И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогдау у - рационалъное,,f _ 1 (у) =1 - у, у - иррационалъное ;уЕу=[О 1] .'Пусть теперь функция у= f (x) определена на сегменте[а, Ь] , с Е [а, Ь] . Введем следующие обозначения:Р/= {f(x) 1 с < х � Ь} ( с ::} Ь) ;ре-= { ! ( х) 1 а� х < с} (с ::} а) .Определение 3 . 1 . Фун'Х:ци.я у = f (x) называетс.янеубывающей (невозрастающей) на .м,но;ж естве А ,если при всех х 1 , х 2 Е А, та'Х:их, "lто х1 < х2 , выполн.яетс.я неравенсrпво f (x i ) � j(x2) (f (x l ) � j (x 2)).Функция у = J( х) называется возрастающей (убыв ающей) на множестве А, если при всех х1 , х2 Е А, таких, -ч,то х 1 < х2 , вътолняется, неравенство f (xi ) < J (x2 )(f (x i ) > f (x 2 ) ) .Если функция J(x) являетс.я неубывающей или невозрастающей, то она называетс.я .монотонной. Если f ( х)явл.яетс.я возрастающей или убывающей, то она назъtвается с трого .моното'Н:ной.Определение 3.2.
Пустъ функция у= f (x) задана намножестве Х и имеет множество зна"lений У . Если дл.ялюбого элемента у из множества У существует единственный coornвemcrnвyюнJJ uй эле.мент х Е Х (то естъотображение f : Х --t У .являеmся взаимно однозн,а"lным), то говор.ят, "lто на .множестве У задана обратная фун-х;ци.я х = f- 1 (y) , 'Х:оторая, каждому у Е У cтaB'Urn в coomвerncrnвue элемент х Е Х та:х;ой,, что f ( х) = У .При этом f- 1 (J(x)) = х, J(J- 1 (y)) = у, где х Е Х , у Е У .Пример 3 . 1. 1 } Рассмотрим фун-к;цию f (x) = х 2 ,х Е [0, 2] . Тогда у= .f (x) Е [О, 4] , х= .f- 1 (y) = уГу.Теорема 3 .
1 (о точках разрыва монотоннойфункции) . Пуст'ь фун-к;ция у =f(x) не убывает (�-te воз растает) 'IIO сегменте [а, Ь]. Тогда 1} она мо:жет иметъна [а, Ь] толъко разрывы первого рода; 2} множество то"l ек разрыва f (x) на [а, Ь] не более "lем С"l етно .Доказательство. Пусть f (x) не убывает (случайневозрастающей f ( х) рассматривается аналогично ) .1) Пусть с Е [а, Ь). Заметим, что, поскольку F/ ::} 0( j (b) Е ре+ ) и Р/ ограничено снизу ( например, числомf(c) ) , то существует inf ре+ = l1 . Тогда, по определениюточной нижней грани, имеем: f (x) � l1 Vx > с и Vc > Онайдется такая точка х' > с, что f(x' ) < l1 +с: .
Тю{ как f (x)не убывает, то отсюда следует, что l1 � f(x) < l1 + Е привсех х Е ( с, х ' ] . Это означает, что l1 = f(c + 0). Посколькучисло f (с) является одной из нижних граней множестваF/ , то f (c) � l 1 = inf Р/. Аналогично доказывается, чтопри с Е (а, Ь] : f(c - О)= l2 , f (c) � l2 , где l2= sup ре- .Значит, односторонние пределы f (с - О) и .f ( с + О) существуют и конечны, причем J (c - 0) � f (c) � f (c + O) (здесьи далее в этом параграфе считаем, что J (a - О) = f (a) ,J(b+O) =j (b) ) . Отсюда следует, что с - либо точка непрерывности функции f ( х), либо точка разрыва первого рода.2829·2) Пусть с - точка разрыва функции f (x) .
Тогда, по доказанному в пункте 1, /(с -О) < j (c + O) . Значит, найдетсятакое рациональное число re , что f(c - О) < re < f (c + 0) .Пусть с1 , с2 - две различные точки р азрыва j (x) ,с1 < с2 . Тогда f (c1 + О) ::;;; f (c2 - О) (действитель но, f(ci + О) = inf ре+ = inf{f(x) 1 с1 < х < с2 } ;j ( c2 - О) = sup P; = sup{f(x) l c1 < х < с2 } ) . Значит,rе 1 < rе2 , то есть разным точкам разрыва функции f ( х)соответствуют различные рациональные числа.Мы показали, таким образом, что множество точек разрыва функции f (x) па сегменте [а, Ь] эквивалентно векоторому под:r-.шожеству множества рациональных чисел. Этоозначает, что оно является пустым , конечным или счетным.
ОЗамечание 3.1. Отметим , что непосредственно из доказательства теоремы 3 . 1 вытекают соотношения:f(c + О) = inf ре+f(c - О) =sup Pe-=l1 , а ::;;; с< Ь,= l2 , а < с ::;;; Ь,где l2 ::;;; f (c) ::;;; l1 , если f(x) не убывает на [а, Ь] ;f(c + О) =sнр Ре+=l1 , а ::;;; с< Ь,J(c - О) = inf ре- = l2 , а< с ::;;; Ь,где l1 ::;;; f (c) ::;;; l2 , если j(x) не возрастает [а, Ь] .В двух следующих теоремах обозначим для удобстваизложения а= min {f(a), f (b) } , ,В = m ax {f(a) , j(b) } .Теорема 3.2 (критерий непрерывности м онотонной функц ии ) .
Пустъ фун.r.;ция у = j(x) определена и.мон.отон.на н.а сег.мен.те [а, Ь] . Тогда f ( х) непрерывна н.а[а, Ь] в то.м и толъr.;о в то.м. слу·чае, r.;огда \ll Е [а , ,В] найдется rn ar.;a.я то'Ч.r.;а с Е [а , Ь] , 'Ч.mо f(c) = l .Доказательство. Предположим для определенности,что функция j (x) не убывает на [а, Ь] .30Необходи.мост·ь уже доказана, причем даже без предположения о монотонности функции f (х ) (см.
следствиеиз теоремы 2 . 1 настоящей главы) .Достатпо чностъ. Пусть функция j(x) имеет разрыв вточке с Е [а, Ь] . Тогда l 2 = f(c - О) < f (c + О) = l 1 иl 2 ::;;; f (c) ::;;; l1 (если с = а, то l2 = f (a) ; если с = Ь , тоl1 = f(b) ) . Предположим, что число l Е (l2 , l1 ) и l i= f(c) .Тогда при всех х < с имеем: f (x) ::;;; l2 < l (так какl 2 = sup ре- ) и при всех х > с имеем: f(x) � l1 > l (таккак l1 = inf ре+ ) .
Но это означает, что функция J(x) непринимает значение l из сегмента [f(a), f (b)] , что противоречит условию теоремы . Значит, наше предположение отом, что f (x) имеет разрыв в точке с, неверно. Получаем,что функция f (x ) непрерывна всюду на сег:r-"rенте [а, Ь] . ОТеорема 3 . 3 (об обратной функции) . Пустъ фунr.;и,и.я у = j(x) возрастает (убывает) и непрерывна насег.мен.те [а, Ь] . Тогда существует обратн.а.я фун.r.;ци.ях = g(y) = j - 1 (y) , r.;отора.я определена н.а сег.ме н.те [а, ,В] ,возрастает (убывает} и непрерывна на нем..Доказательство.
Предположим , что f (x ) возрастает на [а, Ь] (случай убывающей функции рассматриваетсяаналогично) .1) Так как f(x) непрерывна на [а, Ь] , то , согласно критерию непрерывности монотонной функции, для любогозначения у Е [а, ,В] найдется точка х Е [а, Ь] такая, чтоf(x) = у.
При этом, если х 1 i= х2 , то и j(x i ) i= j (x 2 ) (посколь ку f(x) строго монотонна) . Значит, для любой точки у Е [а, ,В] существует единственное значение х Е [а , Ь]такое, что j (x ) = у . Это означает, что на сегменте [а, ,В]определена обратная функция х = g(y) .2) Пусть у1 , У2 Е [а , ,В] , у1 < У2 · Если предположить, чтоХ 1 = g(y1 ) � g(y2 ) = х2 , ТО ПОЛУЧИМ , ЧТО j(xi ) � j(x 2 )(так как функция f ( х ) возрастает) .
Но это означает, чтоу1 � у2 , что неверно. Мы получили, что из неравенства31У1 < У2 следУет неравенство g(y1 ) < g(y2) , то есть функциях = g(y) также возрастает.3) Заметим, что возрастающая функция х = g(y) принимает все значения из сегмента [а, Ь] (так как функцияу = f ( х) определена всюду на этом сегменте) . Отсюда следует, в силу критерия непрерывности монотонной функции, что функция х = g(y) является непрерывной на сегменте [а, ,В]. О§4. Основные элементарные функции.В этом разделе мы рассмотрим основные элементарныефункции и их свойства. Прежде всего, опишем простейшиеэлементарные функции - те, с помощью которых строятсявсе остальные элементарные функции.Определение 4.
1 . Фун-кчии: 1 (постоянная), ах ,loga х, ха, sin х, cos х , tg х, ctg х, arcsin х, arccos х, arctg х ,arcctg х называются простейшими э.лементарнымифуН'К,'Циями.Определение 4.2. Фуюсчии, -которые .могут бъtтъ получены из простейших элементарных фун-кций путемпри.менения арифметичес-ких операчий и операчии -к:о.нпозичии в -конечном Ч7.tсле, называются э.лементарными.Ниже мы покажем, что каждая из простейших элементарных функций является непрерывной на области своегоопределения.
Отсюда, из теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями и теоремы о непрерывности сложной функции сразу будет следоватьТеорема 4. 1 . Любая элементарная фун-кчия непрерывна на области своего определения. ОНапомним еще о двух понятиях, известных из школьнойпрограммы.Определение 4 . 3. Фуиr.:v,и.я у = f(x) на:з 'Ывает,ся-четной, если из того, что существует f(x) , следу32em, что существует и f(-x) и f( - x) = f(x) . Фун:У\,чия у = f(х) называетпел не-четной, если из того, чтосуществует f (х), следует, что существует и f ( -х) иf( -х) = - f(x) .Определение 4.4. Фун-кчия у = f(x) называетсяпериоди-чес'l\,ой, если существует та-кое вещественноечисло Т -=1- О, что для любой точ-ки х Е Х, х - Т, х+Т Е Х,где Х областъ определения f(x), и Vx Е Х выполняется равенство f(.x + Т) = f(x) . При этом число Т наз ывается периодом фун-кчии f(x) .
Числа ±пТ, п Е N, та-кже называются ее периодами. Если существует числоТ0 > О та-кое, что оно является периодом фун-кчии f(x) , ипри этом все остал'ь ные периоды 'К:рат:ны Т0 , то Т0 гшз'ывают основным или наименъшим поло:>�Сиmе.лънымпериодом фун-кчии f(x) (часто основной период называют просто периодом) .Пример 4.1 . 1) Фун-кция f(x) = С - постоянная.Очевидно, что любое Т Е IR \ {О} - период f(x) . При этомнаи.меnъ'U.Lего поло;ж;uтР...л, ъNого периода не существует.-{1, х рачиоnалъное,О, х - иррачионалъноеЛюбое число Т Е Q \ {О }период D(x) .
Наи.м енъшегоположителъного периода та-кже не существует.Замечание 4. 1 . Известно, что, если f(x) - периодическая функция, отличная от постоянной, и при этом f(х)непрерывна на IR, то для нее существует единственное число Т0 > О, являющееся ее основным периодом.Наша ближайшая цель - дать определение степени срациональным показателем и изучить ее основные свойства. Пусть т Е N.1) Положим по определению х т = �- Ф унк2} Фунхция ДириJ.:ле D(x) =--m разция f(x) = хт непрерывна на IR+ = [О , +оо) , так как33lim xmх-+а=(lim х) · · · · · ( lim х) = а · · · · · а"---v----'х-+ах-+а=a m , и возрас-m разm разтает на lR + , поскольку при О � х 1 < х2 справедливо2) По теореме об обратной функции 2 существует функция g (x) = x 1 1m , которая также непрерывна и возрастаетна JR + .3) Положим по определению x- m = 1/х · 1/х · · · · · 1/х.т разФункция f(x) = x- m непрерывна на промежутке (0 , +оо) ,111так как lim - = 1 .= - , и убывает на (0, +оо) ,mam}ffi XmХ-+а Xх-+апоскольку при О < х 1 < х2 справедливо неравенствоX z - xf11---=> 0.xr xrxr .
xr4) Пусть х > О - Произвольное вещественное число,т Е N, n Е Z. Обозначим у = x 1 1m , z = (xп ) I fm . Тогдаym = х :::::} уmп = хп = z m :::::} (уп ) т = zm :::::} уп = z .Значит, (х 1 1т ) п = (xп ) Ifm . Положим по определениюх .;;; = (x 1 fm ) n = (x n ) 1 /m .Замечание 4.2. Определение степени с рациональным показателем xr , r Е Q, не зависит от представленияr = :;;_ = f!p, р Е N.
Действительно, пусть у1 = х .;;; =прп( )пх� , У2 = х � = (х �Р ) . Тогда у';'Р = ( х� ) тр =( ( ) т) пр(Х �Р ) npmp( ( � ) mp) прх�== хпр , у;!Р ===x vnp= x, то есть у';'Р = у;!Р . В силу строгой монотонностистепенной функции, заключаем, что у1 = У2 ·2теорема 3.3 об обратной функции была доказана нами для сегментов, однако ее легко можно обобщить на случай бесконечногопромежутка34Свойства степени с раи,ионал:ь'Н:ы.м nо'!Gазате.л,е.м, .аВведем обозначения: r = - , r 1а1- , где а , а 1Ь11хх=,dN;Ечисло .вещественноеО>ььЬ, Ь111 . xr . Xr1 = xr+r1 ' так какь3. Если х>1, r> Т} ,то xr>=Е Z,Xr 1 , так какПо 'Каза т е.л/ь н дя фун/К'ЦUЯ.Мы хотим определить показательную функцию еа дляпроизвольнаго показателя а Е JR.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
