 + SШ 5х - COS 5Х х---> 0 2 (sin 5; ) 2 + 2 sin 5х COS 5х =22sin ( sin � + cos � ) �n а � о,si1= lim . х= х--.о Slll 52 (si n 25х + cos 25х ) · 5 · -х = cos а ---+ 152lim1 + sin х - cos х.(=�59)О<-->07ТХ3.2. Вычислить предел lim (2 - х) tg - = ( О оо ) .Х->247ТХРешение. lim (2 - х ) tg - = (замена: х = t + 2) =Х->24.4?Тt1Г ( t + 2).
�t cos �t.= l1m t ctg - = l 1m 7Г . 1rt == - lim t tgt-+07Тt-+0 4 . sш 444t->0. tg3 х - 3 tg х3.3. Вычислить предел lш�= -0 ·х-+ зcos ( х + zt:6 )7Т. tg3 Х - 3 tg Хt=х(замена=Решение. lш:�=+3)х-+ 3cos ( х + ZI6 )применим формулу tgZI: ) ---t vГз. tg(t + � ) [tg2 (t + �) - 3]суммы ; tg(t +=l1m3t-+0cos ( t + 27Г ). t-+0cos (t + 27Г ) = - sш t. v'З( tg2 ( t) + 8 tg t tg � + tg2 � - 3 - 3 tg2 t tg2 � )= - 11mt-+ Osin(t) ( 1 - tg t tg J)2tg t ( s v'З - 8 tg t ) _= 24_(tg � = v'З) = _ 1im vГзt-+O sin(t) ( 1 - tg tv'3)23О. cos(x + �) arctg х= -03.4. Вычислить предел l1m.х-+Оarcsш (2 х 2)п о формулам. cos( х + 5;) al'ctg х=приведенияРешение.
l1 m.х--оarcsш(2 x2 )cos(x + 5; ) = _ sin х2х2 sin х arctg х1= -= - limх-+ 0 2х2 arcsin(2x2)2О. sin2 х - tg2 х3.5. Вычислить предел 11m= -04х-+0Х22sin x (cos 2 х - 1 )sin х - tg2 хРешение. lim=lim=Х4х-> 0х-+ 0COS2 Х Х4. sin2 х ( - sin2 х)= -1.= l1mх-> Оcos2 х х 4�1 + х нvх00 ) .?3.6. Вычислить предел lim= (1·Решение.(О))((= limх-+ +оо1imх-++ оо[(1-( 1 + х)--2+Х12+Х--)-�н vх-(x+ 2)·( )·+Х-х-> + оо�·- ( l+x)1х-+0Решение.lim ( 1 - 3х) � =Х->0[= lim (1 - З х)х->0·(з;J-Зх"'-=3.8 . Вычислить предел limх-+ �2со1n�2�0== е0 = 1 .= ( 1 00 ) .1=SШ Х)-((_lim-))-6- ( l +x)(:r.+ 2 )(l+v'X))=( Q) .02_12sin t _ 17Т= (х = t + -) = lim=х-+ � 1n(sin x)t -+O ln(cos t)2используем в числителе эквивалентность: 2а 1 rv а ln 21n 2 · sin 2 t== 1imпри а ---t О , а также преобраt -+O 1n(1 - 2 sin 2 �)зуем знаменательиспользуем в знаменателе эквивалентность: ln(1 + а) rv аsin 2 t= 1n 2 · limпри а ---t О и далее I замечаt-+0 - 2 sin 2 i2тельный предел1t2= ln 2 · lim - = - 2 ln 2 = ln t->0 _ !2,42ln(2i - 5)3.
9. Вычислить предел lim .0= 1х-+3 e sm 1ГхРешение.)limпреобразуем выражениеаналогИ':;. но предыдущему примеру.е -3 .22 cos x)х оое --> +=3.7. Вычислить предел 1im ( 1 - 3х) х(()(x+2) ( 1+\I'X )- ( 1 + х) г,;) =Х-> +оо ( Х + 2 ) ( 1+ уХ- (1 + .!.х )= 1im=Ох-+ +оо у'х( 1 + � ) ( 1 +}з;)комментарий : 1im-()J=преобразуем выражения в основании и впоказателе и воспользуемся II замечательным пределом61--(о)·.
l n(2x - 5 )Решение . l1m sin 1rx- 1х-з евоспользуемся эквивалентностями ан алогично примеру 3.8_-(х__- 3 + t) -ln(1 + 2t)1.�:То e - sin 1rt. 22t. - --·- lim -1rt-o юn 1rt23х - 32х3 =3 10 Вычислить предел lim0х->О х + arcsш х. (2 зх - 1 ) - (32х - 1)3 ln 2 - 2 ln 3Реш.ение. l1marcs in( x3 ))х ->0х(1 +хиспользована эквивалентность вида:аа - 1 ,....., a ln a, при а -7 О , а такln �9х3 _. arcsin (x3) = 1. 01mже: l1mХх -+0 Хх-+0Задачи для самостоятельной работы .Вычислить следующие пределы:sin x - sin a3. 1 1 . lim.х - ах-а(•_)493 .
1 1 . cos а ; 3 . 1 2 . 3 ; 3 . 1 3 . 0 ; 3 1 4 . 98 ; 3 1 523 . 1 7. - - ; 3.18 .е-3; 3 . 19.ectg a; 3.2 0.е.. .(о).•)(=-х23 . 1 2 . lim·COS X;-;;:х->0 V1 + x sin X - yг;:;::;1 - yCoSX.3 . 13. l1m.х)х -о 1 - cos ( vг;1 + cos 3x.3 .14. lim.7X->1r Slll 2 хtg х - sin x3. 15. limх->0 Х ( 1 - COS 2 Х )72х5Зх3 . 1 6 .
limх ->0 2х - arctg 3 х. tg(3� - 3)3 . 17. l1m3" )x-7r 3cos( 213х з ) ) х2 arcsin x .+ln(11(.3.18 limх ->0__1sin x х - а3. 19. lim -.х ->а Slll аsiп( 1ТХ )3 . 20. lim ( 2 - x ) 1"(23) .х ->1Ответ ы:_·-( )6249125;§4. В ычисление пределов на бесконечн ости.·==14 ; 3 . 1 6 . ln7Г==.( ).В этом параграфе мы рассмотрим еще несколько примеров вычисления пределов при х -7 ± оо , х -7 оо, пользуясь, как и выше, свойствами непрерывности элементарныхфункций.ln( 1 + ех )оо4.1. Вычислить предел lim=.+->Хxх оо00хe1n(l+ ех )+е)]1n[(l..Решение. 11m==11mХх -> +ооХх-> +оох + 1n ( 1 + е -х )1n(1 + е-х ),.=1 lffi1lffi1 + ---'--Хх -> +ооХх -> + оое -х= 1 +lim= 1.х -> + оо Х4.
2. Найти 1im ( Vl + х + x2 - V1 - х + х2 ) = ( оо - оо ) .х -+ - ооРешение. lim ( V1 + х + х2 - V1 - х + х 2 ) =( )(=)Х - + - 00==(2х.l1mх --оо J1+х+Х2 + V1 - х + Х 2=1-2 1imХ->-оо .V/1 + lх + l_х2 + V/1 lх + l_х2Вынесем в знаменателе 1 х 1 =-х и сократим=)-1._.-;;'4.3.Найти 1im ( V1 + х + х2 - -Jг1-2 ) = ( оо - оо) .х +-хх -> +ооРе шение. lim ( v�1-+__x +_x-;;-2 - V1 - х + х 2 ) =х --+ + ооВынесем в зна2хlim==менателе l x l =х ->+оо V1 + х + Х2 + V1 - х + Х 2х и сократим1= 2lim= 1.Х-> +оо /1 + l + j_ + . /1 - l + j_х х2 Vх х2V(.63)(х4.4. Найти предел: lim х � - aгctg __Х-+004Х + 1Х-+ 00=limх(1-1+_L__L_x+ lx+l=)lim=х---т+оо2Х + 11- .=2( -2 - агсsш. у х2х+ 1 )�( 2 - aгcsin у�)х2 + 1lim х cos ( arcsin.l 1mхх�у х2+1)=rv.m)(�2 - aгcsin �х2 + 1�=( ::::�� :� )=ч)'1используем:аsin arv=lim хх- + +ооV1-х2-24.7.
limХ-�4х4 + 1х +1х-++ ооVХln(x2 - 4х + 4)х---т+оо ln(x 1 0 + 5х 7 + 2 )l14 . 10. li m х2 (6 - e x+ l ) .х---т ооОтветы:.4 .9. llill=§ 5. Асимптотическое сравнение функций.Символика "о-малое" и "О-большое".Рассмотрим ряд задач, связанных с асимптотическимср авнением функций. Везде ниже будем предполагать, чтох --> а, где а - некоторая заданная конечная точка или +оо,-оо , оо. Символ "о-малое" и "О-большое" будем обозначатьсоответственно буквами о , О .5 .
1. Доказать, что если J(x) o(g(x) ) , то f (x) O (g (x) ) .o(g(x)) по определению означаРешение. Условие: f(x)ет, что J (x) = а(х) · g (x) , где а(х) - бесконечно малаяпри х --> а . А так как всякая бесконечно малая функцияпри х --> а является ограниченной в некоторой "проколотой" окрестности а , то согласно определению символа"О-большое" , это означает, что J(x) = O(g(x) ) , что и требовалось доказать.5 .2. Доказать , что если J(x) g(x) , то o(f(x) ) = o(g(x) ) .Решение.
Условие : J(x) rv g(x) по определению означает,(З(х) g(x) , где (З(х) имеет предел, равный 1 ,что f(x)а(х)(З(х) g(x) , гдепри х -+ а . Следовательно, o(f(x))а(х) - бесконечно малая, а (З(х) стремится к 1 при х --> а .Но тогда, согласно свойствам функций, имеющих конечные пределы, произведение а(х)(З(х) является бесконечно малой функцией при х -+ а.
следовательно, o( f (x))а(х )(З(х) . g (x) = o(g(x) ) , что и требовалось доказать.5.3. Доказать , что O (o(f(x)) ) = o(O(f(x) ) ) o(f(x))Решение. Согласно определению "о-малого" и "О-большого", O (o( f(x) ) ) = (З(х) · (а(х) f(x) ) , где (З(х) ограничена внекоторой "проколотой" окрестности а , а а( х) - бесконечном алая при х -+ а . Следовательно, произведение (З(х)а(х)являет ся бесконечно малой функцией при х -+ а .
Согласноопределению ''о-малого" , это означает, что O (o(f(x) ) )(fЗ (x ) a(x) ) - j (x) o(f (x) ) . Таким же образом, o(O( f (x) ) )===rv=·=.·=·===641�4; 4 . 7. V'44 - 1 ; 4.8. 8; 4.9. 5 ; 4.10. 1 .4 .6. 1 - V'4=г--______4.8. Iim х3( ' х 2 + Vx 4 + 1 - xh) .Х-+ - 00--= 1.Jx2 + 1Задачи для самостоятельной работы.Вычислить следующие пределы:Jх2 + 4 - �4х4 + 1.4.6. limJх2 + 4(оо · 0).а-+0х---т +оох-++ оо)х -+ ооlim х sin �х---т+ оох---т + оо=--(a:::::>хХ --< 00х-++оо.хРешение. l1m=Х4.5. Найти l im х=( оо .
О) .=х� - aictg __�х -+ ооХ-+00==: :с�� x�l!)+1tg atgх� - xfr .li хlim х · tg ( - aгctg __ )х+141 + ( tg � ) · x�lРеш ение. lim х=(4)65а ( х) · ( !З (х) · f(x)) , где а(х) - бесконечно малая при х -> а ,а {З ( х) ограничена в векоторой "проколотой" окрестностиа. Поэтому o(O(f(x) ) ) = (а( х) · {З (х) ) · f (x)) = o(f(x)) .С другой стороны, всякую функцию вида о(! ( х)) можнопредставить как o( f (x ) ) = а( х) · f(x) = а (х) · ( !З (х) J(x)) ·взяв {З (х) = 1 , где а ( х) -> при х -> а.
Поэтому o(f(x))o(O( f (x) ) . Аналогично, при тех же {З ( х) и а ( х) , o(f(x) ) =({З( х) · а (х)) · f( x ) = {З (х) · (а(х) · f( x ) ) = О · (а( х) · f( .'E ) ) =O(o(f(x)) ) . Все требуемые равенства доказаны.5 .4. Доказать, что <р(х) · O(f(x)) = О(<р( х) · f(x) ) .Решение . Согласно определению "О-большого", О(! ( х)) ={З( х ) · J(x) , где функция {З (х) ограничена в векоторой "проколотой" окрестности а . Следовательно, <р( х) O(f(x)) =<р(х) {З(х) · f(x) = {З (х) · (<р(х) · f(x)) = О(<р(х) · f (x)) , чтои требовалось доказать.5 .
5 . Доказать, что О(<р(х)) · о(<р( х) = о(<р2 (х)) .Решение. с огласно определению "о-малого" и "О- б ольшого " ,{3 ·О ( <р (х) ) · о(<р( х)) = {З (х) ·<р(х)·а( х) ·<р(х) = (х ) а( х) ·<р2 ( х) =о(<р2(х) ) , поскольку {З (х) · а(х) является бесконечно малойфункцией при х -> а (так как {З(х) ограничена в "проколотой" окрестности точки а, а а( х) является бесконечномалой при х -> а ) , что и требовалось доказать.5 .
6. Доказать, что функция х3 = о( х) , х -> о .Реше?-иiе. В самом деле, х3 = х2 · х, где функция х 2 является бесконечно малой при х -> Следовательно, х3 =о(х), х -+ О.5. 7. Доказать, что функции а( х) = 2х и {З (х) = �х з + х4имеют одинаковый порядок малости при х -+ О.Решение. Достаточно заметить , чтоО·=··О.х->0lim2х=�х з + х 4поскольку12х.= 2 #- О,= 2 l1mх0х->0 х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
