Е.Б. Винберг - Теория к экзамену (1107935)
Текст из файла
Подготовка к экзамену по курсу”Линейная алгебра и геометрия”(весна 2003г., лектор - Э.Б. Винберг)13 июня 2003 г.1Базис и размерность векторного пространства.Def. Векторным пространством над полем K называется аддитивная абелева группа V , в которой определенаоперация умножения на элементы поля K так, что выполнены следующие условия:для всех λ ∈ K и a, b ∈ V ;1. λ(a + b) = λa + λb2.
(λ + µ)a = λa + µa3. (λµ)a = λ(µa)4. 1 · a = aдля всех λ, µ ∈ K и a ∈ V ;для всех λ, µ ∈ K и a ∈ V ;для любого a ∈ V.Элементы поля K называются скалярами (числами).Простейшие следствия из аксиом:1. λ · 0 = 0для всех λ ∈ K;2. λ(a − b) = λa − λb3. 0 · a = 0для всех λ ∈ K и a, b ∈ V ;для любого a ∈ V ;4. (λ − µ)a = λa − µaдля всех λ, µ ∈ K и a ∈ V.Def. Пусть есть система векторовP {ai }i∈I (не обязательно конечная). Линейной комбинацией этой системы векторов называется выражениеλi ai , где λi ∈ K, причем лишь конечное число λi отлично от нуля.i∈IDef.
Система векторов {ai }i∈I называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейнаякомбинация, равная нулю.Def. Базисом векторного пространства называется максимальная линейно независимая система его векторов (⇔линейно независимая система векторов, через которую любой вектор линейно выражается ⇔ система векторов,через которую всякий вектор линейно выражаетсяединственным образом).Коэффициентыэтого выражения называются координатами вектора в базисе {ei }i∈I :Pесли x =xi ei , то xi - координаты вектора x.i∈IDef. Векторное пространство называется конечномерным, если в нём существует конечный базис.Теорема.
В конечномерном векторном пространстве все базисы равномощны.Доказательство. Первый семестр: доказывается, что конечные эквивалентные линейно независимые системыстрок равномощны, что следует из основной леммы о линейной зависимости. Q.E.D.Def. Число векторов базиса пространства V называется размерностью данного пространства и обозначаетсяdim V .Def. Отображение векторных пространств ϕ : V1 → V2 (над одним и тем же полем K) называется изоморфизмом,если:1.
ϕ биективно;2. ϕ сохраняет операции, то есть:• ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)• ϕ(λa) = λϕ(a)для всех a, b ∈ V ;для всех λ ∈ K и a ∈ V.1Если ϕ - изоморфизм, то ϕ(0) = 0 и ϕPλi aii∈I=Pλi ϕ (ai ), и поэтому ϕ сохраняет линейную зависимостьi∈Iсистем векторов и переводит базис V1 в базис V2 .Def. Векторные пространства называются изоморфными, если между ними существует хотя бы один изоморфизм.Теорема.
Векторные пространства конечной размерности изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.Доказательство. 1) Если ϕ : V1 → V2 - изоморфизм и (e1 , . . . , en ) - базис V1 , то (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) - базис V2 ;2)Пусть dim V1 = dim V2 , (e1 , . . . , en ) - базис V1 , (f1 , . . . , fn ) - базис V2 . Определим ϕ : V1 → V2 по формулеPPϕλi ei = λi fi . Очевидно, что ϕ - изоморфизм V1 и V2 .
Q.E.D.iiСледствие. Всякое n-мерное векторное пространство над K изоморфно K n (изоморфизм осуществляется сопоставлением каждому вектору строки из его координат в каком-либо фиксированном базисе).2Преобразования координат в векторном пространстве.Пусть есть (e1 , . . . , en ) - базис пространства V и (e′1 , . . . , e′n ) - система n векторов пространства V . Пусть этивектора выражаются через базисные следующим образом:e′j =nXcij ei(j = 1, 2, . . . , n)i=1Матрица, составленная из чисел cij называется матрицей перехода C = (cij ) от базиса (e1 , . .
. , en ) к системевекторов (e′1 , . . . , e′n ). Матричная запись: (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) · C.Теорема. (e′1 , . . . , e′n ) - базис ⇔ матрица C невырождена.Доказательство. Установим изоморфизм между пространствами V и K n , поставив в соответствие каждомувектору столбец его координат в базисе (e1 , . . . , en ). При этом изоморфизме векторам e′1 , e′2 , .
. . , e′n будут соответствовать столбцы матрицы C. Система (e′1 , . . . , e′n ) линейно независима ⇔ столбцы матрицы C линейнонезависимы ⇔ C невырождена. Q.E.D.ЕслиPC невырождена,(e1 , . . . , en ) = (e′1 , . . . , e′n ) C −1 . Выведем формулы преобразования координат. ПустьP то′′ ′x = i xi ei ; x = j xj ej .!P ′ ′P ′P P′Тогда x = xj ej =xj cij ei =cij xj ei , значитji,jijxi =nXcij x′j(i = 1, 2, . . . , n)j=1⊤В матричной форме: пусть X = (x1 , . .
. , xn ) , X ′ = (x′1 , x′2 , . . . , x′n )⊤ . Тогда x = (e1 , . . . , en ) X = (e′1 , . . . , e′n ) X ′ ,значит (e1 , . . . , en ) X = (e1 , . . . , en ) CX ′ ⇒ X = CX ′ , таким образомX ′ = C −1 X.3Подпространства как множества решений систем однородных линейных уравнений.Def. Подмножество U векторного пространства V называется подпространством, если:1. a, b ∈ U ⇒ a + b ∈ U ;2. a ∈ U ⇒ λa ∈ U3. 0 ∈ U∀λ ∈ K;(непустота U ).Def. Пусть S ⊂ V . Линейной оболочкой S называется множество()XhSi =λi xi : xi ∈ S, λi ∈ K .i2Очевидно, что hSi - подпространство.Более того, это наименьшее подпространство, содержащее S (в том смысле, что любое подпространство, содержащее S, должно содержать и hSi), приём dim S = rk S, и любая максимальная линейно независимая подсистемав S является базисом hSi.Def.
Базис (e1 , . . . , en ) пространства V называется согласованным с подпространством U , если U натянуто накакие-то из базисных векторов.Теорема. Для любого подпространства U существует согласованный с ним базис пространства V .Доказательство. Пусть (e1 , . . . , ek ) - базис U . Дополним его до базиса (e1 , .
. . , en ) всего пространства. Это и будетискомый базис пространства V . Q.E.D.Следствие. dim U ≤ dim V , причём dim U = dim V ⇒ U = V .Теорема. Всякое подпространство U ⊂ K n есть множество решений некоторой системы однородных линейныхуравнений.Доказательство. Пусть (e1 , . . . , en ) - стандартный базис пространства K n , (e′1 , . . . , e′n ) - такой базис, что U =he′1 , . . . , e′k i.
Тогда в базисе (e′1 , . . . , e′n ) U задаётся так:XU = x=x′j e′j , x′k+1 = · · · = x′n = 0 .jx′1x1Пусть (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C, тогда ... = C −1 ... . Подставляя в уравнения, задающие подпроx′nxn′′странство U в базисе (e1 , . . . , en ) выражения координат x′1 , x′2 , . . . , x′n через координатыx1 , x2 , . . . , xn , получим систему однородных линейных уравнений относительно x1 , x2 , . . . , xn ,задающую U в стандартном базисе (e1 , . . . , en ) пространства V . Q.E.D.4Связь между размерностями суммы и пересечениядвух подпространств.Теорема.
Для любых двух подпространств U, W ⊂ V существует базис пространства V , согласованный с нимиобоими.Доказательство. Рассмотрим U ∩ W - также подпространство в V . Пусть (e1 , . . . , ep ) - базис U ∩ W . Дополнимего до базиса (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , ek ) подпространства U и его же - до базиса (e1 , . . . , ep ,ek+1 , .
. . , ek+l−p ) подпространства W (здесь dim U = k, dim W = l). Докажем, что система векторов e1 , . . . , ek+l−pлинейно независима (тогда дополним её до базиса пространства V , он и будет искомым).k+l−pk+l−pkPPPПредположим, чтоλi ei = 0. Тогдаλi ei = −λj ej . Правая часть равенства - это линейная комбиi=1i=1j=1нация базисных векторов подпространства U , левая - подпространства W . Значитpk+l−pkPPPx=λi ei ∈ U ∩ W , поэтому x =µi ei = −λj ej (разложение вектора ∈ U ∩ W по базису этого подпроi=1i=1j=k+1pPстранства).
Перенося всё в одну часть, получимµi ei +i=1k+l−pPλj ej = 0. Значит, µi = λj = 0 (i = 1, . . . , p ; j =j=k+1k + 1, . . . , k + l − p) ⇒ x = 0 ⇒ λi = 0 (i = 1, . . . , k). Поэтому векторы (e1 , . . . , ek+l−p ) линейно независимы.Q.E.D.Def. Суммой подпространств U и W ∈ V называется подпространство U + W = hU ∪ W i - наименьшее подпространство, содержащее U и W . Ясно, что U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W } (такие векторы должны быть вU + W , но и сами они уже образуют подпространство).Следствие. dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).Доказательство. dim(U + W ) = k + l − p = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) - в обозначениях предыдущей теоремы:k + l − p линейно независимых векторов составляют базис U + W .
Q.E.D.Для трёх подпространств, вообще говоря, не существует согласованного с ними базиса(рассмотреть 3 одномерных подпространства в R2 ).35Линейная независимость подпространств.Базис и размерность прямой суммыDef. Подпространства U1 , . . . , Uk ⊂ V называются линейно независимыми, еслиu1 + · · · + uk = 0 (ui ∈ Ui ) ⇒ u1 = u2 = · · · = uk = 0.Теорема.
Два подпространства U и W линейно независимы ⇔ U ∩ W = 0.Доказательство. u + w = 0 ⇔ u = −w ∈ U ∩ W. Если U ∩ W = 0, то u = w = 0. Обратно, если существуетненулевой вектор z ∈ U ∩ W , то, сложив его с противоположным, получим z + (−z) = 0, где z ∈ U, −z ∈ W .Q.E.D.Для трёх подпространств если их попарные пересечения равны {0}, то это не означает их линейной независимости.Теорема. Если подпространства U1 , . . .
, Uk линейно независимы, то размерность их суммы равна сумме ихразмерностей: dim(U1 + · · · + Uk ) = dim U1 + · · · + dim Uk .Доказательство. Пусть (ei1 , . . . , eini ) - базис в Ui (i = 1, . . . , k), dim Ui = ni . Докажем, что(e) = (eij : i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , ni ) - базис U1 + · · · + Uk :1) Каждый вектор u ∈ U1 + · · · + Uk имеет вид u = u1 + · · · + uk (ui ∈ UiP) ⇒ выражается через (e);2)Векторы (e) линейно независимы. Действительно, предположим, чтоλij eij = 0. Тогдаi,j!P PPPλij eij = 0; но ∀iλij eij ∈ Ui ⇒λij eij = 0 ⇒ ∀i ∀j λij = 0 (так как мы имеем линейнуюijjjкомбинацию базисных векторов каждого из подпространств). Q.E.D.Def. Сумма линейно независимых подпространств называется прямой суммой.
Обозначается:U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk . Если U1 ⊕ . . . ⊕ Uk = V , то говорят, что пространство V разложено в прямую сумму подпространств U1 , . . . , Uk . В этом случае dim V = dim U1 + · · · + dim Uk . Каждый вектор из V единственным образомпредставляется в виде x = x1 + · · · + xk , где xi ∈ Ui .
Вектор xi называется проекцией x на Ui и обозначаетсяxi = pr Ui x что зависит от всего разложения пространства V в прямую сумму.6Линейные отображения, их запись в координатах.Образ и ядро линейного отображения,связь между их размерностями.Def. Отображение ϕ : V → U векторных пространств над полем K называется линейным, если:1. ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)2.
ϕ(λx) = λϕ(x)для любых x, y ∈ V ;для любых λ ∈ K и x ∈ V.Свойства:ϕ(0) = 0ϕ (λ1 x1 + · · · + λk xk ) = λ1 ϕ(x1 ) + · · · + λk ϕ(xk );Линейно зависимая система векторов переходит в линейно зависимую. Линейное отображение конечномерныхвекторных пространств полностью определяется образами базисных векторов:Пусть (e1 , . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
