И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи) (1108548), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(илиЬ = оо, +оо, -оо) называется. правым (левым,) пределом фун-х;ции у = f(x) в то-ч.-х;е а , если дм любого 'Ч.ислаЕ> О найдетел -ч.исло д = д(Е)>О та-х;ое, -ч.то для. любогох из множества (а ,а + д) n Х ((а - д,а) n Х) вътолня.ется.lf(x) - Ь/ <Е (или jf(x) l >Е, f(x) >Е, f(x) < -Е).Обозначения: f(a ± O) = -.lim± f(x) = Ь или f(x) --+Ь.> ±х•а Ох- а ООпределения 1.7 и 1.8 эквивалентны.Из определений предела по Коши сразу следуетУтверждение 1.1. Пустъ фун-х;u,ия.
f(x) определена впро'х:олотой о'х:рестности точ'х:и а Е IR. Тогдаliш f( х) = ЬХ->а{::?lim f(x) = liш f(x) = Ь.Охх ->а-0->а+Теперь введем понятие предела функции при х --+ а вслучае, когда а является не числом, а символической бесконечно удаленной точкой (то есть одной из точек оо, +оо,-оо) . Напомним, что д-окрестности таких точек определяются как множества Ur5(oo) = (-оо,-д) U (д,+оо),U6(+oo)= (д,+оо), U6(-oo) = (- оо,-д), д > О. Очевидно, что в этом случае проколотые окрестности совпадаютlim Xn = оо (n lim Xn = +оо, n lim Xn = -оо), соответ->+oo->+ooствующая.
последователъностъ {f(xn)} значений фун'х:u,ии сходится 'х: Ь или 'х: оо(+оо, -оо).n->+ооОпределение 1.10 ( по Коши) . Число Ь Е 1R илиЬ= оо, +оо, -оо называется пределом фун-х;u,ии у= f(x)при х-оо), если для. любого чис+оо, хоо, (хла Е > О найдется число А = А(Е) > О та-х;ое, что длялюбого х Е Х, для -х;оторого lxl > А (х > А, х < -А),выполня.ется неравежтво jf(x) - Ьl < Е или lf(x) l > Е,f(x) >Е, f(x) <-Е.Обозначения: lim f(x) = Ь ( lim f(x) Ь,--+--+--+Х->00lim f(x) = Ь) или f(x)х-�--оо--+Х->+ООх---.ооЬ (f(x)=--+х_,.+ооЬ, f(x)--+' Ь).х�-ооОпределения 1.9 и 1.10 эквивалентны.Объединяя все вышесказанное, можно дать общее определение предела функции в точке (конечной или бесконечной) в терминах окрестностей:Определение 1.11.
Пустъ -х;аждая из точе'х: а, Ь принадлежит вещественной прямой или является бес'х:онечно удаленной точ'х:ой. Говоря.т, что предел фун'х:u,ии f(x)при х , стремящемся -х; а, равен Ь, если для Любого Е> Онайдется та'к:о е д = д (Е), -ч.то для любого х из множеоства U6(a) nХ выполнено: f(x) Е U<:(b) (з десъ Хобластъ определения фун'х:u,ии f(x), а - пределъная то-ч.-х;а-Х).Дадим определение предела в случаебесконечной точки а .Определение 1.9 ( по Гейне) . Число Ь Е 1R илиЬ = оо(+оо, - оо) называется преде лом фун -х;-ц'шJ, у= f(x)при х -t оо, (х ----'-+ +оо,х --+ -оо), если для. любой последователъности { xn} аргументов фун-х;u,ии, та'х:оu, -ч.тоПусть теперь Ь Е IR, апредельная точка множестваХ (конечная или бесконечная).
Иногда бывает полезно использовать следующие определения:Определение 1.12 ( по Гейне ) . Если для любой последователъности { хп} аргументов фун'х:u,ии, та-х;ой, -ч.тоliш Xn = а, Xn =j:. а, соответствующая последоваn->+оотелъностъ {J(xn)} зна-ч.ений фун-х;ции сходител -х; Ь ипри этом f(xn) > Ь (f(xn) < Ь) Vn Е N, то пишут:89оос обычными, то есть: Ur5(oo) = Ur5(oo), Иб (+оо) = Ио(+оо),и6(-00 ) = иб (-00 ) .о-неравенство: !f(x) - Ь! < с/2. Пусть х1, х" Е И б ( а ) n Х .Тогда !f(x 1) - f(x") ! = ! f(x1) - Ь + Ь - f (x") ! �� ! f (x1) - bJ + !f (x") - bJ <с/2 + с/2 =с, то есть функцияf ( х) удовлетворяет условию Коши в точке а.Достаточnостъ. Проведем доказательство для случаяа Е ]R. (случай бешонечно удаленной точки а рассматривается аналогично).
Предположим, что функция f(x) удовлетворяет условию Коши в точке а. Выберем последовательность { хп } аргументов, такую, что nlim Xn = а,-->+aoXn =!= а. Тогда найдется такой номер N = N(J), чтодля любого натурального n � N и любого натурально-гор будут выполняться неравенства: О < ! хп - a J < J,О < !xn+p - а! < б. В силу условия Коши имеем:!f(xn+p) - f(хп) ! < с при всех n � N и р Е N. Но этоозначает, что числовая последовательность { f(хп ) } является фундаментальной. Следовательно, она сходится.Итак, мы показали, что для любой последовательности{ Xn} аргументов, такой, что nlim Xn = а , Xn =/= а, соот-->+ооветствующая последовательность значений функции имеет предел. Докажем, что этот Liредел не зависит от выбора последовательности {xn} · Пусть {х� } , {х�} - две различные последовательности аргументов f ( х) , удовлетво'ряющие условиям: n 1.lffi x1n = а, xn1 -/..1 а; llffi x 11п -+ао n = а,-->+aoх� =1= а.
Тогда существует пlim f (x�) = Ь1 и суще-+ооствует nlim f(x�)Ь" . Рассмотрим последовательность-->+ao{х п } = {х�, х�, х�, х� , . . . , х�,х��, . . . }. Очевидно, что онастремится к а при n --+ +оо, и при этом Xn =/= а.Значит, последовательность { f ( Xn) } сходится. Обозначимf(хп) = Ь.
Так как последовательности {f(x� ) } ,nlim-->+ao{ ! ( <) } являются подпоследовательностями сходящейсяпоследовательности {J(хп ) } , то они должны сходиться ктому же самому пределу. Значит, Ь1Ь" = Ь. Мы показали, что предел последовательности значений функциине зависит от выбора соответствующей последовательности ее аргументов. Это означает, что функция f(x) имеетпредел в точке а.
ОТеорема 1 .3. Пустъ фунпчии f (x) и g(x) задаnы намножест,ве Х, а - пределъnая точпа .мно;жества Х (к:онечна.я. или беспонечная) , lim f (x) =Ь, lim g(x) =с (Ь, с Х-4ах--+апонечnые числа) .Тогда lim (J(x) ± g(x)) = Ь ±с, lim (J (x) · g(x) ) = Ь ·с,х-ах-->аf(x)� (в r:.луч.ае, если с =r-_;_ О) .ll · mх-->а g(x )С1011lim f ( х) =Ь + О ( lim f ( х) = Ь - О).х--+ах�аОпределение 1.13 (по Коши) . Говорят, чтоlim f(x) = Ь + О (lim f(x) = Ь - 0), если для любого чисх�ах�ала Е > О nа:uдется б = б(с) > О та:х:ое, что для любогоох Е Иб ( а ) n Х в·ыполnяются nеравежтва О <f(x) - Ь <Е(О <Ь- f (x) <с).Определения 1.12 и 1.13 эквивалентны.
Доказательствоэтого факта аналогично общему случаю.Определение 1.14. Фун:х:чия у = f(x) удовлетворяет в точ-х:е а условию Коши, если для любого числа с > О nаuдется б = б(Е) > О та-х:ое, что для люобых точе-х: х1, х" Е Иб ( а ) n Х имеет Jvtecтo nеравеnство! f (x1) - f(x") ! <с.Теорема 1.2 ( критерий Коши существования предела функции в точке) . Фунr.:чи.я. у = f ( х) имеет вточ-х:е а r.;oneчныil предел тогда и толъ-х:о тогда, -х:огда onaудовлетворяет в этоi1 точ-х:е условию Коши.Доказательство. Необходимостъ.
Пусть lim f(x) = Ь.х-->аТогда найдется такое число б = б(с) > О, что для люобой точки х из множества И б ( а ) n Х будет выполненоо=·==Доказательство. Пусть {хп} - последовательностьа, Xn /= а.точек множества Х, такая, что nlim Xn->+ooТогда nlim f(хп) = Ь, nlim g(хп) = с. Значит (по->+oo->+ooтеореме об арифметических операциях над сходящими(J(хп) ± g(хп)) = Ь ± с,ся последовательностями) , nlim->+oo) g(хп)) = Ь · с. Если с/= О, то, начиная с некоlimn->+оо (J(хп ·Ьf(xn)торого номера, g(xn) /= О и пlim -- = -. Но это озна-.+оо g( Xn)Счает, в силу определения предела функции по Гейне, чтоJ(x) �=lim (f(x) ·g(x)) = Ь · с , limlim(J(x)±g(x)) = Ь± с , х->аах-+ g( Х )х-+аС(при с/= 0). ООпределение 1.
15. Пустъ фун:кл�ия х = tp(t) задана на .мноDiсестве Т; Х - .м:ножество ее зна"iениu.Если на .множестве Х задана фунпция у = f(x),то говорят, 'Что на Т определена СЛО:JIС'НдЯ фун,-к;цияу = j(tp(t)) =(!о 'P)(t) ( фун'К:цию fо 'Р называют тапже-к;о.мпозицией фун'К:циu f и 'Р ).Замечание 1.1. Можно было бы ожидать, что справедливо следующее утверждение: если lim tp(t) = хаt-+tolim f(х) = l, то lim f( 'Р ( t)) = l. Такое утверждение спраt-+toх-+ховедливо, например, для непрерывных функций (см.
теорему 1.2 главы 2). Однако в общем случае подобная теореманеверна.Пример 1.2. Пустъ f(x) = О при х 1= О и f(O) = 1;x) =О, limj(tp(t)) = 1.tp(t) =О. Тогда limtp(t) =О , limf(аat-+Х-+t-+a.Тем не менее, справедливо следующее утверждение.lim f(x) =f(xa).Теорема 1.4. Пустъ limtp(t) =ха, х-+хоt-+toТогда lim J(tp(t)) =f(xa).одля всех х Е U01 (ха) выполнено : JI (x)-f(xa)l < Е.
Далее,существует 5 = 5(51) > О такое, что jtp(t) - xal < 51 при.оовсех t Е Ио(tа). Но тогда получаем, что Vt Е U6 ( t a ) справедливо неравенство IJ(tp(t))- f(xa)l < Е . Это и означает,что lim j(tp(t)) = f(x0). Оt->toТеорема 1. 5. Пустъ фун·к;цииf(x), g(x) определены намножестве Х, а - пределъна.я точпа Х, limJ(x) = Ь,х--+аlim g(x) = с. Если существует та'l'(;ое 'Число 5 > О , 'Чтох-+аопри всехх из .множества И0(а)nХ вътолняется неравенство f(x) �g(x), то оно сохраняется и в пределе: Ь �с.Доказательство. Пусть {xn} - последовательностьточек множества Х, такая, что nlim Xn =а, Xn /=а.
Тогда-++ooнайдется такое натуральное число N = N( 5 ), что для всехо� N выполнено: Xn Е И а ( а ) n Х. Значит, f(xn) � g(xn)Vп � N, следовательно, Ь = nlim f(хп) � nlim g(хп) = с--++oo+-- +oo(по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей) . ОЗамечание 1.2. Если f(x) > g(x), то в пределе возможно равенство : Ь = с. Например , пусть f(x) = 1/х,g(x) = 1/(х + 1). Тогда J(x) > g(x) при х > О, ноlim J(x) = lim g(x) = О .пх->+оох->+ооТеорема 1.6. Пустъ фун'К:ции f(x), g(x), h(x) определены на .множестве Х, а - пределыъая то"i'К:а Х, причемlimJ(x) = lim g(x) = Ь. Если существует тапое 'Числох--+ах--+ао5 > О, 'Что при всех х из .множества U6(a) n Х выполняется двойное неравенство f(x) � h(x) � g(x), то существует lim h(x) = Ь.х->аДоказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
