И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажем сначала вспомогательное неравенство:rЛемма 4.1. er - 1 < -- \fт Е Q, О < r < 1 . (4. 1)1-rДоказательство. Поскольку для любого натуральногоn справедливы неравенства (1 + 1 /n)n < е < ( 1 + 1/n)п+I ,то111'а ) 1 + 1/n < e n \fn Е N; б) е п+l < 1 + 1/n =1 - 1 / (n + 1)значит, e- n�I > 1 - 1/ (n + 1 ) . Обозначим - (n + 1 ) = k,получим, что e t > 1 + 1/k, где k = - 1 , -2, - 3 , .
. . . Изпунктов а) , б) следует, что__е � > 1 + 1/n\fnЕ Z,35n =1- О.(4 .2)Пусть теперь r = mjn, где т - натуральноечисло или О, а n - целое, не равное О. Тогдаer = е � m > ( 1 + 1 /n)m � 1 + m /n = 1 + r. При выводе последнего неравенства мы воепользавались оценкой ( 4.2) и неравенством Бернулли.
Предположим теперь,что О < r < 1, тогда e- r > 1 - r, следовательно,er < 1/(1 - r) = 1 + r/(1 - r) , то есть справедлива оценка(4. 1 ) . оОпределение 4.5. Для любого 'Ч.исла а Е JR числом eOt.( )будем н,азъtватъ та-к:ое веществен:н.ое "tuc.лo, для -к:оторого� eOt. � е�"2r 1 � а � r2 .Для любого а Е JR "iис.ло eOt.выnолняются неравенства е�"1Q, та-к:их,Лемма 4.2.r2 Еедин,сrпвенно.для любыхr 1,'tтосуществует иДоказательство .РассмотриммножестваМ1 = {e�" j r � a , r Е Q}, М2 = {e�" j r � a , r Е Q} .Заметим, что множество М1 не пусто и ограничено сверху(например, числом e!Ot.]+ l ) ; множество М2 также не пустои ограничено снизу (например, числом e!Ot.J ) . Обозначимтl = s up М1 , т2 = inf М2 и докажем , чтотl = т2 .Действительно, если некоторое рациональное числоr � а, то er � тl (так как er - какая-то из верхнихграней множества М1 , тl - его точная верхняя грань) .Значит, любой элемент множества М2 больше или равенчисла т1 , следовательно, точная нижняя грань этогомножества т2 � тl · Покажем, что т1 = т2 .
Выберемрациональное число д, О < д < 1. Тогда найдутся такиерациональные числа r1 , r2 , что [а] � r1 � а � r2 � [а] + 1 ,r2 - r 1 < д (свойства вещественных чисел ) . Значит,e fOt.] � e�"r � т1 � т2 � er2 � e!Ot.]+ l . Отсюда получаем:36(мы воепользавались неравенством (4. 1 ) ) . Пусть Е > О произвольно.
Положим д = с/(с + e fOt.] + l ) . Тогда О < д < 1и из (4.3) следует, что О � т2 - т1 < с. В силу произвольности выбора с отсюда заключаем, что тl = т2 . Обозначимт = т1 = т2 . Заметим, что число т удовлетворяет определению 4. 5. Предположим, что существует некоторое числоq, также удовлетворяющее этому определению, то есть такое, что е�"1 � q � ет2 для любых рациональных чисел r1 ,r2 , r 1 � r2 .
Но тогда т1 � q � т2 , то есть q = т . ОЗаметим, что, если а = m/n - рациональное число, тоsнр М1 = inf М2 = е � , то есть наше определение корректно (совпадает с введенным ранее определением степени срациональным показателем).Отмети111 некоторые свойства степени с вещественнымпоказателем.Лемма 4.3 . а) Если а < {3, то eOt. < еfЗ; б) eOt. . е fЗ = eOt.+fЗ\::/а, /3 Е JR; в) Пустъ ао Е JR; тогда для любого ршционалъного с > О найдется та-к:ое д = д(с) > О, 'Ч.то iea - eao l < с\::/а Е Ва(ао ) .Доказательство.
а) Из свойств вещественных чиселмы знаем, что если а < {3, то найдутся такие рациональные числа r1 , r2 , что а < r1 < r2 < f3 и, следовательно,r1< е�"2 � е fЗ (строгое неравенство здесь следует изеа ' � eсоответствующего свойства степени с рациональным показателем, нестрогие - из определения eOt.
и еР ) .б ) Пусть с>Орациональное. Положим2++д = с/(с + е !Оt.] [.В] ) (здесь и далее через [х] обозначенацелая часть числа х Е JR, то есть наибольшее целое число,не превосходящее х ) . Тогда О < д < 1 и найдутся такиерациональные числа r1 , r21 , r111 , r211 , что r1 < a < r111 < [аJ + 1 ,rr - r� < д/2 ; r� < f3 < r� < [/3] + 1 , r� - r� < д/2 .
Обозначимr1 = r� + r� , r11 = r�1 + r�. Тогда r1 < а +f3 < r11 , r11 - r1 < д,прi.I чем r11 < [а] + [/3] + 2 . Отсюда er ' < e Ot.+fЗ < er" < e !a] +["i3] + 2rи er' = e'"� +r� = e ri . er� < eOt. . е fЗ < er�' . er� = e r� +r� = e .37Значит,<{3j e a+ - ей · е({3 1<е [й] + [f3] +2 e r" -r� -1/11 ( ·"er - er = er е 7 -r1 - 1 )1)<е [й]+[f3]+2 ( б/ ( 1х><n. Тогда- б)) = се х > en = ( 1 + е - 1 ) nВсилу произвольности выбора с получаем, что ей+JЗ = е й · еfЗ .]в ) Положим б = с/ ( 2 ( с + е[йо +2 ) ) ; тогда О < б < 1 .(здесь мы опять воепользавались неравенством ( 4 .
1 ) ) .Пусть а - вещественное число, такое, что О < а - а0< б.Тогда найдутся такие рациональные числа r 1 , r2 , чтоr1 < ао < а < r2 < [ао] + 2, r2 - r1 < 2б. Значит,(применилиlim ( 1 + п(е n-++ooнеравенство1))= +оо,�1 + п(е - 1 )Бернулли) .Таккакто, переходя к неравенству вlim ех = + оо . Пусть теперь n-+ +оохнатуральное число; х - вещественноепределе, получаем, что- произвольноечисло;хО << - n . Тогдаех<Посколькуlim ех = О.e-n =limn -> + oo 1-en1=1(1 + е - 1)n1+ п(е - 1 )О,::;;1---1 + п(е - ·1)то получаем ,что:r:-+ - 00Докажем утверждение пункта(снова воепользавались оценкой ( 4 . 1 ) ) .
Совершенно аналогичныерассужденияО < а0 - а <б. Оможнопровестидляслучаянайдется такое вещественное число Ь,функцииех ,определения степени с произвольным вещественным пофункцияf (x ) ,2) - излеммы 4 . 3 , а) ; утверждение пункта 3) - из леммы 4 . 3 , в ) .Проверим утверждение пункта 4 ) . Пусть n - про38х-=lim ех = О, то найдется такое вещех -�--ооственное число а , что О < еа < у. В силу доказанного вышеех - непрерывная монотонная на сегменте [а, Ь] функция,ТеоремаПо'IСазателы-Lая4.2.фун1ецияу = f(x ) = ех обладает следующ ими свойствами :1) областъ определения - вся ·ч:исло вая осъ;2) фунr.;ция возрастает на области определения;3) фунr.;чия непрерывна на обл асти опр еделения;4) lim ех = О, lim ех = + оо ;х -+ - оох -++оо5} множеств о зншч.ений - промежутоr.; (0, +оо) .Доказательство.
Утверждение пункта 1 ) следует изизвольное натуральное число;у > О - проlim ех +оо, тох -> +оочто еь > у . С другойПустьстороны , посколькуПодытожим доказанные выше свойства:казателем и из леммы 4.3, а) ; утверждение пункта5).извольное вещественное число. Так какзначит, она принимает все промежуточные значения междуеаиеь.Следовательно, существует вещественное числос такое, чтоее = у. В силу Произвольнасти выбора положительного значения у заключаем, что множеством значенийфункции ех является весь промежуток (0, +оо).
ООтметим , что существует и другой, так называемыйаксиоматический подход к определению показательнойсогласно которому она определяется какудовлетворяющая следующим условиям :IR; 2 ) !( 1 ) = е , ! (О) = 1 ;3) j (x1 + х2 ) = j (x1 ) J ( x 2 ) , Vx1 , х2 Е IR .1 ) f(x )непрерывна наМожно показать , что это определение корректно.вещественное число;39Лог ариф.ми'Ч, е С'!\,а.Я фун'!\,чи.я.К тригонометрическим функциям относятся функцииу = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х. Определения и основные свойства этих функций известны из школьной программы; они опираются на геометрические соображения.Можно определить тригонометрические функции и други-ми способами, аналитическими, однако для этого нужнысведения из теории рядов или дифференциальных уравнений, которыми мы пока не обладаем.
Впрочем, известныхнам определений будет вполне достаточно. Напомним основные свойства тригонометрических функций (без доказательства) .Функция уsin х определена на всей числовой оси; .м:ножество значений - отрезок [- 1 , 1] ; периодическая с периодом 21r; возрастает на промежутках [ -1r /2 + 27rn, 1r /2 + 21rn] , убывает на промежутках[1r /2 + 21rn, З1r /2 + 21rn] , n Е Z; нечетная.Функция у = cos х определена на всей числовой оси; множество значений - отрезок [- 1 , 1]; периодическая с периодом 27r; возрастает на промежутках [1r + 27rn, 21r + 21rn] , убывает на промежутках[21rn, 1r + 21rn] , n Е Z; четная.sin xФункция у = tg х = -- определена на всей числовоиcos xоси за исключением точек 1r /2 + 1rn, n Е Z; множествозначений - вся числовая ось; периодическая с периодом 1r ;возрастает на промежутках ( -1Г/2 + 1rn, 1r/2 + 1rn) , n Е Z;нечетная.cos xФункция у = ctg х = .
- определена на всеи числовоиSШ Хоси за исключением точек 1rn, n Е Z; множество значений- вся числовая ось; периодическая с периодом 1r; убываетна промежутках (1rn, 1r + 1rn) , n Е Z; нечетная.Докажем теперь , что каждая из тригонометрическихфункций является непрерывной на области своего определения. Рассмотрим функцию у = sin х.Лемма 4.4 . Для л юбог о веществен:ног о зн,а-ч,епия хсправе дл ив о перавепство l sin x l � !х! .Доказательство проведем, исходя из геометрическихсоображений (см. Рис. 5 ниже) . При х = О неравенство очевидно.
Пусть О < !x l < 1r /2. Рассмотрим окружность еди-40411) Функция у = ln х - обратная к функции х = е У.�Из свойств функции еУ и теоремы об обратной функци.иследует, что она возрастает и непрерывна на промежутке(О, +оо) .2 ) Пусть а > О , а =f=. 1 . Для произвольнаго вещественного числа у положим по определению аУ = еУ ln а . Тогдафункция х = аУ определена на всей числовой оси; непрерывна (как композиция непрерывных функций) ; возрастает при а > 1 , убывает при О < а < 1 (это проверяетсянепосредственно) .3) Логарифм ическая функция у = J( x) = loga x обратная к функции х = аУ. Из свойств функции аУ и теоремы об обратной функции следует, что область определения логарифмической функции - промежуток (0, +оо);множество значений - вся числовая ось; функция непрерывна на области определения; возрастает при а > 1 , убывает при О < а < 1 .))uСт е п енн ая фун'/\,чu.я.Пусть а - произвольпае вещественное число, а =/= О .Степенная функция у = f ( х) = ха = е а ln х .
Областьопределения - промежуток (0, +оо); множество значений- промежуток (0, +оо); непрерывна на области определения (как композиция непрерывных функций) ; возрастаетпри а > О , убывает при а < О (проверяется н:епосредственно) .Tpu г o'l-loмempu'Ч,eC'I\,Ueфy'l-l'I\,ЧUU."'))·uничного радиуса с центром в начале координат - точке О .Пусть С - точка пересечения окружности и оси Ох; точка А принадлежит первой координатной четверти и лежитна окружности так, что LAOC = l x l ; точка В принадлежит четвертой четверти и лежит на окружности так, чтоLAOC = LBOC. Тогда дуга окружности АВ имеет длину2 l x l ; длина отрезка АВ равна 2 sin l x l .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
